高中四个均值不等式推导

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高中四个均值不等式推导如下：

高中四个均值不等式是指调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的不等关系。这四个均值不等式可以用来比较一组正数的大小关系。

具体的推导过程如下：

1.调和平均数（Hn）：调和平均数指n个正数的倒数的算术平均数的倒数。Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)。

2.几何平均数（Gn）：几何平均数是指n个正数的乘积的n次方根。即Gn(a1*a2*...*an)^(1/n)。

3.算术平均数（An）：算术平均数是指n个正数的和除以n。即An=(a1+a2+...+an)/n。

4.平方平均数（Qn）：平方平均数当即是指n个正数的平方和除以n的平方根。即Qn=sqrt((a1^2+a2^2+...+an^2)/n)。

这四个均值不等式的关系可以表示为Hn≤Gn≤An≤Qn。也就是说，对于任意一组正数，调和平均数不大于几何平均数，几何平均数不大于算术平均数，算术平均数不大于平方平均数。

这个推导过程可以通过数学归纳法进行证明。首先，可以证明当n=2时，这个不等式成立。然后，假设当n=k时，这个不等式成立，即Hk≤Gk≤Ak≤Qk。接下来，通过等价变换和数学归纳法的假设，可以证明当n=k+1时，这个不等式也成立。

高中数学中常用的四个均值不等式分别是算术平均数与几何平均数之间的不等式、算术平均数与谐均值之间的不等式、算术平均数与平方平均数之间的不等式，以及平方平均数与几何平均数之间的不等式。

这四个均值不等式在数学和应用中有着广泛的应用，可以用来证明其他不等式、优化问题以及概率论等领域。

高中四个均值不等式推到如下：

一、简单的线性计划问题

例1，设函数f(0)=3sin0+cos0，其中，角目的顶点和坐标原点重合,始边和x轴非负半轴重合,终边经过点·P(x,y)，且“0≤0<@n@。

(1)若点P的坐标为12,32，f(0)的值。

(2)若点P(x,y)为平面区域Q:xty1,xl,y<1.上的一个动试确定角的取值范围，并求函数f()的最小值和最大值。

分析第(1)问只需要利用三角函数的定义即可:第(2)问中只要先画出平面区域Q，再依据抽画出的平面区域确定角0的取值范围，进而转化为求f(0)=asin0+bcos0型函数的最值解(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得sin0=32，cos0=12，于是f(0)=3sin+cos=3X32+12=2。

(3)作出平面区域(即三角形区域ABC)图所表示，其中A(1,0)，B(1,1)，@C(0,1)。于是0≤0<oT2,又f(0)=3@sin@0+cos日=2sin0+T6且@I6<日+00T6<20T3。故当日+@n6=T2,即0=3时,f(0)取得最大值且最大值等于2;当0+@元6=T6，即0=0时，f(0)取得最小值且最小值等于1。

二、、基础不等式

例2，心理学家研究某位学生的学习情况发觉:若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量y14x+4。

若在t(t>0)天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍复习的时间忽略不计，其后存留量v2随时间改变的曲线恰好为直线的部分，其斜率为a(t+4)2(@a4)。

因此y=y2-y1=a(t+4)2(x-t)+8t+4-4x+4(t>4)当a=-1,t=5时。

y=-1(5+4)2(一5)+85+4-4x+4=-(x+4)81-4x+4+1≤-2481+1=59。当且仅当x=14时取等号，因此“二次复习最好时机点”为第14。

y=a(t+4)2(x-t)+8t+4-4x+4=-a(x+4)(t+4)2-4x+4+8t+4-a(t+4）(t+4)2@≤-24a(t+4)2+8-at+4,当且仅当一a(x+4)(t+4)2=4x+4即x=2-a(t+4)-4时取等号。由题意2一a(t+4)-4>t，因此-4。

三、不等式的求解

例3对于问题:“已知有关x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2)，解有关x的不等式ax2-bx+c>0”，给出以下一个解法:

参考上述解法,若有关x的不等式kx+a+x+bx+c0将x换成-x得a(-x)2+b(-x)+c>0，则解集也对应改变，-xE(-1,2)，则xE(-2,1)，不等式kxtatx+bx+c0的解集为(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c>0的解集为(-21)即有关x的不等式ax2一bx+c>0的解集为(-2,1)。

若有关x的不等式kx+a+x+bx+c0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2.有关x的不等式x2-(a+1)x+a0,b>0，.ab≤atb22=9,当且仅当@a=@b=3时，ab有最大值，最大值为9。

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峰峰矿区15182726854： 数学均值不等式的几个推论证明.一.a.b属于R+,则1/a+1/b大于等于4/(a+b)二.a.b属于R+则,a2/b大于等于2a - b.三.a.b属于R则,2(a2+b2)大于等于(a+b)2四... - ？
玉怡邦纳：[答案] 1.若1/a+1/b大于等于4/(a+b) 都是正实数 同时乘以a(a+b) 整理得(a-b)^2大于等于0 成立 2.两边同乘以b 整理得(a-b)^2大于等于0 成立 3.整理得 (a-b)^2大于等于0 成立 4.整理得 (a/b-1)^2大于等于0 成立

峰峰矿区15182726854： 均值不等式公式是哪四个? - ？
玉怡邦纳： 均值不等式,又称为平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式.公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数. 均值不等式的公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn. 拓展资料: 均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式. Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数.简记为“调几算方”.调和平均数:几何平均数:算术平均数:平方平均数:

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玉怡邦纳： 基本不等式公式四个推导过程:1、如果a、b都为实数,那么a^2+b^2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立 . 证明如下: ∵(a-b)^2≥0; ∴a^2+b^2-2ab≥0; ∴a^2+b^2≥2ab. 2、...

峰峰矿区15182726854： 怎样证明四个不等式,就是那个四个均值不等式调和平均,平方平均,几何平均,算术平均 - ？
玉怡邦纳：[答案] 就是利用完全平方公式和平方差公式以及一系列的基本的变形就可得到,

峰峰矿区15182726854： 均值不等式的推广均值不等式的一般形式高中课本上是给出n个数的,即n是正整数,我想问一下,n能不能推广到R+.如果能的话,能给出证明吗? - ？
玉怡邦纳：[答案] 乱讲几句……均值不等式是n个正实数的算术平均大于或等于几何平均,数的个数n应该不能是正实数吧.如果非要推广可以去看幂平均不等式……

峰峰矿区15182726854： 怎样证明四个不等式,就是那个四个均值不等式 - ？
玉怡邦纳： 就是利用完全平方公式和平方差公式以及一系列的基本的变形就可得到,不懂再问我.

峰峰矿区15182726854： 高一关于均值不等式 x+1+4/(x+1)≥4 推导过程？
玉怡邦纳： 前提是x+1>0 (x+1)+4/(x+1)>=2√[(x+1)*4/(x+1)]=2√4=4 当且仅当x+1=4/(x+1)时等号成立

峰峰矿区15182726854： 均值不等式 - ？
玉怡邦纳： 均值不等式的推导 (a-b)²=a²-2ab+b²≥0 即a²+b²≥2ab 令a²=A,A≥0 b²=B,B≥0 带入得A+B≥2√AB 又A,B为零时,这个不等式是恒成立的,比较简单,一般不讨论 所以A>0,B>0

峰峰矿区15182726854： 关于高中数学不等式的几个重要公式 - ？
玉怡邦纳： 首先书上有不等式的性质的公式11条.在必修五64页.均值不等式公式1、调和平均数:Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、几何平均数:Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算术平均数:An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均数:Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n] ...