对一个实对称矩阵，已知两个特征值及对应的特征向量，如何求第三个特征值呢？

已知实对称矩阵的特征值（如有三个），知道其中两个的特征向量，怎么求另一个特征值的特征向量？谢谢啦~

不同特征值的特征向量正交，也就是两个不同特征值对应的特征向量相乘等于0，比如你有两个已知特征向量，那么可以列出两个方程从而确定第三个特征向量。
实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，由此可设另一个特征值的特征向量为 (x1,x2,...)^T, 它与已知特征向量正交, 求出基础解系即可。
一般情况下, 解出的基础解系所含向量的个数必须是另一个特征值的重数k，因为实对称矩阵k重特征值必有k个线性无关的特征向量，而与已知向量正交的线性无关的向量又恰好有k个，这样才知道基础解系中向量都是另一个特征值的特征向量。

扩展资料：
把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。
矩阵转置的运算律(即性质)：
1、(A')'=A
2、(A+B)'=A'+B'
3、(kA)'=kA'(k为实数)
4、(AB)'=B'A'
若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。
参考资料来源：百度百科-对称矩阵

第一种情况，无法求出来。第二种情况可以求出来。1对应的特征向量(x1,x2,x3)^T与2对应的特征向量(k1,k2,k3)^T正交，即有方程组k1x1+k2x2+k3x3=0，求出基础解系就是1对应的两个线性无关的特征向量。

方法一：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，由此可得第三个特征值对应的特征向量，进一步可得到第三个特征值。

方法二：实对称矩阵所有特征值的和等于矩阵对角线上元素的代数和，所有特征值的积等于矩阵的行列式的值。据此可得第三个特征值。

实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

扩展资料：

两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。

对称矩阵的地址计算公式

LOC(aij)=LOC(sa[k])

=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d

通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。

参考资料来源：百度百科——实对称矩阵

方法一：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，由此可得第三个特征值对应的特征向量，进一步可得到第三个特征值。

方法二：实对称矩阵所有特征值的和等于矩阵对角线上元素的代数和，所有特征值的积等于矩阵的行列式的值。据此可得第三个特征值。

实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

扩展资料

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。 

设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，

系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。

¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

方法一：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交，由此可得第三个特征值对应的特征向量，进一步可得到第三个特征值。方法二：实对称矩阵所有特征值的和等于矩阵对角线上元素的代数和，所有特征值的积等于矩阵的行列式的值。据此可得第三个特征值。

应该还有条件，仅仅两个特征值及其对应的特征向量是求不出第三个特征值的。

第三个特征向量求出来后怎么求对应的特征值？这道题并没有把矩阵A列出来，到最后还让求它。

---

永州市19539647005： 已知实对称矩阵的特征值(如有两个),知道其中一个特征值的特征向量,怎么求另一个特征值的特征向量?谢谢啦 - ？
菜霄强力： 知识点: 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交 由此可设另一个特征值的特征向量为 (x1,x2,...)^T, 它与已知特征向量正交, 求出基础解系即可

永州市19539647005： 已知4阶实对称矩阵A只有两个不同的特征值λ1,λ2,且A的属于λ1的特征向量仅有(1,0,0,1)T(转置矩阵)试求A矩阵 - ？
菜霄强力：[答案] 得特征值为λ1,λ2,λ2,λ2 λ1,对应特征向量a1=(1,0,0,1)^t λ2对应特征向量 a2=(1.0.0,-1)^T A3=(-1.0.0.1)^t a4=(0.1.0.0)^T pP=(a1,a2,a3,a4)^t P^(-1)AP=diag(λ1,λ2,λ2,λ2) A=Pdiag(λ1,λ2,λ2,λ2)P^(-1)

永州市19539647005： 己知二阶实对称矩阵A的行式值|A|=3,它的二个特征值和等于4,则A的佺都特征入=1和3. - ？
菜霄强力：[答案] λ1+λ2=4 λ1λ2=|A|=3 解方程就行了

永州市19539647005： 已知2, - 1是2阶实对称矩阵的两个特征值,所对应的特征向量分别为X1=(1 1)T,X2=(1, - 1)T,试求A,若Ф(A)=A^Ф(A)=A^2K - 2A^(2K - 1)+A,求Ф(A)的特征值以及Ф... - ？
菜霄强力：[答案] A就是那2阶实对称矩阵的话,Ф(A)的特征值应该为2^2k-1+2,其他的懒得算

永州市19539647005： 两个实对称矩阵有共同特征值是否等价 - ？
菜霄强力： 实对称矩阵有共同的特征值, 则它们相似 相似则秩相同 秩相同则等价

永州市19539647005： 设λ1=2和λ2= - 1是实对称矩阵A的两个特征值,x1=(4,k ？
菜霄强力： 解:实对称矩阵中,对应不同特征值的特征向量必正交,故 4*(-1)+8k+(-3)*4=0,解得k=2

永州市19539647005： 设A为三阶实对称矩阵,a1=(1,1,3),a2=(3,2,t)为A的对应于两个不同的特征值x1,x2的特征向量,求t=? - ？
菜霄强力：[答案] 因为 A^2+A-2E=0所以A的特征值满足 λ^2+λ-2=0所以 (λ-1)(λ+2)=0所以 A 的另一个特征值为 -2.又因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交所以属于特征值-2的特征向量满足x2+x3=0x1+x3=0得 (1,1,-1)^T.令 P=0 1...

永州市19539647005： 设N阶实对称矩阵A的两个相异特征值λ1和λ2分别有k个和n - k个,则证明(λ1*E - A)(λ2*E - A)=0; - ？
菜霄强力： 因为实对称矩阵可对角化 所以属于特征值λ1,λ2的线性无关的特征向量分别有k个, n-k个 由这n个特征向量构成可逆矩阵P, 则P满足 P^-1AP = diag(λ1,...,λ1(k个), λ2,λ2,...,λ2) = B 所以 (λ1E-A)(λ2E-A)= (λ1E - PBP^-1)(λ2E- PBP^-1)= P(λ1E-B)P^-1 P(λ2E-B)P^-1= P(λ1E-B)(λ2E-B)P^-1= P 0(零矩阵) P^-1= 0.

永州市19539647005： ①三阶实对称阵,已知有3个不同的特征值以及其中一个特征值的特征向量能否求出另外两个特征值对应的向量 - ？
菜霄强力： 第一种情况,无法求出来.第二种情况可以求出来.1对应的特征向量(x1,x2,x3)^T与2对应的特征向量(k1,k2,k3)^T正交,即有方程组k1x1+k2x2+k3x3=0,求出基础解系就是1对应的两个线性无关的特征向量.

永州市19539647005： 已知实对称矩阵的特征值(如有三个),知道其中两个的特征向量,怎么求另一个特征值的特征向量?谢谢啦？
菜霄强力： 不同特征值的特征向量正交,也就是两个不同特征值对应的特征向量相乘等于0,比如你有两个已知特征向量,那么可以列出两个方程从而确定第三个特征向量.