如何严格证明数列a1=1, an+1 = 1 + 1/(1+an) 这个数列收敛?
解析如下:
显然an≥1,从而an+1≥2,(n=1,2,3,…)。
因为|an+1−an=|1+an−1+an−1|=11+an+1+an−1|an−an−1|≤12|an−an−1|,(n=2,3,…),所以{an}是压缩数列,从而{an}收敛,设limn→∞an=a,则a≥2。
an为一个单调数列。单调数列必有极限,极限具有唯一性。那么就an+1的极限=an的极限,取数列的极限为A。A+√(1-A)=0解出一元二次方程A就是数列的极限。
本题可以证明数列{an}是压缩数列,从而得到数列{an}的收敛性;再利用递推公式可以计算极限值;本题可以证明数列{an}是单调有界数列,从而得到其收敛性。
相关释义
数列(sequence of number),是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,以此类推,排在第n位的数称为这个数列的第n项,通常用an表示。
著名的数列有斐波那契数列,三角函数,卡特兰数,杨辉三角等。
f(x)=1+x/(1+x)=2-1/(1+x)为单调递增的函数,
因为a1=1,a2=3/2>a1,
所以an为单调递增的数列.
又知道an
a2k+1=1+1/(1+a2k)
当下标是偶数时,则
a2k=1+1/(1+a2k-1)
则有
a2k+1=1+1/(1+1+1/(1+a2k-1))=1+1/(2+1/(1+a2k-1))=1+(1+a2k-1)/(3+2a2k-1)=(4+3a2k-1)/(3+2a2k-1)
即
a2k+1-a2k-1=(4+3a2k-1-3a2k-1-2a2k-1^2)/(3+2a2k-1)=(4-2a2k-1^2)/(3+2a2k-1)
当k趋近于无穷大时,二者之差的极限为0。
当n为偶数时,证法类似。
世界上著名的数列有哪些
而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。4、等比数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列,常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注:q=1 时,an为常数列。
求数列通项公式的方法
(2)略 解:由an 1=(--1)(an 2)得到an 1--= (--1)(an--)∴{an--}是首项为a1--,公比为--1的等比数列。由a1=2得an--=(--1)n-1(2--),于是an=(--1)n-1(2--)- 又例:在数列{an}中,a1=2,an 1=4an-3n 1(n∈N*),证明数列{an-n}是等比数列。
证明数列单调性的方法
证明数列单调性的常见两种方法是Xn+1 -Xn>=0或=1。一、解析 Xn+1 -Xn>0或=1 或Xn\/Xn+1 >=1 与数列的单调性互为充要条件。1、对于序列本身来讲,单调递增序列定义为所有的项都是正数,并且从左往右数每一项都比前一项大;而单调递减,项都为负数,从左往右看,每一项都比前一项小。2、...
已知数列{an}中,a1=1,a2=4,a3=12,且{an+1-2an}为等比数列(Ⅰ)证明{a
回答:我打下超高
证明数列极限存在并求其值 a1=√c , an+1=√(c+an)
显然 y =√(c+x) 是增函数 √(c+M)<M 是希望等式 √(c+an)< √(c+M)<M 能自然而然的成立。因为这样只要 an<M就可以有 a(n+1)=√(c+an)< M,一直递推下去 其实这个M并不唯一,能找出一个符合你所说条件的就OK了
数列{an}中,a1=3\/5,a(n+1)=an\/(2an+1), 1,计算a2,a3,a4的值 2,猜想an...
a1=3\/5,a(n+1)=an\/(2an+1),1.a2=(3\/5)\/(6\/5+1)=3\/11,a3=3\/17,a4=3\/23.2.猜想an=3\/(6n-1).下面用数学归纳法证明:n=1时公式显然成立。假设n=k时ak=3\/(6k-1),那么 a<k+1>=[3\/(6k-1)]\/[6\/(6k-1)+1]=3\/(6k+5)=3\/[6(k+1)-1],即n=k+1时...
an>0,an,Sn,成等差数列。猜想an的通项公式,并用数学归纳法证明...
当n=1时,Sn=an,等差数列里如果d不等于0,那么不可能有两项是一样的,所以n=1的时候不成立
设0<c<1,a1=c\/2,a(n+1)=c\/2+an²\/2,证明数列an收敛,并求其极限_百度...
先由归纳法知,c\/2 ≤ an < c ,因此数列有界,其次,由 a(n+1)-a(n) = 1\/2 * [a(n)^2 - a(n-1)^2] 及 a2>a1,由归纳法可知数列递增,因此数列必有极限,设极限为 a,两边取极限得 a = c\/2 + a^2\/2,解得 a=1-√(1-c) (舍去 1+√(1-c) )。
数列极限110120119.证明下列数列极限存在并求其值: (1)a1=√c(c>0...
(1)先证{a(n)}是递增数列,且有上界1+√c,可用归纳法证明,再由单调有界定理可得{a(n)}极限存在,记为a;然后对等式a(n+1)=√[c+a(n)]两边求极限可得a*a-a-c=0,解二次方程得到其中的正根a={1+√[1+4*c]}\/2便是数列的极限。(由极限的保号性可得a>0,所以舍去负根)(2)...
0<a1<π,an+1=sin an证明:极限 lim(n→无穷)an存在,并求之。
具体回答如下:极限函数的性质:和实数运算的相容性,譬如:如果两个数列{xn} ,{yn} 都收敛,那么数列{xn+yn}也收敛,而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。设{xn} 是一个数列,如果对任意ε>0,存在N∈Z*,只要 n 满足 n > N,则对于任意正整数p,都有|xn+p-xn|<ε,...
鲁伊盐酸:[答案] a(n+1)=an/(1+an) 两边取倒数 1/a(n+1)=(1+an)/an=1+1/an 1/a(n+1)-1/an=1 ∴{an}是等差数列,公差为1 ∴1/an=1/a1+(n-1)*1=n ∴an=1/n
哈密地区17766175506: 高中数学 数列 证明题:(以下n均为下标) a1=1,a(n+1)=1/2(an+(1/an)), - ?
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哈密地区17766175506: 证明下列数列收敛并求其极限:a1=1,a(n+1)=1+an/(1+an),(n=1,2…… - ?
鲁伊盐酸: 首先用数学归纳法证明an>=1 1)当n=1时a1=1,满足 2)假设n=k时a(k)>0,则a(k+1)=1+a(k)/(1+a(k))>0 所以命题成立,即对于任意n都有an>=1a(n+1)=1+a(n)/(1+a(n))<1+1=2,而且a1=1<2.则对于任意n都有a(n)<2 则a(n+1)-a(n)=1...
哈密地区17766175506: 若数列an满足a1=1,且an+1=an/1+an.证明:数列1/an为等差数列,并求出数列an的通项公 - ?
鲁伊盐酸: a1=1,a(n+1)=an/(an+1),取倒数得:1/ a(n+1)= (an+1)/ (an).即1/ a(n+1)=1/an+1,所以{1/an}是首项为1,公差为1的等差数列, 1/an=1+(n-1)•1,an=1/n.
哈密地区17766175506: 高中数学数列a1=1 an+1(下标)=3an - 1 (1)求an通项公式(2)证明:1\a1 +1\a2 +……+1\an<3 - ?
鲁伊盐酸:[答案] 1.可以写成 A(n+1)-1/2=3(An-1/2) 也就是说原数列每项减去1/2后是个以3为公比的等比数列.那么通项公式就是An=1/2[3^(n-1)+1] (括号里面是3的n-1次方) 2.采用放缩法:2/[3^(n-1)+1]
哈密地区17766175506: 在数列{an}中,a1=1,并且对于任意n€N*,都有an+1=an/2an+1.(1)证明数列{ - ?
鲁伊盐酸: 1. a(n+1)=an/(2an +1) 1/a(n+1)=(2an +1)/an=1/an +2 1/a(n+1)-1/an=2,为定值 1/a1=1/1=1,数列{1/an}是以1为首项,2为公差的等差数列 1/an=1+2(n-1)=2n-1 an=1/(2n-1) 数列{an}的通项公式为an=1/(2n-1) 2. 1/[ana(n+1)]=1/[(2n-1)(2n+1)]=(1/2)...
哈密地区17766175506: 已知正项数列{an}中,a1=1,an+1=1+(an/1+an).用数学归纳法证明:an<an+1 - ?
鲁伊盐酸: 这道题根本不需要归纳法 an+1=1+(an/1+an) 若an+1≤an 则有an^2-2an-1≥0 即(an-1)^2≥2 所以an≥1+√2 而又因为an=1+(an-1/1+an-1)所以矛盾 所以an
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鲁伊盐酸:[答案] (1)(an+1)/an=(1-an+1)/1+an化得an+1 +2*an*an+1=an 两边同时除以(an*an+1)得 1/an +2=1/an+1 所以数列{1/an}成等差数列 (2)设1/an=bn b1=1/a1=1 有(1)得bn+1=bn +2 所以bn=2n-1 (3)an=1/bn=1/(2n-1)
哈密地区17766175506: 数列{an}满足a1=1且an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1).(1)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2)(2)设bn=an+1 - ?
鲁伊盐酸: 解答:证明:(1)①当n=2 时,a2=2,不等式成立. ②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2,那么ak+1=(1+1 k2+k )ak+1 2k >ak≥2. 即当n=k+1时不等式成立. 根据①②可知:an≥2对 n≥2成立.…(4分) (2)∵ an+1 an =1+1 n2+n +1 2nan ,∴bn...