如何严格证明数列a1=1, an+1 = 1 + 1/(1+an) 这个数列收敛?

设a1=1,an+1+根号(1-an）=0,证明数列an收敛，求出an的极限。~

解析如下:
显然an≥1，从而an+1≥2，（n=1，2，3，…）。
因为|an+1−an＝|1+an−1+an−1|=11+an+1+an−1|an−an−1|≤12|an−an−1|，（n=2，3，…），所以{an}是压缩数列，从而{an}收敛，设limn→∞an＝a，则a≥2。
an为一个单调数列。单调数列必有极限，极限具有唯一性。那么就an+1的极限=an的极限，取数列的极限为A。A+√（1-A）=0解出一元二次方程A就是数列的极限。
本题可以证明数列{an}是压缩数列，从而得到数列{an}的收敛性；再利用递推公式可以计算极限值；本题可以证明数列{an}是单调有界数列，从而得到其收敛性。
相关释义
数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。
著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。

f（x）=1+x/(1+x)=2-1/(1+x)为单调递增的函数,
因为a1=1,a2=3/2>a1,
所以an为单调递增的数列.
又知道an

将下标是奇数的和下标是偶数的分开看，当下标是奇数时，令n=2k+1，则
a2k+1=1+1/(1+a2k)
当下标是偶数时，则
a2k=1+1/(1+a2k-1)
则有
a2k+1=1+1/(1+1+1/(1+a2k-1))=1+1/(2+1/(1+a2k-1))=1+(1+a2k-1)/(3+2a2k-1)=(4+3a2k-1)/(3+2a2k-1)
即
a2k+1-a2k-1=(4+3a2k-1-3a2k-1-2a2k-1^2)/(3+2a2k-1)=(4-2a2k-1^2)/(3+2a2k-1)
当k趋近于无穷大时，二者之差的极限为0。
当n为偶数时，证法类似。

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哈密地区17766175506： 数列an的第一项a1=1 且an+1=an/1+an····我知道最后是an=1/n但是不知道证明方法,求方法越详细越好 - ？
鲁伊盐酸：[答案] a(n+1)=an/(1+an) 两边取倒数 1/a(n+1)=(1+an)/an=1+1/an 1/a(n+1)-1/an=1 ∴{an}是等差数列,公差为1 ∴1/an=1/a1+(n-1)*1=n ∴an=1/n

哈密地区17766175506： 高中数学 数列 证明题:(以下n均为下标) a1=1,a(n+1)=1/2(an+(1/an)), - ？
鲁伊盐酸： 证明: a1=1 假设an=1成...

哈密地区17766175506： 已知数列{An}满足A1=1,An+1=Sn+(n+1),用An表示An+1,证明数列{An+1}是等比数列并求An和Sn的值 - ？
鲁伊盐酸： 解:(1)已知(an+1)=sn+ (n+1) 所以an=(sn-1)+n 两式作差得 (an+1)-an=an+1 即(an+1)=2an+1 (2)说明:应证明{(an)+1}是等比数列,证明如下: 由(1)结论得 (an+1)+1=2an+2=2[(an)+1] 即 [(an)+1]/[(an)+1]=2 所以{(an)+1}是以2为公比的等比数列 (3)由(2)得(an)+1=[(a1)+1]*2的n-1次方 即(an)=[(a1)+1]*2的n-1次方-1 =2的n次方-1 所以sn={2(1-2的n次方)/(1-2)}-n=2的(n+1)次方-2-n 回答

哈密地区17766175506： 证明下列数列收敛并求其极限:a1=1,a(n+1)=1+an/(1+an),(n=1,2…… - ？
鲁伊盐酸： 首先用数学归纳法证明an>=1 1)当n=1时a1=1,满足 2)假设n=k时a(k)>0,则a(k+1)=1+a(k)/(1+a(k))>0 所以命题成立,即对于任意n都有an>=1a(n+1)=1+a(n)/(1+a(n))<1+1=2,而且a1=1<2.则对于任意n都有a(n)<2 则a(n+1)-a(n)=1...

哈密地区17766175506： 若数列an满足a1=1,且an+1=an/1+an.证明:数列1/an为等差数列,并求出数列an的通项公 - ？
鲁伊盐酸： a1=1,a(n+1)=an/(an+1),取倒数得:1/ a(n+1)= (an+1)/ (an).即1/ a(n+1)=1/an+1,所以{1/an}是首项为1,公差为1的等差数列, 1/an=1+(n-1)•1,an=1/n.

哈密地区17766175506： 高中数学数列a1=1 an+1(下标)=3an - 1 (1)求an通项公式(2)证明:1\a1 +1\a2 +……+1\an<3 - ？
鲁伊盐酸：[答案] 1.可以写成 A(n+1)-1/2=3(An-1/2) 也就是说原数列每项减去1/2后是个以3为公比的等比数列.那么通项公式就是An=1/2[3^(n-1)+1] (括号里面是3的n-1次方) 2.采用放缩法:2/[3^(n-1)+1]

哈密地区17766175506： 在数列{an}中,a1=1,并且对于任意n€N*,都有an+1=an/2an+1.(1)证明数列{ - ？
鲁伊盐酸： 1. a(n+1)=an/(2an +1) 1/a(n+1)=(2an +1)/an=1/an +2 1/a(n+1)-1/an=2,为定值 1/a1=1/1=1,数列{1/an}是以1为首项,2为公差的等差数列 1/an=1+2(n-1)=2n-1 an=1/(2n-1) 数列{an}的通项公式为an=1/(2n-1) 2. 1/[ana(n+1)]=1/[(2n-1)(2n+1)]=(1/2)...

哈密地区17766175506： 已知正项数列{an}中,a1=1,an+1=1+(an/1+an).用数学归纳法证明:an<an+1 - ？
鲁伊盐酸： 这道题根本不需要归纳法 an+1=1+(an/1+an) 若an+1≤an 则有an^2-2an-1≥0 即(an-1)^2≥2 所以an≥1+√2 而又因为an=1+(an-1/1+an-1)所以矛盾 所以an

哈密地区17766175506： 在数列{an}中,a1=1,(an+1)/an=(1 - an+1)/1+an.(1)证明数列{1/an}成等差数列(2)求数列 {1/an}的通项公式(3)求数列{an}的通项公式 - ？
鲁伊盐酸：[答案] (1)(an+1)/an=(1-an+1)/1+an化得an+1 +2*an*an+1=an 两边同时除以(an*an+1)得 1/an +2=1/an+1 所以数列{1/an}成等差数列 (2)设1/an=bn b1=1/a1=1 有(1)得bn+1=bn +2 所以bn=2n-1 (3)an=1/bn=1/(2n-1)

哈密地区17766175506： 数列{an}满足a1=1且an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1).(1)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2)(2)设bn=an+1 - ？
鲁伊盐酸： 解答:证明:(1)①当n=2 时,a2=2,不等式成立. ②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2,那么ak+1=(1+1 k2+k )ak+1 2k >ak≥2. 即当n=k+1时不等式成立. 根据①②可知:an≥2对 n≥2成立.…(4分) (2)∵ an+1 an =1+1 n2+n +1 2nan ,∴bn...