三角形的五心 定义及性质

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三角形的五心定义及性质如下：

三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。

重心定义：三条中线相交的点叫做重心。

外心定义：三边垂直平分线的交点是外心。外心到三顶点距离相等。

内心定义：三条内角平分线的交点为内心。与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形有且只有一个内切圆。

垂心定义：三角形三条高线的交点为垂心。

旁心定义;三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。三角形有三个旁切圆，三个旁心。这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。

五心的性质如下：

（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。

（2）三角形的外心到三顶点的距离相等。

（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心。

（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等。

（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心。

（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心。

（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍。

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