一道高数微分方程题

高数 微分方程~

答案如图。

可以
dy/dx=xy(y+3)
dy/[y(y+3)]=xdx
dy[1/y-1/(y+3)]=3xdx
积分：ln|y/(y+3)|=3x²/2+C1
得：y/(y+3)=Ce^(3x²/2)

答：
f(x)满足：f(2)=3
切线斜率k=f'(x)
切线为Y-f(x)=f'(x)(X-x)
与x轴交点（x-f(x)/f'(x)，0）
与y轴交点（0，f(x)-xf'(x)）
点(x，f(x))是上述两点的中点
所以：
2x=x-f(x) / f'(x)
2f(x)=f(x)-xf'(x)
所以：
f(x)=-xf'(x)
即有：xy'+y=0
所以：(xy)'=0
所以：xy=C
所以：y=C/x=f(x)
所以：f(2)=C/2=3
解得：C=6
所以：f(x)=6/x

如果曲线是y(x)
则切线方程是y=y'(x0)*(x-x0)+y(x0)
与y轴交点是x=0，y=y(x0)-x0*y'(x0)
因为平分
y(x0)-x0*y'(x0)=2y(x0)
微分方程：
y-xy'=2y
y=-xy'
-dy/dx*x=y
dy/y=-dx/x
y=c/x
y(2)=c/2=3
c=6
y=6/x

等下

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