线性代数证明题～

线性代数证明题~

我觉得你是概念理解错了吧，当A的秩是n-1的时候，只能说明A有一个非零的n-1阶子式，而|A|=0。结合A*是由A的n-1阶代数余子式的构成，也只能说明有一个非零元素，并不能得出A*里面除了最后一行都是0的结论，可以很简单举个2阶的例子进行说明。

当理解了向量和矩阵的关系之后，你就会发觉线性代数还是挺简单的。
向量其实就是矩阵，只不过其中一个长度是1而已。常数其实也是一个矩阵，只不过它是一乘一的而已。向量可以组合变成矩阵。
下面我们来做题吧。
我们让alpha1和alpha2和alpha3组成矩阵A=(alpha1,alpha2,alpha3)。那么我们就可以借助A来讨论我们的问题了。
线性表示的问题可以表述为Ax=beta，为什么呢，你把向量看成是元素，那么Ax=beta就是(alpha1,alpha2,alpha3)*(x1,x2,x3)^T=beta，点乘知不知道？这个形式就是点乘的形式了：alpha1*x1+alpha2*x2+alpha3*x3=beta，这就是线性表示的定义呀。
下面我们的线性表示问题就是求矩阵方程解的情况问题了。（为什么？因为方程有唯一解就是对应可以唯一线性表示呀，解就是线性表示的系数呀）。
那么由方程的解的理论，这应该在前面几章着重探讨了吧，这里我默认你会了。
这里有个重要关系：
满秩就是可逆就是行列式非零就是有唯一解，这四者完全等价！！！
那么求唯一的线性表示方法不就是求行列式|A|非零吗！！！
问题就转化为求行列式的问题了，但愿你行列式基础还行。
同理，不唯一线性表示也就意味着行列式为零且r(A)=r(A,beta)。无解就是行列式为零且r(A)不等于r(A,beta)。

望采纳。

【分析】
逆矩阵定义：若n阶矩阵A，B满足AB=BA=E，则称A可逆，A的逆矩阵为B。

【解答】
A³-A²+3A=0，
A²(E-A)+3(E-A)=3E，
(A²+3)(E-A) = 3E
E-A满足可逆定义，它的逆矩阵为(A²+3)/3

【评注】
定理：若A为n阶矩阵，有AB=E，那么一定有BA=E。

所以当我们有AB=E时，就可以直接利用逆矩阵定义。而不需要再判定BA=E。
对于这种抽象型矩阵，可以考虑用定义来求解。
如果是具体型矩阵，就可以用初等变换来求解。

线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。

对n阶|A|，按照第1列展开。Dn=|An×n| Dn-1 = |A(n-1)×(n-1)| ，......
得到 Dn=2aDn-1 - a² Dn-2 ，这是差分方程，求解特征方程λ²-2aλ+a²=0，求得 解为 λ1=λ2=a
那么Dn=|A| = （n+1）a^n

【评注】
对于n阶行列式，如果能得到 Dn=pDn-1+qDn-2 ，那么我们可以求解特征方程λ²-pλ-q=0
得到λ1，λ2.
如果λ1=λ2=λ，则Dn= （a+nb）λ^n
如果λ1≠λ2，则Dn=aλ1^n+bλ^n
这里的a，b，可以通过D1，D2求得。

newmanhero 2015年1月31日19:35:18

希望对你有所帮助，望采纳。

---

灵寿县14788477487： 线性代数的一个证明题请证明:任意方阵可以写成对称矩阵与反称矩阵的和 - ？
后云刺五：[答案] 考虑(A+B)/2与(A-B)/2,其中B是A的转置 前一个就是对称矩阵,后一个是反对称矩阵.加起来是A 你做做看

灵寿县14788477487： 线性代数证明题:如果存在正整数k使得A^k=0,则称A为幂零矩阵.证明幂零矩阵的特征值为0. - ？
后云刺五：[答案] 设 a 是A的特征值. 则 a^k 是 A^k 的特征值 而 A^k=0,零矩阵的特征值只有0 所以 a^k = 0 所以 a = 0 所以 幂零矩阵的特征值只能为0

灵寿县14788477487： 求解一道线性代数的证明题.如题,设矩阵A与其对角矩阵相似,证明A的逆矩阵与对角矩阵相似. - ？
后云刺五：[答案] 已知矩阵A与其对角矩阵相似 即存在可逆矩阵P,使得P^(-1)*A*P=对角阵B 上式等号两边求逆矩阵,得 (需要知道:乘积的逆等于因子分别求逆后反向相乘) P^(-1)*A^(-1)*P=对角阵B^(-1) 而对角阵B的逆矩阵仍然是对角阵,只不过其逆矩阵是原矩...

灵寿县14788477487： 线性代数证明题:设向量组a1、a2,.,a(m - 1) (m大于等于3)线性相关,向量组a2,.,线性无关证明:(1)a1能由a2,a3,.a(m - 1)线性表示(2)a1不能由a2,a3,.a(m - 1... - ？
后云刺五：[答案] (1)是正确的,(2)是错误的. 证明:由已知,存在不全为0的实数组k1,k2,.,k(m-1)使 k1a1+k2a2+.+k(m-1)a(m-1)=0 假如k1=0,则 k2a2+k3a3+.+k(m-1)a(m-1)=0 而 a2,a3,.,a(m-1)线性无关,所以由上式可得k2=k3=.=k(m-1)=0 也就是说,a1,a2,a3.,a(m-1)...

灵寿县14788477487： 线性代数证明题 设a为Ax=0的非零解,b为Ax=b(b不等于0)的解,证明a与b线性无关 - ？
后云刺五：[答案] 证明:设r1,r2为任意非零常数. 则由题意可知: A(r1a)=0; A(r2b)=r2B; 所以A(r1a-r2b)=r2B 所以A(r1a-r2b)不可能等于0 如果a,b线性相关,则必然存在r1a-r2b=0,此时A(r1a-r2b)等于0,矛盾. 所以a,b线性无关

灵寿县14788477487： 线性代数证明题证明题:设α1,α2,...αm是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,β是非齐次线性方程组Ax=b(b不等于0)的一个特解,证明向量组α1+β,α2+β...,αm+β,β... - ？
后云刺五：[答案] 证明 由于α1,α2,...αm是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,故α1,α2,...αm线性无关,反证法,假设α1+β,α2+β...,αm+β,β线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,..,km,k使得k1(α1+β)+ k2(α2+β)...+ km (αm+β)+k...

灵寿县14788477487： 一道大学线性代数证明题:设n阶矩阵A满足A的平方=A,E为n阶单位矩阵,证明R(A)+R(A - E)=n - ？
后云刺五：[答案] 这是一个很简单的线代证明了! 因为A^2=A,所以A(A-E)=0 则有: R(A)+R(A-E)小于等于n 又因为(A-E)+(-A)=-E 则有: R(-A)+R(A-E)大于等于n 由于R(-A)=R(A) 所以R(A)+R(A-E)大于等于n 由夹逼定理可知: R(A)+R(A-E)等于n 陈文灯的数学...

灵寿县14788477487： 线性代数证明题证明两个满秩方阵的乘积仍为满秩方阵 - ？
后云刺五：[答案] 对于方阵来说,满秩等价于行列式非零. 设A,B满秩,即detA≠0,detB≠0.detA表示A的行列式. 由于det(AB)=detA*detB, 所以detAB≠0,它是满秩的. 得证.

灵寿县14788477487： 线性代数之证明题1设A为m*n矩阵,若r(A)=n(m>n),则存在n*m矩阵B,使BA=En - ？
后云刺五：[答案] 因为 r(A)=n(m>n),所以 对A进行初等行变换 可把A化成 En O 分块矩阵,记为 [ E; O] 所以存在m阶可逆矩阵 P,使 PA = [ En; O] (注意是上下两块) 把P分块为 [ P1; P2] (也是上下两块),其中P1 是 n行m列,P2是 (m-n)行m列 则有 [ P1; P2] A ...

灵寿县14788477487： 线性代数证明题:设向量组a1,a2,a3,.as的秩为r1,向量组β1,β2,.βt的秩为r2,(接下面)向量组a1,a2,...as,β1,β2,...βt的秩为r3,证明:max{r1,r2}≦r3≦r1+r2 - ？
后云刺五：[答案] 子向量组的秩不会超过整个向量组的秩,因此 max{r1,r2}