数学前n项和公式有哪些？

求数学列前n项和的公式是什么？~

求数列的前n项和是高中数学《数列》一章的教学重点之一，而对于一些非等差数列，又非等比数列的某些数列求和，是教材的难点。不过，只要认真去探求这些数列的特点。和结构，也并非无规律可循。
典型示例：
1、
用通项公式法：
规律：能用通项公式写出数列各项，从而将其和重新组合为可求数列和。
例1：求5，55，555，…，的前n项和。
解：∵an=
5
9(10n-1)
∴Sn
=
5
9(10-1)+
5
9(102-1)
+
5
9(103-1)
+
…
+
5
9(10n-1)
=
5
9[（10+102+103+…+10n）-n]
=
（10n＋1-9n-10）
2、
错位相减法：
一般地形如{an•bn}的数列，{
an
}为等差数列，
{
bn
}为等比数列，均可用错位相减法求和。
例2：求：Sn=1+5x+9x2+••••+(4n-3)xn-1
解：Sn=1+5x+9x2+••••+(4n-3)xn-1
①
①两边同乘以x，得
x
Sn=x+5
x2+9x3+••••+(4n-3)xn
②
①-②得，（1-x）Sn=1+4（x+
x2+x3+••••+
）-（4n-3）xn
当x=1时，Sn=1+5+9+••••+（4n-3）=2n2-n
当x≠1时，Sn=
1
1-x
[
4x(1-xn)
1-x
+1-（4n-3）xn
]
3、
裂项抵消法：
这一类数列的特征是：数列各项是等差数列某相邻两项或几项的积，
一般地，{an}是公差为d的等差数列，则：
即裂项抵消法，
多用于分母为等差数列的某相邻k项之积，而分子为常量的分式型数列的求和，对裂项抵消法求和，其裂项可采用待定系数法确定。
例3：求
1
3，
1
1
5，
1
3
5，
1
63之和。
解：
4、
分组法：
某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，从而可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列之和。
例4：求数列
的前n项和。
解：
5、
聚合法：
有的数列表示形式较复杂，每一项是若干个数的和，这时常采用聚合法，
先对其第n项求和，然后将通项化简，从而改变原数列的形式，有利于找出解题办法。
例5：求数列2，2+4，2+4+6，2+4+6+8，…，2+4+6+…+2n，…的前n项和
解：∵an=2+4+6+…+2n=
n(n+1)=n2+n
∴Sn=(12+1)+(22+2)+(32+3)
+……+(
n2+n)
=（12+22+32+…+
n2）+（+2+3+…+n）
=
n（n+1）（2n+1）+
n(n+1)
=
1
3n（n+1）（n+2）
6、
反序相加法：
等差数列前n项和公式的推导，是先将和式中各项反序编排得出另一个和式，然后再与原来的和式对应相加，从而解得等差数列的前n项和公式，利用这种方法也可以求出某些数列的前n项和。
例6：已知lg(xy)=a，求S，其中
S=
解:
将和式S中各项反序排列，得
将此和式与原和式两边对应相加，得
2S=
+
+
•
•
•
+
(n+1)项
=n(n+1)lg(xy)
∵
lg(xy)=a
∴
S=
n(n+1)a
以上一个6种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。
q)

等差数列前N项和公式为：Sn=n(a1+an)/2或Sn=na1+n(n-1)d/2=dn^2/2+(a1-d/2)n
方法是倒序相加
Sn=1+2+3+……+(n-1)+n
Sn=n+(n-1)+(n-2)+……+2+1
两式相加
2Sn=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+……+(n-1+2)+(n+1)=(n+1)+(n+1)+(n+1)+……+(n+1)+(n+1)
一共n项(n+1)
2Sn=n(n+1)
Sn=n(n+1)/2

扩展资料等差数列的判定
满足以下条件｛an｝即为等差数列
（1）

(d为常数、n ∈N*)

n ∈N*，n ≥2，d是常数
（2）

（3）

k、b为常数,n∈N*
（4）

A、B为常数，A不为0，n ∈N*
参考资料来源：百度百科-等差数列

(一)1.等差数列{an}:
通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数
an=ak+(n-k)d ak为第k项数
若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2
2.等差数列前n项和:
设等差数列{an}的前n项和为Sn
即 Sn=a1+a2+...+an;
那么 Sn=na1+n(n-1)d/2
=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法
(二)1.等比数列{an}:
通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项
an=a1*q^(n-1,am=a1*q^(m-1))
则an/am=q^(n-m)
(1)an=am*q^(n-m)
(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0)
(3)若m+n=p+q 则 am*an=ap+aq
2.等比数列前n项和{an}
设 a1,a2,a3...an构成等比数列
前n项和Sn=a1+a2+a3...an
Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推倒的,这时可能要直接从基本公式推倒过去,所以希望你这个公式也要理解)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
注: q不等于1;
Sn=na1 注:q=1
求和一般有以下4个方法: 1,不完全归纳法 2 累乘法 3 错位求和法

很多数列的前n项和都可以计算。掌握一些基本的求和方法，可以自己推导出好多公式，不用死记。

像最一般的等差、等比数列可以简单计算。相关的求和公式要掌握，因为还有不少数列可以化成等差等比数列进行求和。
实在记不住这两个求和公式的话，那么花些心思自己学习一下他们公式的推导过程，以便以后忘了公式还可以自己推。等差求和的原理是逆序相加。等比可以用多项式除法推导，也可以左右同乘一个公比，再与原式相加解方程推导出来。

艳阳高照的午后 举的那些例子是很经典的。
比如他举的前三个就是简单的等差数列求和，有一般的公式，不用特意记。

再后两个是 n^k 求和。事实上任意 n^k 次方都有求和公式，是一个 n 的 k+1 阶多项式。只是 k 越大，公式越复杂。因为 k 阶的求和，可以用差分法化成 k-1 阶的，然后靠待定系数法可以换化成 k-1 阶的求和公式。最后再反解那个待定系数的方程，换回原数列的和。一般而言，这类公式里也就是 k=2 和 k=3 用到的比较多，即他列出的那两个。

最后一个是如此推导的：n(n+1) = n^2 + n。
所以整个数列的和就是 n^2 的求和再加上 n 的求和。这两个公式再上面已经出现过了，是：n(n+1)(2n+1)/6 和 n(n+1)/2。通分加一下即是最后答案：n(n+1)(n+2)/3。

求和还有一类比较经典的是裂项法。
因为 1/n(n+k) = 1/k * (1/n - 1/(n+1))，所以像：
1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... 1/n(n+1) = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/n - 1/(n+1) = 1 - 1/(n+1)

能求和的总之很多。不过也确实有一些无法写出前 n 项和公式的，其中最著名的是调和数列：1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。数学家对这个数列有很深入的研究，发现了它的很多有趣特性。可以证明它没有简单的求和公式。如果对调和级数感兴趣，可以再自己百度一下相关的资料。

某些数列前n项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

等差数列：Sn=a1n+n(n-1)d/2
等比数列：1:q=1时;Sn=na1
2:q#1时;Sn=a1(1-q的n次方）/（1-q）

等差数列:Sn=2/n(a1+an)或na1+2/n(n-1)*d
等比数列:(q不等于1） Sn=1-q/a1(1-q的n次方) 或Sn=1-q/a1-an*q

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凤山县13743722992： 数列前n项和的几种求法 - ？
谏肥碘普：[答案] 通项公式: 等差数列an = a1+(n-1)d 等比数列an = a1*q^(n-1) 求和公式: 等差数列前n项和Sn = n*a1 + n(n-1)/2 *d 等比数列前n项和Sn = a1*(1-q^n)/(1-q) (q不等于1时) 当q=1时,等比数列前n项和Sn = n*a1

凤山县13743722992： 前n项和的公式 - ？
谏肥碘普：[答案] (一)1.等差数列{an}: 通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数 an=ak+(n-k)d ak为第k项数 若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2 2.等差数列前n项和: 设等差数列{an}的前n项和为Sn 即 Sn=a1+a2+...+an; 那么 Sn=na1+n(n-1)d/2 =dn^2(...

凤山县13743722992： 前n项和公式是什么 - ？
谏肥碘普：[答案] Sn=n(a1+an)/2自己看吧,数学不好打字

凤山县13743722992： 数列的前n项和的计算方法 - ？
谏肥碘普：[答案] 通项公式: 等差数列an = a1+(n-1)d 等比数列an = a1*q^(n-1) 求和公式: 等差数列前n项和Sn = n*a1 + n(n-1)/2 *d 等比数列前n项和Sn = a1*(1-q^n)/(1-q) (q不等于1时) 当q=1时,等比数列前n项和Sn = n*a1

凤山县13743722992： 前n项和公式是什么呀 - ？
谏肥碘普： 等差数列通项:an=a1+(n-1)d 等差数列前n项和:Sn=na1+[n(n-1)/2]d 等比数列通项:an=a1q^(n-1) 等比数列前项和:Sn=a1(q^n-1)/(q-1)

凤山县13743722992： 等差数列前n项和的公式是什么?等比数列前n项和的公式是什么? - ？
谏肥碘普：[答案] 设等比数列{an}的公比为q,那么Sn=a1+a2+a3+……+an =a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1…………(1) 对Sn进行变形后得到: qSn= a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-1+a1qn…………(2) 由(1)—(2)得 (1-q)Sn= a1- a1qn 当q≠1时 当n=1时,Sn=a1+...

凤山县13743722992： 等差数列的前N项和公式和通项公式是什么.. - ？
谏肥碘普：[答案] 前N项和公式:Sn=na1+n(n-1)d/2 通项公式:an=a1+(n-1)d

凤山县13743722992： 前n项平方和公式 ？
谏肥碘普： 前n项平方和公式是n(n+1)(2n+1)/6.前n项平方和公式是一个比较常用公式,用于求连续自然数的平方和,其和可称为四角锥数或金字塔数,也就是正方形数的级数.平方和是一个数学术语,是指2个或多个数的平方相加,通常是一些正整数的平方之和,整数的个数可以是有限个,也可以是无限多个.另外前n项平方和公式也是冯哈伯公式的一个特例.

凤山县13743722992： 高中数学公式等差数列前n项的和的公式推导最好详细点~ - ？
谏肥碘普：[答案] ∵Sn=1+2+…+(n-1)+n Sn=n+(n-1)+…+2+1 ∴2Sn=(n+1)+(n+1)+…+(n+1) Sn=n(n+1)/2 这种求和方法称为“倒序相加法” 提问:已知等差数列{an},则其前n项和Sn如何求? Sn=a1+a2+…+an-1+an ① Sn=an+an-1+…+a2+a1 ② (学生可能会出现...

凤山县13743722992： 数列前n项和的求法有哪几种 - ？
谏肥碘普： 很多中啊,有求和公式,有递推法,倒序相加,裂项相消等.