调和级数发散吗？证明它发散。

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调和级数 an=1/n；发散。

证明方法如下：

一、即当p≤1p≤1时，有1np≥1n1np≥1n，调和级数是发散的，按照比较审敛法： 

若vnvn是发散的，在n>N,总有un≥vnun≥vn,则unun也是发散的。 

调和级数1n1n是发散的，那么p级数也是发散的。

二、当p>1时，证明的思路大概就是对于每一个整数，取一个邻域区间，使邻域区间间x∈[k,k−1]x∈[k,k−1]使得某个函数在[k,k−1][k,k−1]邻域区间内的积分小于1xp1xp在这个邻域区间的积分。

然后目的当然是通过积分求指数原函数解决问题。这个证明的比较函数取的很巧妙，令k1≤x≤kk1≤x≤k,那么1kp≤1xp1kp≤1xp。

利用比较审敛法的感觉，应该找一个比p级数的一般式大的收敛数列，证明p级数收敛。这个就有点反套路了。 

1kp=∫kk−11kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫kk−11xp1kp=∫k−1k1kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫k−1k1xp。

其中（k=2,3....）（k=2,3....）。

讨论级数和,用k的形式代表p级数，并且用一个大于它的函数来求得极限。 

sn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫k−1k1xp=1+∫n11xpdxsn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫kk−11xp=1+∫1n1xpdx。

这里利用积分区间的可加性: 

∫D1f(x)dx+∫D2f(x)dx=∫D1+D2f(x)dx。

1、级数

将数列 unun 的项 u1,u2,…,un,…u1,u2,…,un,…，依次用加号连接起来的函数。

数项级数的简称。如： u1+u2+…+un+…u1+u2+…+un+… ，简写为 ∑un∑un ， unun 称为级数的通项，记 Sn=∑unSn=∑un 称之为级数的部分和。

如果当 n→∞n→∞ 时 ，数列有极限，则说级数收敛，并以 SS 为其和，记为 ∑un=S∑un=S ；否则就说级数发散。

2、简单证明

基本手段-放缩

级数 n+1−−−−−√−n−√n+1−n 的敛散性：

∑n+1−−−−−√−n−−√=∑1n+1−−−−−√+n−−√>∑12n+1−−−−−√>∑12(n+1)，因此其是发散的。

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桂东县13965588497： 证明调和级数 是发散的 - ？
轩昏可杰： 把n变为2N S4N S2N> = 1 / 2建立 以次类推S8n S4N>至无限远 这里显然是总是有m = 2n个的Sm-Sn的|> = 1/ 0,M,正> S下标2 ^海里> = k / 2个 再次作出的k->无穷大,即2 ^ k个n-> = 1/2 小号标2 ^ KN-S标准2 ^(K-1)N> = 1/: 存在一系列限制:全部 S2N锡> = 1/2 建立一个任意;无穷大;2 所有的都概括BR /,则S无穷大=无穷大 方法,使用的最终收敛的定义;&gt,这将是 柯西序列柯西序列的任何M> N- | AM-| - >2和Cauchy序列的定义矛盾,从结果

桂东县13965588497： 级数In n/n 是发散还是收敛?怎么证明? - ？
轩昏可杰：[答案] 显然是发散的,从第三项开始分子是大于1的,因此级数可以放小为级数1/n,此为调和级数发散,故原级数发散

桂东县13965588497： 如何证明调和级数是发散的?好象用对数证明?请写出过程, - ？
轩昏可杰：[答案] 太复杂了,一大堆文字...有时间写下来, ------------------------------------------ Euler 1734年的推导过程—— 从log(1 + 1/x) = 1/x - ... 大约为0.577218 至此可以看出,Sn 在 n 趋近于无穷的时候数值将单调增长,没有边界(无穷大).级数发散.

桂东县13965588497： 如何证明调和级数是发散的? - ？
轩昏可杰： 太复杂了,一大堆文字...有时间写下来,嘻嘻 ------------------------------------------ Euler 1734年的推导过程——从log(1 + 1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) - 1/(4x^4) + .... 出发,于是 1/x = log[(x + 1)/x] + 1/(3x^3) - 1/(4x^4) + .... 代入x = 1,2,3,4...n,就给出 1/...

桂东县13965588497： n分之一的敛散性证明 ？
轩昏可杰： n分之一的敛散性是发散.无穷级数分为常数项无穷级数和函数项无穷级数,常数项无穷级数中有一个级数被称为调和级数,即以n分之一为一般项的级数,已经证明是发散...

桂东县13965588497： 高数无穷级数问题 当n趋向于无穷时,1/n不是趋向于0吗,为什么1/n的无无穷级数是发散的? - ？
轩昏可杰：[答案] 通项趋近0只是级数收敛的必要条件,而不是充分条件. 调和级数发散可以通过柯西收敛准则来证明. 设Sn=∑1/n |S(2n)-Sn|=|1/(n+1)+1/(n+2)+...1/2n|>|1/2n+1/2n+.1/2n|=1/2 取依普西龙=1/2,明显不满足柯西收敛准则,所以调和级数发散. 关于它发散的...

桂东县13965588497： 高等数学证明调和级数的发散怎么算? - ？
轩昏可杰： 级数的一般项的极限不是0,所以发散,解答如图

桂东县13965588497： 1/3+1/4+1/5+1/6+1/7.+1/50=? - ？
轩昏可杰：[答案] 形如1/1+1/2+1/3+…+1/n+…的级数称为调和级数,它是 p=1 的p级数.调和级数是发散级数.在n趋于无穷时其部分和没有极限(或部分和为无穷大).很早就有数学家研究,比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的.他的方...

桂东县13965588497： 怎么证明调和级数是发散的我们老师用的是S2n - Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.1/(n+n)>1/(n+n)+1/(n+n)+.1/(n+n)=1/2显然不等于0,推出调和级数是发散的.请... - ？
轩昏可杰：[答案] 方法一,直接从这个结果出发:S2n-Sn>=1/2对于任意n成立则把n变成2nS4n-S2n>=1/2成立以次类推S8n-S4n>=1/2S 下标2^k n -S下标2^(k-1)n >=1/2把这些统统相加S 下标2^k n >=k/2再令k->无穷,即2^k n->无穷,则S无穷=无穷...

桂东县13965588497： 为什么调和级数1+1/2+1/3+1/4+.+1/n+.是发散的?不用反证法怎么证明? - ？
轩昏可杰：[答案] 利用不等式x>ln(1+x) 由于 S=1+1/2+1/3+. >ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+...+ln(1+1/n) =ln2+ln3/2+ln4/3+...+ln((n+1)/n) =ln(2*3/2*4/4*...(n+1)/n)=ln(1+n) n-->+∞