怎样推导能量公式

氢原子能级公式推导~

假设一个原子核为Z个正电荷，电荷=Ze，外围一个电荷为e，质量为m的电子以v的切线速度绕原子核运行，半径为r。
可得该电子的离心力要等于电子和原子核之间的库仑力为：
mv^2/r=Ze*e/r^2
可得rmv^2=Ze^2①
该电子的能量等于动能减去库仑力所提供的电位能：
E=(1/2)mv^2-Ze^2/r②
将①代入②可得：
可以得到E=-Ze^2/2r③
将quantum的概念导入,代换掉r得：
mvr=n(h/2pi)④
将①平方然后除于④得：
mr=(n^2)(h^2)/(4pi^2)(Ze^2)
r=(n^2)(h^2)/(4pi^2)(Ze^2)*m⑤
将⑤代入③得：
E=[-2(pi^2)*m*(Z^2)(e^4)]/[(n^2)(h^2)]

扩展资料：
氢原子电子轨道图：

上图显示出能量最低的几个氢原子轨道（能量本征函数）。横向展示不同的角量子数 (l) ,竖向展示不同的能级 (n) 。
各种颜色的亮度代表不同的概率密度（黑色：0 概率密度，白色：最高概率密度）。角量子数 l ，以通常的光谱学代码规则，标记在每一个纵排的最上端。s 意指l=0，p 意指 l=1 ，d意指 l=2。主量子数
标记在每一个横排的最右端。磁量子数m被设定为 0 。截面是 xz-平面（ z-轴是纵轴）。将绘图绕着 z-轴旋转，则可得到三维空间的概率密度。
参考资料 百度百科-氢原子

简谐运动势能：
E=∫ Fdx=∫kxdx=kx^2/2
(0-->x)
当位移x=振幅A 时 ，最大势能为
Emax=kA^2/2

E=mc^2【详见下面证明的 9.】相对论公式及证明 　　符号 单位 符号 单位
　　坐标(x,y,z)：m 力F(f)： N
　　时间t(T)： s 质量m(M): kg
　　位移r： m 动量p: kg*m/s
　　速度v(u)： m/s 能量E: J
　　加速度a： m/s^2 冲量： N*s
　　长度l(L)： m 动能Ek： J
　　路程s(S)： m 势能Ep： J
　　角速度ω： rad/s 力矩： N*m
　　角加速度: rad/s^2α 功率P： W
牛顿力学（预备知识）
　　(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt
　　(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt
　　(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)
　　当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
　　当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
　　只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
　　(二)：质点动力学：
　　(1)牛一：一切物体在没有受到力的作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。
　　(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
　　F=ma=mdv/dt=dp/dt
　　(3)牛三：作用在同一物体上的两个力，如果等大反向作用在同一直线上，则二力平衡。
　　(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
　　F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)
　　动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)
　　动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
　　动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)
　　机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
　　(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)
狭义相对论力学
　　
　　（注:“γ”为相对论因子，γ=1/sqr(1-u^2/c^2)，β=u/c，u为惯性系速度。）
　　1．基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。
　　（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。
　　（此处先给出公式再给出证明）
　　2．洛仑兹坐标变换：
　　X=γ(x-ut)
　　Y=y
　　Z=z
　　T=γ(t-ux/c^2)
　　3．速度变换：
　　V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
　　V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))
　　V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
　　4．尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ
　　5．钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ
　　6．光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)
　　（光源与探测器在一条直线上运动。）
　　7．动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm
　　8．相对论力学基本方程：F=dP/dt
　　9．质能方程：E=Mc^2
　　10．能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2
　　（注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。）
三维证明
　　
　　1．由实验总结出的公理，无法证明。
　　2．洛仑兹变换：
　　设(x,y,z,t)所在坐标系（A系）静止，（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。
　　可令
　　x=k(X+uT) (1).
　　又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.
　　故有
　　X=k(x-ut) (2).
　　对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得
　　Y=y (3).
　　Z=z (4).
　　将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即
　　T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5).
　　(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT.
　　代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：
　　k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：
　　X=γ(x-ut)
　　Y=y
　　Z=z
　　T=γ(t-ux/c^2)
　　3．速度变换：
　　V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
　　=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
　　=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
　　同理可得V(y),V(z)的表达式。
　　4．尺缩效应：
　　B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ
　　5．钟慢效应：
　　由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地测量)，故△t=γ△T.
　　（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。）
　　6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).）
　　B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b)，波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b)，由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为
　　△t(a)=γ△t(b) (1).
　　探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c，则
　　△t(N)=(1+β)△t(a) (2).
　　相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即
　　ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3).
　　由以上三式可得：
　　ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).
　　7．动量表达式：（注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c）
　　牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。
　　牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv，将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm（相对论质量）则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）
　　8．相对论力学基本方程：：
　　由相对论动量表达式可知： F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）
　　9．质能方程：
　　Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
　　=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
　　=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
　　=Mc^2-mc^2
　　即E=Mc^2=Ek+mc^2
　　10．能量动量关系：
　　E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2
四维证明
　　
　　1．公理，无法证明。
　　2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，
　　dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1).
　　则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2>0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变，因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。
　　由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴）
　　X=xcosφ+(ict)sinφ
　　icT=-xsinφ+(ict)cosφ
　　Y=y
　　Z=z
　　当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ
　　得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：
　　X=γ(x-ut)
　　Y=y
　　Z=z
　　T=γ(t-ux/c^2)
　　3．4．5．6．略。
　　7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，下式中dt=γdτ）
　　令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。
　　则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）
　　四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
　　四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)（F为三维力）
　　四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)
　　则f=mdV/dτ=mω
　　8．略。
　　9．质能方程：
　　fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0
　　故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）
　　由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式)）
　　故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2
　　故E=Mc^2=Ek+mc^2

---

龙海市18450043110： 简谐运动能量公式E=1/2kA2怎么推导? - ？
兆昆轻法可：[答案]克服弹力所做的功=弹簧振动的能量 W=E W=(F/2)*A =(KA/2)*A =KA^2/2 所以 E=kA^2/2

龙海市18450043110： 请问静电场的能量公式是怎么推导的?就是静电场的能量密度公式能更加仔细的说说吗? - ？
兆昆轻法可：[答案] 普通物理都是以电容为例,看电荷逐渐积累在两块电板上,克服电容间电场做了多少功,最后积分求出的. 电动力学的一般推导是从洛伦兹力公式出发,按照电荷和场的整个系统的能量守恒来推导的.

龙海市18450043110： 各种波的能量公式推导过程,谢谢. - ？
兆昆轻法可： 由于一个封闭系统内的总能量是有限的,根据统计分布规律随着时间的推延,任何一个波段的能量按指数衰减,我们再引入一个普朗克常数,就得到一个完整的维恩公式.在一个与外界相通的平衡系统中,单位时间内流出的能量为N1ν3e-hν/kT...

龙海市18450043110： 爱因斯坦在狭义相对论中推导能量公式 - ？
兆昆轻法可： (1+x)^a的幂级数展开为: 1+ax+(a(a-1)/2!)*x^2+...+(a(a-1)...(a-n+1)/n!)*x^n....令a=-1/2,x=-v^2/c^2,即可得到结果.

龙海市18450043110： 质能公式E=mc²是怎么推算出来的. - ？
兆昆轻法可：[答案] 首先要认可狭义相对论的两个假设:1、任一光源所发之球状光在一切惯性参照系中的速度都各向同性总为c.2、所有惯性参... 只是根据当时的观察事实写出的经验公式——洛伦兹变换——而它却可以通过相对论的纯理论推导出来.然后根据这个公式又...

龙海市18450043110： 电容器的能量公式从何而来?就是W=½UQ=½CU²这个公式,它是如何得来的?请用微积分思想进行推导, - ？
兆昆轻法可：[答案] 把电容器不带电时最为初态,然后由右极板向左极板搬运正电荷,每次搬运的电量为无限小量Δq,直至两极板带电量为+Q与-Q.电容器的能量即为搬运电荷过程中外力所做的功.由于每次搬运电荷时外力做功不相同,所以采用微元法....

龙海市18450043110： 相对论 最上面那个能量公式是怎么导出来的啊 - ？
兆昆轻法可： 一个质量为M的小球以速度V,撞向一个相同质量的静止小球,分别在地面参考系和惯性系中列出质量守恒方程和动量守恒方程,令M'=KM,K是一个只和速度有关的函数,联合求解就能得到答案

龙海市18450043110： 质能公式的推导过程 - ？
兆昆轻法可： 第一步:要讨论能量随质量变化,先要从量纲得知思路: 能量量纲[E]=[M]([L]^2)([T]^(-2)),即能量量纲等于质量量纲和长度量纲的平方以及时间量纲的负二次方三者乘积. 我们需要把能量对于质量的函数形式化简到最简,那么就要求能量函数中...

龙海市18450043110： 爱因斯坦的质能方程:能量=质量*光速的平方如题那么什么东西都可以转化成能量,那么具体的转化方式是什么?另外他这个公式是怎样推导出来的?有没有... - ？
兆昆轻法可：[答案] 转换方式是正粒子个反粒子在一起发生湮灭和真空中产生正粒子和负粒子对,如果正负粒子在黑洞周围产生,可能会由于黑洞的引力使得一个粒子进入黑洞而另一个粒子逃离黑洞,也就是产生黑洞蒸发的现象.

龙海市18450043110： 能量如何计算 - ？
兆昆轻法可： 能量的计算是根据功的计算得来的,一个物体做了多少功,就代表能量转换了多少.而若要问一个物体包含了多少能量,那可以根据爱因斯坦的质能公式计算:E=mc^2.