关于数列极限的归并原理，如果数列an的每一个子列ank都收敛（但没有说明必须收敛于a），那数列an
正确的。
用极限的定义证明：
对任意ε＞0，存在K1∈N使得k＞K1时总有│x(2k-1)-a│＜ε；
对任意ε＞0，存在K2∈N使得k＞K2时总有│x(2k)-a│＜ε；
取N=max{2K1-,2K2}，于是对任意ε＞0，存在自然数N使得n＞N时总有│x(n)-a│＜ε。
于是Xn的极限是a。
(2k-1 和 2k 都是数列的下标，也就是这个数列的奇数列的极限是a，偶数列的极限是a。)
扩展资料：
数列收敛数列存在唯一极限。
收敛数列与其子数列间的关系：
子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M。
若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。
如果数列{ }收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。
数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
参考资料：百度百科——收敛数列
如果一个数列的任一子数列都收敛并且收敛于同一值，那么这个数列收敛。
任一数列中都能取出一个单调子列，证：
引入一个定义：如果数列中的一项大于在这个项之后的所有各项，则称这一项是一个“龙头”。7分2种情况：
1、如果在数列中存在无穷多个“龙头”，那么把这些作为“龙头”的项依次取出来，得到一个严格递减的数列。
2、这个数列中只有有限多个项（包括0）可以作为“龙头”，取出最后一个“龙头”的下一项（如果没有龙头就取数列的第一项），记作a（i（1）），由于a（i（1））不是“龙头”。
在它后面必有一项a（i（2）），满足a（i（1））i（1）；又因为a（i（2））也不是“龙头”，在它后面也必可找到一项a（i（3）），满足a（i（2））i（2）。
依次进行下去，得到的子列a（i（n）），它显然是一个递增的子列．所以任一数列中都能取出一个单调子列．下面证明数列a（n）有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列。
证明：
当数列a（n）有界，对a（n）中的任一子序列a（i（n）），利用上述结论，能从a（i（n））中取出一个单调的子序列a（i（n（k）））；又因为a（n）有界，那么a（i（n（k）））也有界，单调有界数列必有极限。
所以a(i(n(k)))收敛,即a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列.必要性得证.当a(n)中的任一子序列a(i(n))有收敛子列时,这里用用反证法来证明a(n)有界。
假设a(n)无界,即对任给的A>0,存在自然数 n ,使得|a(n)|>A ；现取A=1,存在n(1),使得|a(n(1))|>1 ；取A=2,存在n(2),使得|a(n(2))|>2 。
.取A=k,存在n(k),使得|a(n(k))|>k ；.这样得到a(n)的一个子列 a(n(k)) ,满足 |a(n(k))|>k ,根据题目条件,a(n)中的任一子序列有收敛子列,那么 a(n(k)) (这是关于k的数列)有收敛子列,然而从 |a(n(k))|>k 这一点上。
可知 a(n(k)) 不可能有收敛子列,矛盾.所以 a(n) 有界.充分性得证.综上所述,数列a(n)有界充要条件是该数列的任何一个子列均有收敛子列。
扩展资料
A（n）数列收敛：显然任意子列收敛，当然有一子列收敛。
设A(nk)是A(n)的一个收敛于a的子列,于是对任给ε>0,存在K,当k>K时有：
｜A（nk）－a｜
用N－ε定义来做
对任意ε>0,都存在N1使任意N>N1时│aN-a│N2时│aN-a│2NO+1。
│aN-a│0，存在对应的K1，使任意k>K1时，│a(2k)-A│K2时，│a(2k+1)-A│<ε。
取K0＝max｛K1，K2｝，N＝2K0＋1。当n＞N＝2K0＋1时。
①若n为偶数2k，则n＞N=2K0+1 就是 2k＞2K0+1＞2K1+1＞2K1，k＞K1，恒成立 |a(n)-A|=|a(2k)-A│<ε。
②若n为奇数2k+1，则n＞N=2K0+1 就是 2k+1＞2K0+1＞2K2+1，k＞K2，恒成立 |a(n)-A|=|a(2k+1)-A│<ε，这样，无论n是偶数还是奇数，恒成立 |a(n)-A|＜ε。
由题意{a(n)}作为子列收敛，那么{a(n)}收敛。
设数列{a(n)}收敛到a，那么{a(n)}的任意子列都收敛，且都收敛到a .
综上所述，如果数列{a(n)}的每一个之列{a(n(k))}都收敛，
那么自然有{a(n)}收敛，且数列{a(n)}的每一个之列{a(n(k))}都收敛到同一个值。
希望对你有用~
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盛岸万应：[答案] 可以.并且所有的子列都收敛到A 任意e,当n充分大时及存在一个N,当,所有的n>N,有|xn-A|
承德市15299489724： 根据数列极限的定义判断设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε ,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|Xn - a| - ？
盛岸万应：[答案] 可以 如果正整数N满足条件,那么比N大的正整数同样满足;ε是一个任意正数,可以限定它小于某个确定的正数.
承德市15299489724： 怎么理解“如果数列{Xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a＂怎么理解怎“如果数列{Xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也... - ？
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承德市15299489724： 怎么理解“如果数列{Xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛,且极限也是a＂ - ？
盛岸万应： 具体的证明可以参照教材,如果您需要,我也可以给你列出证明过程. 这里不做严格证明,我觉得你可以这样理解: 数列{an}极限是a,说明它每一项“越来越”接近a. 那么{an}的任意一个子列,它的每一项都来自于{an}这个母体,所以越往后的每一项,肯定也“越来越”接近a.子列怎么可能越来越接近另一个数 b 呢?
承德市15299489724： 数列极限定义数列如果存在常数a,对于任意的给定的正数ε,总存在正整数N,使得n>N时,不等式 │Xn - a │N?完全没有理解, - ？
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承德市15299489724： 数列极限的问题数列中第1,3,5,7,9……项构成一个子数列第2,4,6,8,10……项构成另一个子数列如果这两个子数列的极限都相同且为a那么这个原数列的极限一... - ？
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承德市15299489724： 如果题目要证明一个数列的极限为a.而其实这个函数的极限不是a会怎样 - ？
盛岸万应： 一般来说需要求数列极限的问题都会给递推式,即用An来表示An+1的式子,当n趋近于无穷的时候,若极限为a,则应有An=An+1=a,把a代入递推式求解a会发现a无解. 若题干给的是通项,就可以直接转换为函数求出极限值不等于a
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盛岸万应：[答案] 解答如下
