用数学归纳法证明
当n=k+1时
左边=(n+2)(n+3)……(n+n)(n+n+1)(n+1+n+1)=
=2^n×1×3×……×(2n-1)(n+n+1)(n+1+n+1)/(n+1)=
=2^n×1×3×……×(2n-1)(2n+1)×2
=2^(n+1)×1×3×……×(2n-1)(2n+1)=右边
从右面开始算更简单
解:
1.当n=1时
原式=x^2-y^2=(x-y)(x+y)
能被x+y整除
故命题成立
2.假设n=k时命题成立,即 x^(2k)-y^(2k)能被x+y整除
当n=k+1时
x^(2k+2)-y^(2k+2)
=x·x^(2k+1)-y·y^(2k+1)
=(x+y)[x^(2k+1)-y^(2k+1)]-y·x^(2k+1)+x·y^(2k+1)
=(x+y)[x^(2k+1)-y^(2k+1)]-xy[x^(2k)-y^(2k)]
所以,当n=k+1时,命题成立
综上1、2可知
命题成立
n=2
(1-1/4)(1-1/9)=2/3
2+n/2n+2=4/6=2/3
所以,当n=2时(1-1/4){1-1/(n+1)的平方}=2+n/2n+2,满足条件
第二步:
假设n>=2时 (1-1/4){1-1/(n+1)的平方}=2+n/2n+2
(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)(1-1/25)…{1-1/(n+1)^2}{1-1/(n+2)²}
=(2+n)/(2n+2)*{1-1/(n+2)^2}
=(2+n)/(2n+2)-1/2(n+1)(n+2)
=(n²+4n+3)/2(n+1)(n+2)
=(n+3)/2(n+2)
=(n+1)+2/[2(n+1)+2]
好像这样就可以了吧……
不太清楚数学归纳法具体要做到哪一步,反正大方向就是这样了
证明:(1)当n=1时,左边=1-1/2^2=3/4,右边=(2+1)/(2*1+2)=3/4.所以当n=1时命题成立
(2)假设当n=k时,命题成立,即(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)(1-1/25)…[1-1/(k+1)^2]=(k+2)/(2k+2),
则(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)(1-1/25)…[1-1/(k+1)^2][1-1/(k+2)^2]=(k+2)/(2k+2)*[1-(k+2)^2]=[(k+2)/(2k+2)]*[1-1/(k+2)^2]=[(k+2)/2(k+1)]*{[(k+2)^2-1]/(k+2)^2}=(k+3)/(2k+4)=[(k+1)+2]/[2(k+1)+2]
所以当n=k+1时命题也成立
综合(1)(2)可得,当n∈N*时,命题成立
证:当N=1时
(1-1/4)=3/4
所以当N=1时等式成立。
假设当N=n等式也成立。
现在证明当N=n+1等式也成立
(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)(1-1/25)…)…{1-1/(n+1)^2}{1-1/(n+1)^2}
={(2+n)/(2n+2)}*{1-1/(n+2)^2}
={(2+n)/(2n+2)}*{(n+3)*(n+1)/(n+2)^2)}
={1/(2n+2)}*{(n+3)*(n+1)/(n+2)}
=1/2*{(n+3)*/(n+2)}
=(n+3)*/2(n+2)
={(n+1)+1}/{2(n+1)+2}
所以当N=n+1等式也成立
由数学归纳法知等式成立。。。
数学归纳法的原理
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什么是数学归纳法?
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数学归纳法步骤
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数学归纳法是什么?
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数学归纳法适合用来证明跟自然数相关的命题
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...猜想出通项公式后,为什么一定要用数学归纳法证明?
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