已知直角三角形的一条边和角度求其它边长

已知直角三角形的一条边和角度求其它边长~

勾股定理：a²+b²=c².如果知道a或b的平方，就可以用a或b加一个小数字来尝试。知道c的长度，就把它拆成两个和比自己大的数字来验证。
勾股定理如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：



形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以个别表现一般，始终保留着对事物的直观性。
它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象，对表象进行加工、提炼进而提示出本质、规律，或求出对象。它的思维目标是解决实际问题，并且在解决问题当中提高自身的思维能力。

勾股定理：a²+b²=c²如果知道a或b的平方，就可以用a或b加一个小数字来尝试知道c的长度，就把它拆成两个和比自己大的数字来验证
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;； 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式：

，如：一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理） 直角三角形由 毕达哥拉斯在公元前550年提出。
有一个 角为 直角的三角形称为 直角三角形。在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为 直角边，直角所对的边称为 斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“ 弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“ 勾”，长的那条边叫作“ 股”。

中文名直角三角形别 称Rt△提出时间2016.3.10适用领域范围三角形内角和度数180度 外文名right triangle表达式Rt△ABC应用学科数学分类方法按角或边分类

目录
1图形示列
2判定定理
3特殊性质
4判定方法
5基本简介
6相关线段
7勾股定理
8应用举例
9斜边公式
10三角函数
11解三角形
解法含义
解法归纳


1图形示列
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直角三角形如图所示：分为两种情况，有普通的直角三 直角三角形角形，还有 等腰直角三角形（特殊情况)
2判定定理
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等腰直角三角形是一种特殊的三角形
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为180°。两 直角边相等，两锐角为45°，斜边上 中线、 角平分线、 垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R。
3特殊性质
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它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质 ：
性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²（ 勾股定理)
性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°
性质3：在直角三角形中， 斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点， 外接圆半径R=C/2）。该性质称为 直角三角形斜边中线定理。
性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有 射影定理如下：直角三角形
（1）（AD)²=BD·DC。
（2）（AB)²=BD·BC。
（3）（AC)²=CD·BC。
射影定理，又称“ 欧几里德定理”：在 直角三角形中，斜边上的高是两条 直角边在斜边射影的比例中项，每一条 直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 比例中项。是 数学图形计算的重要定理。
性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。
证明方法多种，下面采取较简单的几何证法。
先证明定理的前半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那么BC=AB/2
∵∠A=30°
∴∠B=60°（直角三角形两锐角互余）
取AB中点D，连接CD，根据 直角三角形斜边中线定理可知CD=BD
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
∴BC=BD=AB/2
再证明定理的后半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30°
取AB中点D，连接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
又∵BC=AB/2
∴BC=CD=BD
∴∠B=60°
∴∠A=30°
性质7:如图， 在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是斜边上的高，则：

证明：S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC
两边乘以2，再平方得AB²*AC²=AD²*BC²
运用勾股定理，再两边除以

,最终化简即得

性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
4判定方法
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判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若

，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（ 勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为 斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角 互为余角（两角相加等于 90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的 斜率之积互为 负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。
判定6：若在一个三角形中一边上的 中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。参考 直角三角形斜边中线定理
判定7：一个三角形 30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。
判定3和7的证明：
已知△ABC中，∠A=30°，∠A，∠C对的边分别为a，c，且a=

c。求证∠C=90°
证法1：
正弦定理，在△ABC中，有a:sinA=c:sinC
将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得sinC=1
又∵0<∠C<180°
∴∠C=90°
证法2
反证法，假设∠ACB≠90°，过B作BD⊥AC于D
在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠A=30°
∴BD=

AB（30°的直角边等于斜边的一半）
又∵BC

AB
∴BC=BD
但BD是B到直线AC的垂线段，根据垂线段最短可知BD
（或从BC=BD得∠BCD=∠BDC=90°，那么△BCD中就有两个直角，这是不可能的事情）
∴假设不成立，∠ACB=90°
证法3
利用三角形的外接圆证明
作△ABC的外接圆，设圆心为O，连接OC,OB
∵∠BAC=30°，A在圆上
∴∠BOC=60°
∵OB=OC=半径r
∴△BOC是等边三角形,BC=OC=r
又∵AB=2BC=2r
∴AB是直径
∴∠ACB=90°(直径所对的圆周角是直角)
应用举例
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直角三角形如图1，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点
立柱为BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，求BC、DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°

若上图中白色部分为已知，则

另一条直角边b=a×tanα

斜边c=a÷cosα

若上图中白色部分为已知，则

另一条直角边b=a×ctanα

斜边c=a÷sinα

若上图中白色部分为已知，则

直角边a=c×cosα

另一条直角边b=c×sinα

若上图中白色部分为已知，则

直角边a=c×sinα

另一条直角边b=c×cosα

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曾都区17888273664： 已知直角三角形的一条边和角度求其它边长如图~求计算过程或公式 - ？
鲁勤都梁：[答案] 长边12m,58°12′=58.2° cos58.2°=长边:斜边≈0.53 斜边=12/0.53≈22.6m tin58.2°=短边:长边≈1.61 短边=1.61*12=19.3m △的其他两边长:19.3m、22.6m

曾都区17888273664： 直角三角形,知道一条直角边长度和一个角度,另外的边怎么算 - ？
鲁勤都梁：[答案] 设直角三角形中C=90°, 1、若已知A及对边a,则: c=a/sinA,b=a/tanA; 2、若已知A及临边b,则: c=b/cosA,a=b*tanA.

曾都区17888273664： 已知直角三角行的一个角度和一条边长,求另外的边长如图, - ？
鲁勤都梁：[答案] tan∠A=y/a,其中∠A=10º,a=3, 则 y=a*tan∠A =3*tan10º(tan10º≈0.648) =3*0.648 =1.944 r=a/cos10º =3/0.985(cos10º≈0.985) =3.046

曾都区17888273664： 一个直角三角形知道一个边长和一个角的角度.这么怎么求其余两边长 - ？
鲁勤都梁：[答案] 勾股定理:a²+b²=c² 如果知道a或b的平方,就可以用a或b加一个小数字来尝试 知道c的长度,就把它拆成两个和比自己大的数字来验证

曾都区17888273664： 在直角三角形中,已知一条直角边和一个角,怎么能算出另外两条边长?举例:如果一条直角边为23cm,邻角为35度,求其余另外两条边.如果35度是直角边... - ？
鲁勤都梁：[答案] 第一种情况是没法求出的,第二种:三个角分别是A=90°,B=35°,C=55°;三个角的对边是a,b,c,很据公式a/sin A=b/sin B=c/sin C就可算出来,这个公式是高中知识,初中生自动忽略

曾都区17888273664： 已知直角三角形直角边和一个角度怎么算其他边长 - ？
鲁勤都梁： 利用三角函数.设:已知边为a 已知角为<A 一、求斜边:如果是已知对角,则——斜边=a/sin<A ; 如果是已知临角,则斜边=a/cos<A; 二:求另一直角边: 1、法一:上边已经求出斜边则用勾股定理即可; 2、法二:三角函数.如果是已知对角,则——未知直角边=a*ctg<A; 如果是已知临角,则未知直角边=a*tg<A

曾都区17888273664： 直角三角形已知一条边和角度 ？
鲁勤都梁： 直角三角形已知一条边和角度利用勾股定理可以求其他的边长.如果直角三角形两直角边分别为A、B,斜边为C,那么A²+B²=C²;即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.如果三角形的三条边A、B、C满足A²+B²=C².直角三角形是一个几何图形,是有一个角为直角的三角形,有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种.其符合勾股定理,具有一些特殊性质和判定方法.等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质:具有稳定性、内角和为180°.两直角边相等,两锐角为45°,斜边上中线、角平分线、垂线三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R.

曾都区17888273664： 直角三角形一条边和另外一个角已知求另外一条边怎样算 - ？
鲁勤都梁： 用三角函数的方法: 如果已知角A,和其对边a. 求另一条直角边就是: b=a/tanA 同理已知角A,和其邻边b: 则另一条a=b *tanA 三角形角的性质:1、在平面上三角形的内角和等于180°(内角和定理).2、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理).3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和.4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角.5、在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度. 6、 在一个直角三角形中,若一个角等于30度,则30度角所对的直角边是斜边的一半.

曾都区17888273664： 直角三角型已知角度和一边边长能求出其余两边边长吗?计算方法是? - ？
鲁勤都梁：[答案] 假设已知一个锐角A,c为斜边. a=csinA b=ccosA. a=btanA 不管已知那个边都能求出来.

曾都区17888273664： 直角三角形已知直角边和角度,求另一条直角边.我要公式(边长=?) - ？
鲁勤都梁： 直角三角形已知直角边和角度,求另一条直角边.我要公式(边长=正切乘以边长)