近世代数: 半群和群的本质区别在哪里，应用方面有什么不同?
作者&投稿：郅眉 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
是离散数学里的，代数系统那一章，要讲就时间长了……
你自己去查查？
为一个代数系统，集S 不空。若*是S上的二元运算（封闭），则称为广群。
若为广群，且*在S上可结合，则称为半群。
含有么元的半群称为独异点。
么元：有e∈S，对任意a∈S,都有e*a=a，那么e就是么元
可结合的意思是a*b*c = (a*b)*c = a* (b* c)
PS:这里的*只代表是一种运算，不是乘法
在抽象的意义下,同构的群是相同的群,研究中总是利用同构,把未知的群化为已知的群来研究.而同态一般没有这个优势.
例子就是群{R,+}在e^x映射下同构于{R+,*},两个群可以看做相同的群.
而{R,+}的一个正规子群{Z,+}构成的商群{R,+}/{Z,+},和{R,+}在自然同态下是同态的,而不是同构的.所以两者性质不同.
而群不仅有结合律，还要求含幺+每个元有逆，定义的条件要强得多了~
任何群都是半群，但任何半群都可以(同构的角度上来说是唯一的)“嵌入”到一个对应的群里面.
群的应用到处都是,代数中,几何中，拓扑中，函数论中，应用数学包括物理中，......太多了
而半群的正式研究比其他起步于十九世纪中期的代数结构如群或环要晚一些。,开始于二十世纪早期。自从1950年代，有限半群的研究在理论计算机科学中变得特别重要，因为在有限半群和有限自动机之间有自然的联系。有限半群理论比它的无限对应者要更加发达。这特别根源于语法半群概念，和继而在半群的伪品种和已经被证明在自动机理论中特别多产的所谓的形式语言品种之间的联系。
话说大四毕业论文做的是一种叫“幂群”的新生品种，据说来源为了给人工智能的某方面弄的数学理论基础；而研究幂群与序结构的联系的时候G的含幺子半群与正规子半群就起到了重要的作用...
卢妹华安： 域的每个非零元都可逆,非零交换体即域.(1,加法群,2,乘法群,3,加法与乘法间的相容条件--分配律)而环对乘法只要求构成半群,---(1,加法群,2,乘法半群,3,加法与乘法间的相容条件--分配律)环的限制条件与域相比相对较少,例:域--有理数域Q,实数域R ,复数域C;有限域, 环:整数集Z,2Z,
威信县15575433387： 有关近世代数关于群的定义的理解 - ？
卢妹华安： 由单位元,且每个元素都有逆元的半群就是群
威信县15575433387： <近世代数> 群与环有何异同点?至少分别三点!!急阿!!!!! - ？
卢妹华安： 这个,有教材的话,很清楚啊:1、群G是带有一个二元运算的代数结构,环R上有两个二元运算.所以二者有本质的差别,列个一二三有点搞笑.2、若称群G中的二元运算为乘法,该乘法在G上封闭,满足结合律,乘法有单位元,每个元有逆元;若称环R上二元运算一个是加法,一个是乘法,则R对加法构成交换群,R对乘法构成半群,即只满足封闭性和结合律.环中的加法对乘法满足左右分配律.例如整数集对加法构成群,对加法和乘法构成环.
威信县15575433387： 近世代数基础中 群环域的应用是什么?... - ？
卢妹华安： 群环域是基本的概念,近世代数主要研究群环域上的性质
威信县15575433387： 近世代数 半群 - ？
卢妹华安： 应该是有限半群,对无限半群不成立,如(N,+)没有幂等元.证明:设a为有限半群G的任一元,考虑a,a^2,a^4,……,a^(2^n),……,因为G阶有限,所以必存在m>n>=0,a^(2^m)=a^(2^n) a^(2^m-2^n)=a^(2^m+2^m-2*2^n)=a^[2(2^n-2^n)]=[a^(2^n-2^m)]^2 所以a^(2^m-2^n)是幂等元.
威信县15575433387： 近世代数的问题: 设(S,*)是半群,a属于S,在S上定义运算.如下: 任意x,y属于S,x.y=近世代数的问题:设(S,*)是半群,a属于S,在S上定义运算... - ？
卢妹华安：[答案] 直接按定义去验证结合律就OK啊… 因为(S,*)是半群,所以x.(y.z)=x.(y*a*z)=x*a*(y*a*z)=(x*a*y)*a*z=(x.y).z,所以(S,.)是半群
威信县15575433387： 怎样理解近世代数中群的概念 - ？
卢妹华安：[答案] 设G是一个非空集合,*是它的一个代数运算,如果满足以下条件:Ⅰ.结合律成立,即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c); Ⅱ.G中有元素e,叫做G的左单位元,它对G中每个元素a都有 e*a=a; Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^(-1),叫做...
威信县15575433387： 怎样理解近世代数中群的概念 - ？
卢妹华安： 尽量举一些例子,然后抽象出他们的共同的性质.比如{Z,+},{Q*,*},{GL(K,n),*},某个集合S上的变换群,等等. 他们都在某个集合G上定义了一种代数运算即乘法,乘法有结合律,有一个幺元,每个元都有逆元,这样的集合和运算{G,*}就是群的概念.
威信县15575433387： 近世代数群的指数是什么 - ？
卢妹华安： 近世代数也俗称抽象代数,“指数”的概念是在群中出现的. 对于群G(有限群或者无限群都是可以的)以及其子群H,显然群G的阶(此时需要G为一个有限群)是可以被子群H的阶整除的,此时我们称[G:H]为H在G下的指数(#G/#H,其中#G为群G的阶). 另外对于非有限群G,我们仍有指数的概念,只要#G/#H是一个有限数即可,此时我们仍然用[G:H]来表示. 对于指数的理解,我们可以通过H在群G中的陪集来理解,指数的多少与陪集个数是相同的.另外指数对于我们理解正规子群也是有一定意义的.
威信县15575433387： 近世代数的内容 - ？
卢妹华安： 近世代数内容包括:整数、多项式、实数、复数、矩阵代数、线性群、行列式和标准型、布尔代数和格、超限算术、环和理想、代数数域和伽罗华理论等.近世代数简介:近世代数即抽象代数. 代数是数学的其中一门分支,当中可大致分为...
