线面垂直能否证明面面垂直 ?
如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
已知:α⊥β,α∩β=l,O∈l,OP⊥l,OP⊂α。
求证:OP⊥β。
证明:过O在β内作OQ⊥l,则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。
∵α⊥β
∴∠POQ=90°,即OP⊥OQ
∵OP⊥l,l∩OQ=O,l⊂β,OQ⊂β
∴OP⊥β
扩展资料:
性质定理:
性质定理1:如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线垂直于平面内的所有直线。
性质定理2:经过空间内一点,有且只有一条直线垂直已知平面。
性质定理3:如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。
性质定理4:垂直于同一平面的两条直线平行。
推论:空间内如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。(该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上,在空间几何上也成立。)
由性质定理2可知,过空间内一点(无论是否在已知平面上),有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。
1、点在平面外:
设点P是平面α外的任意一点,求作一条直线PQ使PQ⊥α。
作法:
①在α内任意作一条直线l,并过P作PA⊥l,垂足为A。
此时,若PA⊥α,则所需PQ已作出;若不是这样,
②在α内过A作m⊥l。
③过P作PQ⊥m,垂足为Q,则PQ是所求直线。
证明:
由作法可知,l⊥PA,l⊥QA
∵PA∩QA=A
∴l⊥平面PQA
∴PQ⊥l
又∵PQ⊥m,且m∩l=A,m⊂α,l⊂α
∴PQ⊥α
2、点在平面内:
设点P是平面α内的任意一点,求作一条直线PQ使PQ⊥α。
作法:
①过平面外一点A作AB⊥α,作法见上。
②过P作PQ∥AB,PQ是所求直线。
证明:
由性质定理3可知,若作出了AB⊥α,PQ∥AB,那麼PQ⊥α。
参考资料来源:百度百科-面面垂直
: 当面面垂直时垂直于交线的两条直线垂直当线面垂直时已知直线垂直于平面内的所有直线灵活运用
那要根据定理了1。,如果一条直线垂于另一个面里的两条相交的直线,则这条直线就与那两条直线所在的平面垂直,
2。还有如果一条直线垂直于一个平面。则经过这条直线小平面也与那个面垂直,
结合上面的两个定理,就能证明面面垂直了。
而你三垂线定理,那个证明第1个定理的时候能用的到
可以证明啊,有这个定理。如果知道线面垂直的话,并且这条线在另一个平面上,那么这两个平面就互相垂直呗。
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金届心脑: 不可以. 一条线垂直于两条相交线才能证明这条线与两条相交线所在的面垂直.而要证明面面垂直,必须证明一个面上的直线分别与另外的面的两条直线分别垂直.也就是说,必须要三条直线参与.两条直线不可以得出面面垂直.
双峰县18639246881: 线面垂直 可以推出面面垂直吗?就是一个直线垂直一个平面 这条线在另一个平面则这两个面是否垂直? - ?
金届心脑:[答案] 可以 只要是过这条直线的平面.书上有定理 一条直线垂直于一个平面,那么过这条直线的平面与此平面垂直.太长时间不看书,定理忘得差不多,不过那个就是这个意思.
双峰县18639246881: 线线垂直能推出面面垂直吗 - ?
金届心脑:[答案] 不可以. 一条线垂直于两条相交线才能证明这条线与两条相交线所在的面垂直.而要证明面面垂直,必须证明一个面上的直线分别与另外的面的两条直线分别垂直. 也就是说,必须要三条直线参与.两条直线不可以得出面面垂直.
双峰县18639246881: 面面垂直 可以通过线面垂直得到吗 - ?
金届心脑:[答案] 面面垂直,一面内有一直线垂直于这两面交线,得到线面垂直
双峰县18639246881: 线面垂直后可立即得到面面垂直吗 - ?
金届心脑: 这条线要在面上或者面与这条线平行
双峰县18639246881: 如何从线面垂直来证明面面垂直 - ?
金届心脑:[答案] 直线垂直于平面,那么直线所在平面也垂直于该平面(书上有关于此定理的证明)
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金届心脑: 如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 已知:α⊥β,α∩β=l,O∈l,OP⊥l,OP⊂α. 求证:OP⊥β. 证明:过O在β内作OQ⊥l,则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角. ∵α⊥β ∴∠POQ=...
双峰县18639246881: 怎么利用线线垂直证明面面垂直? - ?
金届心脑: 2.还有如果一条直线垂直于一个平面.则经过这条直线小平面也与那个面垂直, 结合上面的两个定理,就能证明面面垂直了.