因式分解的所有公式
1.运用
公式法
在
整式
的乘、除中,我们学过若干个
乘法公式
,现将其反向使用,即为
因式分解
中常用的公式,例如:
(1)a2-b2=(a+b)(a-b);
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
下面再补充几个常用的公式:
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为
正整数
;
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数.
运用公式法
分解因式
时,要根据
多项式
的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.
例1
分解因式:
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;
(2)x3-8
y3
-z3-6xyz;
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;
(4)a7-a5b2+a2b5-b7.
解
(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2n
y2
+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2xn-1yn(x2n-y2)2
=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2.
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+
z2
+2xy+xz-2yz).
(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
=(a-b)2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2.
本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:
原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)2
(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
=(a2-b2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
例2
分解因式:a3+b3+c3-3abc.
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).
分析
我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性,现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).
这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导.
解
原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=〔(a+b)3+c3〕-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)〔(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).
说明
公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为
a3+b3+c3-3abc
显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.
如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有
等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.
例3
分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1.
分析
这个多项式的特点是:有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.
解
因为
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),
所以
说明
在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用.
一般常用的有以下公式:
平方差公式:
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式:
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
立方和(差)公式:
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
一元二次代数:
ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
其中:x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a, x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a.
十字相乘法
这种方法有两种情况。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d).
图示如下:
a b
×
c d
例如:因为
1 -3
×
7 2
-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3).
十字相乘法口诀:首尾分解,交叉相乘,求和凑中
双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
x、y为未知数,其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例:分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.
分析:这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解:图如下,把所有的数字交叉相连即可
x 2y 2
① ② ③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).
双十字相乘法其步骤为:
①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);
②先依一个字母(如y)的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6);
③再按另一个字母(如x)的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错.
数学的分解因式的公式?
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6 分析: 1 -3 7 2 2-21=-19 解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用...
多项式的因式分解有什么公式?
因式分解公式:平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²完全平方公式:(a±b)²=a²±2ab+b²把式子倒过来:(a+b)(a-b)=a²-b²a²±2ab+b²= (a±b)²就变成了因式分解,因此,我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的...
因式分解的公式
因式分解公式:平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²完全平方公式:(a±b)²=a²±2ab+b²把式子倒过来:(a+b)(a-b)=a²-b²a²±2ab+b²= (a±b)²就变成了因式分解,因此,我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的...
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因式分解最全的公式都有什么
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分解因式的所有公式,用字母表示出来
※能运⽤完全平⽅公式分解因式的多项式必须是三 项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平⽅和的 形式,另⼀项是这两个数(或式)的积的2倍.③⽴⽅和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).⽴⽅差公式:a^3-b^3= (a-b)...
求因式分解法的所有公式 要通俗易懂的
注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式:a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²);立方差公式:a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²);完全立方...
因式分解的公式是什么
因式分解是一种将多项式分解为几个简单因式的方法。以下是几个例子的分解过程:1. 对于 \\(x^3 - 2x^2 + x\\),我们可以将其分解为 \\(x(x^2 - 2x + 1)\\),进一步化简为 \\(x(x-1)^2\\)。2. 对于 \\((1-a^2)(1-b^2)-4ab\\),通过分配律和完全平方公式,可以得到 \\((1-ab)...
因式分解的所有公式?
因式分解主要有十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法等方法,求根公因式分解没有普遍适用的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
分解因式公式有哪些?
分解公式:a、平方差公式:即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。b、完全平方公式:即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和 (或差)的平方。3、双十字相乘法 对于某些二元二次六项式 (x、y为未知数,其余都是常数),用两次十字相乘法分解...
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新龙县17553861312: 初2数学下册分解因式中全部的公式! - ?
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宗政虏小儿: 一.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: 1.a^+2ab+b^=(a+b)^2.a^-b^=(a+b)(a-b)3.x^-3x+2=(x-1)(x-2)4.(a1+a2+.....+an)^2=(a1^2+a2^2+a3^2+......+an^2)+(2a1*a2*a3...