导数和微分的区别？

导数和微分的区别？~

导数和微分的区别一个是比值、一个是增量。
1、导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标增量（Δy）和横坐标增量（Δx）在Δx-->0时的比值。
2、微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量Δx以后，纵坐标取得的增量，一般表示为dy。

扩展资料：
设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x是可微的。
且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。
记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

推导
设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数， o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。
AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。
导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为dy=f′(X)dX。 [4]

几何意义
设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
参考资料来源：百度百科-微分

导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标增量（Δy）和横坐标增量（Δx）在Δx-->0时的比值。微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量Δx以后，纵坐标取得的增量，一般表示为dy。

导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标变化率和横坐标变化率的比值。微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得Δx以后，纵坐标取得的增量。

扩展资料

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。 

定义：

设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。

如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。

函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

参考资料

百度百科-微分

1 对于函数f(x)，求导f'(x)=df(x)/dx，微分就是df(x)，微分和导数的关系为df(x)=f'(x)dx

2 求导又名微商，计算公式：dy/dx，而微分就是dy，所以进行微分运算就是让你进行求导运算然后在结果后面加上一个无穷小量dx而已。当然这仅限于一元微积分，多元微积分另当别论。

扩展资料：

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数记作①  ；②  ；③  ， 即

需要指出的是：两者在数学上是等价的。

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。

导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了贡献。

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。

设f是从欧几里得空间（或者任意一个内积空间）中的一个开集射到  的一个函数。对于  中的一点x及其在  中的邻域  中的点x+h。如果存在线性映射A使得对任意这样的x+h,

那么称函数f在点x处可微。线性映射A叫做f在点x处的微分，记作  。如果f在点x处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别多元函数的微分也叫做全微分或全导数   。

当函数在某个区域的每一点x都有微分  时，可以考虑将x映射到  的函数：这个函数一般称为微分函数。

设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数， o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。 

AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为dy=f′(X)dX。

导数和微分的区别一个是比值、一个是增量。

1、导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标增量（Δy）和横坐标增量（Δx）在Δx-->0时的比值。

2、微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得增量Δx以后，纵坐标取得的增量，一般表示为dy。

扩展资料：

微分应用：

1、我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。

2、假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线的斜率m：m=dy/dx在(x1,y1)的值，所以该切线的方程式为：y-y1=m(x-x1)。由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：y-y1=(-1/m)(x-x1)

3、增函数与减函数

微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。

鉴别方法：dy/dx与0进行比较，dy/dx大于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为正值，所以函数为增函数；dy/dx小于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为负值，所以函数为减函数。

4、变化的速率

微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。

在t=3时，我们想知道此时水加入的速率，于是我们算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3后得出dV/dt=1/8。

所以我们可以得出在加水开始3秒时，水箱里的水的体积以每秒1/8升的速率增加。

参考资料来源：百度百科：微分

导数描绘的是将来的变换率 在 微分可以理解为将来增量的主体  这句话的前提足够细分的情况下(或者说 微分是导数的实现) 并且要进行说明的是导数和微分都是对函数的某一点进行讨论 很多人认为是对函数的讨论吧  著名的泰勒公式 就是通过 某一个点 和它的将来的变换率 变换率的变化率................  从而推出整个函数面貌

所谓求导 就是通过损失一部分信息的情况下 来获得函数将来的的变换情况 这里的一部分信息 你可以理解为初始值  例如 f=x^2 求导 f`(x)=2x   2x进行积分得到的原函数 x^2+c 这里的c就是损失的初始值  也就是f(0)

其实从几何几何意义上来理解就很简单了，导数是函数图像在某一点处的斜率，也就是纵坐标变化率和横坐标变化率的比值。微分是指函数图像在某一点处的切线在横坐标取得Δx以后，纵坐标取得的增量。

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南山区17552684418： 微分和导数的区别是什么? - ？
才泳司悦： 微分起源于微量分析,如△y可分解成A△x与o(△x)两部分之和,其线性主部称微分.当△x很小时,△y的数值大小主要由微分A△x决定,而o(△x)对其大小的影响是很小的. (2)几何意义不同:导数的值是该点处切线的斜率,微分的值是沿切线方向上纵坐标的增量,而△y则是沿曲线方向上纵坐标的增量.可参考教材的图形理解. (3)联系:导数是微分之商(微商)y' =dy/dx, 微分dy=f'(x)dx,这里公式本身也体现了它们的区别. (4)关系:对一元函数而言,可导必可微,可微必可导. 如您的问题未能得到妥善解决或有其他问题

南山区17552684418： 微分和导数的区别 - ？
才泳司悦：[答案] 导数是函数的变化率 微分是函数改变量中的主部分 从直观来看导数是切线斜率 而微分表现为切线上的一段长度

南山区17552684418： 用通俗的话讲解,什么叫导数与微分?两者的区别是什么? - ？
才泳司悦：[答案] 1、一元函数,可导就是可微,没有本质区别,完全是一个意思的两种表述: 可导强调的是曲线的斜率、变量的牵连变化率; 可微强调的是可以分割性、连续性、光滑性. dx、dy:可微性; dy/dx:可导性 dy = (dy/dx)dx,在工程应用中,变成:Δy = ...

南山区17552684418： 二元函数的微分与导数区别是什么呢? - ？
才泳司悦：[答案] 微分一般指全微分或者全导数,在这个方面就没有区别,如果是偏导数就有区别了. 例如u=x^2y 他的全微分或者全导数一般写成:du=2ydx+x^2dy 但对x的偏导数=2y,对y的偏导数=x^2.

南山区17552684418： 导数和微分的区别 - ？
才泳司悦：[答案] 楼上的,问题是导数和微分的区别,你怎么说到微分和积分的区别了.对于一元函数y=f(x)而言,导数和微分没什么差别.导数的几何意义是曲线y=f(x)的瞬时变化率,即切线斜率.微分是指函数因变量的增量和自变量增量的比值△y=...

南山区17552684418： 求导与求微分的区别哎,搞不懂两者有什么区别? - ？
才泳司悦：[答案] 这个两个概念有些异同,导数说的是变化率,而微分则更倾向与连续的概念.举个例子在一元函数中可导就是可微,导数存在说明了在定义的空间与值域之间没有断裂存在那么dx到dy都可以找到对应的关系;在多元函数里面就不一样...

南山区17552684418： 导数和微分有什么区别…能不能我用个函数来试下给我看看不同点 - ？
才泳司悦：[答案] 形式不同 比如y=2x+x^2 那么导数是:y'=x+2x 微分是:dy=(2+2x)dx

南山区17552684418： 导数与微分的区别 - ？
才泳司悦： 对于一元函数y=f(x)而言,导数和微分没什么差别.导数的几何意义是曲线y=f(x)的瞬时变化率,即切线斜率.微分是指函数因变量的增量和自变量增量的比值△y=△f(x+△x)-f(x),这里可以把自变量x看成是关于自身的函数y=x,那么△x=△y,所以微分另一种说法叫微商,dy/dx是两个变量的比值.一般来说,dy/dx=y'. 对于多元函数,如二元函数z=f(x,y)而言,导数变成了关于某个变量的偏导数.此时,微分符号dz/dx是个整体,不能拆开理解.而且,有个重要区别,可导不一定可微.即可导是可微的必要非充分条件.但是,有定理,若偏导数连续则函数可微.具体看全微分与偏导数有关章节.

南山区17552684418： 微分和求导的区别是什么? - ？
才泳司悦：[答案] (1)微分起源于微量分析,如△y可分解成A△x与o(△x)两部分之和,其线性主部称微分.当△x很小时,△y的数值大小主要由微分A△x决定,而o(△x)对其大小的影响是很小的.(2)几何意义不同:导数的值是该点处切线的斜率,微分的...

南山区17552684418： 微分与导数有何区别?？
才泳司悦： LZ好,这句话是对的. 但是从更严格的数学定义来说,导数的定义是:当自变量的变化趋于零时,函数值的变化与自变量的变化的比值的极限.因而导数可以理解为“函数的微分与自变量的微分之商”(这里“函数值的变化、自变量的变化”分别理解为“函数的微分、自变量的微分”). 欢迎探讨数学、哲学、科技问题. 6615希望对你有帮助!