三角函数最值问题

三角函数最值问题~

f(x)=√(a²+b²)[sinx*a/√(a²+b²)+cosx*b/√(a²+b²)]

令cosz=a/√(a²+b²)
sin²z+cos²z=1
所以cos²z=1-a²/(a²+b²)=b²/(a²+b²)
所以b/√(a²+b²)=cosz

所以f(x)=√(a²+b²)(sinxcosz+cosxsinz)=√(a²+b²)sin(x+z)

最值问题是高中数学的重点和历年高考的热点,它涉及中学数学的各个分支,在一些特定的领域中应用还十分广泛,分清问题
的类型对于最值问题的解决十分有益。本文就三角函数中的最值问题略作介绍。
三角函数是一种函数,因此初等函数中的最值问题的求法对三角函数也适用,但三角函数既然是一种特殊的函数,其最值问题的求法当然也有其独特的地方。
一、配方法
例1.(1997年全国)函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为()
A.2 B.0C.-■D.6
略解:由y=cos2x-3cosx+2=(cosx-■)2-■,cosx∈[-1,1]
利用三角函数的有界性及二次函数在闭区间上求值域可得:0≤y≤6。
答案:B
点评:配方法作为初等函数中极为重要的方法在三角函数中应用仍然十分广泛,但本例运用配方法意在确定对称轴的位置。若将本例变为:函数y=sin2x-cosx+2的最小值为,则需异名化同名(余弦),再由配方法得出答案为1。
二、“合一变形”及有界性法
例2.(2000年春季北京、安徽文)y=sinx+cosx+2的最小值是()
A.2-■ B.2+■
C.0 D.1
略解:根据两角和与差的三角公式作逆运算得,y=■sin(x+■)+2,再利用三角函数的有界性知:y∈[2-■,2+■]。
答案:A
点评:“合一变形”法就是逆用“两角和与差的正余弦公式”对同角异名弦之和与弦之差作“二合一变形”。
变题:函数y=■的值域为
略解:由y=■得,sinθ=■
而sinθ∈[-1,1],故函数的值域为:
[-2,0]
三、“和积不等式”与“勾子函数”法
例3.函数y=sinα+■,α∈(0,π)的最小值为()
A.2■ B.-2■
C.6 D.-6
略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1)
由“勾子函数y=x+■>0”性质可求y≥6。
答案:C
变题:函数y=5sinα+■,α∈(0,π)的最小值为()
A.2■ B.-2■
C.6 D.-6
略解:由α∈(0,π),则sinα∈(0,1)
由和积不等式知:5sinα+■≥2■,当且仅当sinα=■时取等号
答案:A
点评:“勾子函数”法的本质是函数的单调性,对于勾子函数y=x+■,a>0,当x∈(0,■]时函数单调减,当x∈(■,+∞]函数单调增。而“和积不等式”强调“一正、二定、三等”限制条件。
四、数形结合与换元法
例4.函数y=■的值域为
答案:(-∞,0]
例5.函数y=sinx+cosx+2sinxcosx的值域为
答案:[-■,1+■]
点评:例4可看作是圆:x2+y2=1上点(cosθ,sinθ)与点(-2,1)连线的斜率的取值范围。
例5则可将sinx+cosx整体换元为t∈[-■,■],并将sinxcosx化为t的代数式,进而将原问题化为二次函数在闭区间上求值域。
五、三角函数最值问题的简单应用
例6.(2000年全国,理)已知函数y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R
当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;
解:y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R
=■cos2x+■sin2x+■
=■sin(2x+■)+■
y取得最大值必须且只需2x+■=■+2kπ,k∈Z,
即x=■+kπ,k∈Z
所以当函数y取得最大值时,自变量x的集合为{x|x=■+kπ,k∈Z｝
点评:本题的突破口是利用三角函数的降幂公式进行恒等变形,重点考查了三角函数最值所取得的条件。
例7.设向量■=(3cosx,3sinx),■=(3cosx,sinx),■=(2,0),向量■与向量■的夹角为θ,当变量x∈(0,■)时,(1)求证:(■-■)⊥■
(2)求角θ的最大值及相应的x值。
解:(1)∵■-■=(0,2sinx),而■=(2,0)
∴( ■ -■ )・ ■=0×2+2sinx×0=0
∴(■-■)⊥■
(2)∵cosθ=■=■
=■
又∵x∈(0,■)
令:■=t,则t∈(1,3)
cosθ=■≥■(当t=■,即cosx=■时取等号)
又∵θ∈(0,π),cosθ在(0,π)内为减函数
∴θ≤■
θ的最大值为■,此时相应的x值为■
点评:本例运用了换元法、基本不等式等初等函数最值问题的求法,而其核心是以向量为载体考查三角函数的最值问题。
三角函数最值问题的各种解法之间可以互相渗透,而三角函数的有界性则贯串于三角函数问题的始终。

y＝sinx-cosx＋sinxcosx
y'=cosx+sinx+cos2x
x∈[0-π] 驻点 x=½π x=¾π x=π
y''=-sinx+cosx-2sin2x
y''(½π、π)<0 x=½π、π是极大值点 极大值=1
y''(¾π)>0 x=¾π是极小值点 极小值=√2-½
端点值y(0)=-1
∴区间内最大值=1 最小值=-1

设t = sinx - cosx
=√2sin(x-π/4),因为x属于[0,π]
∴-1≤t≤√2
t² = (sinx - cosx)²
=1 - 2sinxcosx
sinxcosx = (1 - t²) / 2
y = t + (1 - t²) / 2
=-t^2/2+t+1/2
= -(t -1)² / 2 + 1
-1≤t≤√2
0≤t + 1≤√2 + 1
0≤(t + 1)²≤(√2 + 1)²
-1 / 2≥-(t + 1)² / 2≥0
1 / 2≥y≥0
0≤y≤1 / 2
∴值域[0，1 / 2]

你参考看看～

---

屏山县15964448133： 三角函数最值的求法? - ？
赏南利君：[答案] 三角函数最值求法归纳:一、一角一次一函数形式即将原函数关系式化为:y=Asin(wx+φ)+b或y=Acos(wx+φ)+b或y=Atan(wx+φ)+b的形式即可利用三角函数基本图像求出最值.如:二、一角二次一函...

屏山县15964448133： 三角函数最值题问题求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合,并分别写出最大值、最小值是什么.(附带常用最值的求法及思路可按情况追加5~(1)... - ？
赏南利君：[答案] (1) 最大值3/2 x/2-π/6=π+2kπ x=7π/3+4kπ 其中k为整数 最小值-3/2 x/2-π/6=2kπ x=π/3+4kπ 其中k为整数 (2) 最大值1/2 x/2+π/3=π/2+2kπ x=π/3+4kπ 其中k为整数 最小值-3/2 x/2+π/3=3π/2+2kπ x=7π/3+4kπ 其中k为整数 极值常用方法: 对于三角函数只要...

屏山县15964448133： 三角函数求最值问题 - ？
赏南利君： 1)y=(cosx+1)/(sinx+2) 解:y=(cosx+1)/(sinx+2) =2cos² (x/2)/[2sin(x/2)cos(x/2)+2sin² (x/2)+2cos² (x/2)] [当cos² (x/2)=0时,y=0;当cos² (x/2)≠0时,分子、分母同时除以2cos² (x/2)] =1/[tan(x/2)+tan² (x/2)+1] =1/{[tan(x/2)+1/2] ²+3/4}≤4/3 故...

屏山县15964448133： 关于三角函数最值的问题三角函数最值的定义是什么? - ？
赏南利君：[答案] 三角函数求最值是经常用的求最值的方法,一般都转化为它的一般形式为:y=Asin(Wx+fai)要用它来求解最值就要注意的是x、Wx+fai的范围然后再看A的值,最后来确定y的最值.例如,求y=sinx*sinx+2sinxcosx+3cosx*cosx的最...

屏山县15964448133： 怎么求三角函数的值域和最值? - ？
赏南利君：[答案] 三角函数最值求法归纳: 一、一角一次一函数形式 即将原函数关系式化为:y=Asin(wx+φ)+b或y=Acos(wx+φ)+b或y=Atan(wx+φ)+b的形式即可利用三角函数基本图像求出最值. 如: 二、一角二次一函数形式 如果函数化不成同一个角的三角函数,...

屏山县15964448133： 三角函数最值问题sinX除以(cosX+2)最大值怎么求? - ？
赏南利君：[答案] 设y=sinx/(cosx+2),则 sinx-ycosx=2y √(1+y^2)sin(x-a)=2y,(tga=y)即 sin(x-a)=2y/√(1+y^2),所以 |2y/√(1+y^2)|≤1 -√3/3≤y≤√3/3 即最大值为√3/3

屏山县15964448133： 三角函数最值问题f(x)=asinx+bcosx a,b为不等于零的常数.请详细写出求最值的过程 - ？
赏南利君：[答案] f(x)=√(a²+b²)[sinx*a/√(a²+b²)+cosx*b/√(a²+b²)] 令cosz=a/√(a²+b²) sin²z+cos²z=1 所以cos²z=1-a²/(a²+b²)=b²/(a²+b²) 所以b/√(a²+b²)=cosz 所以f(x)=√(a²+b²)(sinxcosz+cosxsinz)=√(a²+b²)sin(x+z)

屏山县15964448133： 三角函数求最值的题目要求是一个函数一个角才能判断最值吗? - ？
赏南利君：[答案] 在我看来,三角函数求最值主要有两类: 一、将该函数化简为Asin(wx+Ф)+B的形式 二、将该函数化简为acos平方x +bcosx+c(此处cosx也可为sinx)解题思路就是将cosx 替换为t ,转化为一元二次函数在限定区间的最值问题

屏山县15964448133： 三角函数值域与最值求法 - ？
赏南利君：[答案] 三角函数值域(最值)的几种求法 有关三角函数的值域(最值)的问题是各级各类考试的热点之一,这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想,采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等常用方法.掌握这类问题的解法...

屏山县15964448133： 三角函数最值问题求y=3sin(x - 10度)+5sin(x+50度)的最大值 - ？
赏南利君：[答案] sin(x+50)=cos(40-x)=cos(x-40)=cos(x-10)cos30+sin(x-10)sin30=(√3/2)cos(x-10)+(1/2)sin(x-10)所以原式=(11/2)sin(x-10)+((5√3)/2)cos(x-10)=(11/2)sin(x-10)+((5√3)/2)√(1-sin^2(x-10))设t=sin(x-10),-1...