赋范向量空间简介
首先，零向量的特性是其长度为零，这是所有赋范向量空间的基础。其次，对于任意向量 v 和标量 a，它们的“长度”乘积应与标量的绝对值 |a| 相关联，即向量的长度会随着标量的大小成正比变化。
更为关键的是，赋范向量空间遵循著名的三角不等式，即对于两个向量 v 和 u，它们的长度之和（“三角形”的两边）总是大于它们的和向量 v+u 的长度（即第三边）。这个特性保证了向量空间的结构严谨性。
进一步，我们区分两种特殊类型的长度函数：半范数，它将向量映射到非负实数，满足上述的长度性质；而范数则更严格，只有零向量的函数值为零，这是赋范向量空间的关键标志。因此，拥有范数的向量空间被称为赋范向量空间，而那些仅拥有半范数的则称为半赋范向量空间，它们在数学分析和理论物理等领域发挥着重要作用。
对偶空间连续对偶空间
在研究拓扑向量空间时，我们主要关注那些能够连续作用于基础域的线性泛函。这导致了连续对偶空间的概念，它实际上是代数对偶空间的一个子集。我们将向量空间 V 的连续对偶记为 V'，在这样的背景下，我们通常直接称连续对偶为对偶空间。对于线性赋范向量空间，比如巴拿赫空间或希尔伯特空间 V，其连续对偶 V'...
索伯列夫空间
1 向量值函数笔记 Bochner积分 2 向量值函数笔记 L^p空间 3 向量值函数笔记Sobolev空间 如果有记号未曾定义便出现， 请参阅之前的笔记下面我们讨论时间弱导数， 此时我们假定测度空间 是 中的开区间不一。索伯列夫空间是数学里由函数组成的赋范向量空间，主要用来研究偏微分方程理论，它以前苏联数学家С...
等距同构定义
等距同构不仅限于一对一的映射，也包括路径等距同构，这种映射保持所有曲线的长度，但不一定是一一对应的。两个度量空间如果存在等距同构，就意味着它们在几何性质上是相似的，且等距同构映射的复合运算构成一个群，即等距同构群。在特定的背景下，如赋范向量空间，我们有线性等距同构的概念。这是一种特殊...
单位向量的定义
单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。单位向量有无数个。数学上，赋范向量空间中的单位向量就是长度为1的向量。单位向量的符号通常有个“帽子”，欧几里得空间中，两个单位向量的点积就是它们之间角度的余弦（因为它们的长度都是1）。
利普希茨条件
因为局部紧致空间的连续函数必定有界。在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续，称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。
给空间增加一个维度,世界将会怎样
从数学方面讲，普通三维空间集合的四维等价物是欧几里得四维空间，一个四维欧几里得赋范向量空间。一个向量的“长度”x=(p,q,r,s)以标准基底表示就是也就是勾股定理向四维空间进行的很自然的类比。这就让两个向量之间的夹角很容易定义了。正交性 在我们熟悉的三维空间里，有三对主要方向：上下（高度）...
大空间利普希茨连续可以推小空间吗
大空间利普希茨连续可以推小空间。利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数，利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上，利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。
什么是赋范线性空间?比如一个空间x,是范数||x||构成的空间,还是x本身...
有一堆沙子，如果我把它定义为盖楼用的，则这堆沙子成为盖楼用的沙子。如果我把它定义为建桥用的，则这堆沙子成为建桥用的啥子。如果我把它用作实验室反应物，则其成为化学试剂。线性空间，就是这堆沙子，而赋范空间，内积空间，度量空间则是建楼用的沙子，建桥用的沙子，化学试剂。从而，范数就是...
聚类分析中的空间和距离概念
而距离基于线性结构八大定律之后，构成的向量空间概念，是进一步的抽象，而这个空间里，每个点到空间坐标轴原点的距离，定义为范数norm。如果向量空间定义了范数，则这个空间成为赋范向量空间。然后进一步抽象：赋范空间+线性结构⟶>线性赋范空间 如果在线性赋范空间上增加添加内积运算概念，即，使空间...
距离空间、线性空间、内积空间、赋范线性空间的联系
在线性空间中赋以“范数”,然后在范数的基础上导出距离,即线性赋范空间,完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间.范数可以看出长度,线性赋范空间相当于定义了长度的空间,所有的线性赋范空间都是距离空间.以有限维空间来说,向量的范数相当于向量的模的长度.但是在有限维欧式空间中还有一个很重要的概念—向量的...
泊怨杰奇： 赋范向量空间是具有“长度”概念的向量空间.是通常的欧几里德空间 Rn 的推广.Rn中的长度被更抽象的范数替代.“长度”概念的特征是: 零向量的长度是零,并且任意向量的长度是非负实数. 一个向量 v 乘以一个标量 a 时,长度应变为...
渭源县18310481758： 欧式空间、内积空间和赋范空间之间的关系 - ？
泊怨杰奇： (1)赋范向量空间是具有“长度”概念的向量空间.是通常的欧几里德空间 Rn 的推广.Rn中的长度被更抽象的范数替代.“长度”概念的特征是: 零向量的长度是零,并且任意向量的长度是非负实数. 一个向量 v 乘以一个标量 a 时,长度应变...
渭源县18310481758： 向量的向量空间 - ？
泊怨杰奇： 研究向量空间一般会涉及一些额外结构.额外结构如下: 一个实数或复数向量空间加上长度概念.就是范数称为赋范向量空间. 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念,称为内积空间. 一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标...
渭源县18310481758： 什么是向量? - ？
泊怨杰奇： 在数学与物理中,既有大小又有方向的量叫做向量(亦称矢量),与标量相对 目录 定义 来源 表示 向量简介 模和数量 各种向量 运算 三角形不等式 展开 编辑本段 定义 数学中,既有大小又有方向的量叫做向量(与矢量不同,没有起点终点)(...
渭源县18310481758： 向量空间是什么意思 - ？
泊怨杰奇： 1.在V中定义了一种运算,称为加法,即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β,称为α与β的和. 2.在P与V的元素间定义了一种运算,称为纯量乘法(亦称数量乘法),即对V中任意元素α和P中任意元素k,都...
渭源县18310481758： 求解向量、要求通俗易懂、简单、详细、ok……!!! - ？
泊怨杰奇： 这个好像在高一时学吧?书上有的呀! 在数学与物理中,既有大小又有方向的量叫做向量(亦称矢量),与标量相对
渭源县18310481758： 矩阵的范数怎么计算 ？
泊怨杰奇： 计算矩阵的范数公式:║A║1=max.矩阵范数(matrixnorm)是数学中矩阵论、线性代数、泛函分析等领域中常见的基本概念,是将一定的矩阵空间建立为赋范向量空间时为矩阵装备的范数.应用中常将有限维赋范向量空间之间的映射以矩阵的形式表现,这时映射空间上装备的范数也可以通过矩阵范数的形式表达.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.
渭源县18310481758： 线性空间可以分几类 - ？
泊怨杰奇： 公理化定义 编辑 设F是一个域.一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算:向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V 标量乘法: F * V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V 符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V):向量加法结合律:u +...
渭源县18310481758： 距离空间、线性空间、内积空间、赋范线性空间的联系 - ？
泊怨杰奇：[答案] 4.1 联系 如果在实数域或复数域上距离空间是完备的,该空间被称为完备距离空间.实数域或复数域上的完备线性赋范空间被称为巴拿赫空间.内积空间是特殊的线性赋范空间,而完备的内积空间被称为希尔伯特空间,其上的范数由一个内积导出. 在线...
渭源县18310481758： 四条竖线的数学符号 - ？
泊怨杰奇： 这个符号表示“范数”,这个概念,在研究生阶段才能接触到.1-范数:║A║1= max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列范数,A每一列元素绝对值之和的最大值)(其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|ann|,其余类似).2-范数:║A║2=( max{ λi(A'A) } ) ^1/2 ( 谱范数,即A'A特征值λi中最大者λm的平方根,其中A'为A的转置矩阵). ∞-范数:║A║∞=max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|ann| } (行范数,A每一行元素绝对值之和的最大值)(其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和,其余类似).
