求一张近年来全国初中数学竞赛的试卷

09全国初中数学竞赛试题~

答案补充
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）以下每道小题均给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填，多填或错填都的0分）1、已知非零实数a、b满足|2a-4|+|b+2|+(a-3)b2 +4=2a，则a+b等于（ ）A、-1 B、0 C、1 D、2解 有题设知a≥3，题设等式化为|b+2|+(a-3)b2 =0，于是a=3，b=-2，从而a+b=1，选C
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2、如图所示，菱形ABCD边长为a，点O在对角线AC上一点，且OA=a，OB=OC=OD=1,则a等于（ ）A、5+12 B、5-12 C、1 D、2解：∵△BOC∽△ABC，∴B0AB =BCAC 即1a =aa+1 ∴a2-a-1=0由于a＞0，解得a=5+12 ，选A
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3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则关于x、y的方程组 只有正数解的概率为（ ）A、112 B、29 C、518 D、1336 解 当2a-b=0时，方程组无解当2a-b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为1336 选D
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4、如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖CD，∠B=90°，动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）A、10 B、16 C、18 D、32解 根据图象可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求的AB=8，故S△ABC=12 ×8×4=16 选B
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5、关于x、y的方程x2+xy+y2=29的整数解（x、y）的组数为（ ）A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组解 可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2+yx+（2y2-29）=0由于该方程有整数根，根据判别式△≥0，且是完全平方数由△=y2-4(2y2-29)= -7y2+116≥0解得y2≤1167 ≈16.57y2 0 1 4 9 16△ 116 109 88 53 4显然只有y2=16时，△=4是完全平方数，符合要求当y=4时，原方程为x2+4x+3=0，此时x1=-1，x2=-3当y=-4时，原方程为x2-4x+3=0，此时x3=1，x4=3所以，原方程的整数解为 选C
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6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将能行驶 ；解 设每个轮胎报废时总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为k5000 ，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为k3000 ，又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm，分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有 则x+y=3750 ∴填3750
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7、已知线段AB的中点为C，以点C为圆心，AB长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD=AC；再以点D为圆心，DA的长位半径作圆，与⊙A分别相交于点F、G两点，连接FG交AB于点H，则AHAB 的值为 ；解 如图，延长AD与⊙D相交于点E，连接AF，EF。由题设知AC=13 AD，AB=13 AE,在△FHA和△EFA中，∠EFA=∠FHA=90°，∠FAH=∠EAF∴Rt△FHA∽Rt△EFA，AHAF =AFAE ,而AF=AB,∴AHAB =13 ，填13
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8、已知a1，a2、a3、a4、a5满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程（x-a1）（x-a2）（x-a3）（x-a4）（x-a5）=2009的整数根，则b的值为 ；解 ∵（b-a1）（b-a2）（b-a3）（b-a4）（b-a5）=2009,且a1，a2、a3、a4、a5是五个不同的整数，∴（b-a1），（b-a2），（b-a3），（b-a4），（b-a5），也是五个不同的整数，又∵2009=1×（-1）×7×（-7）×41，∴（b-a1）+（b-a2）+（b-a3）+（b-a4）+（b-a5）=41，又∵a1+a2+a3+a4+a5=9∴可得b=10 填10
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9、如图所示，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线，若AC=14,BC=20，CD=12，则CE的长等于 解 如图，有勾股定理知AD=9,BD=16，所以AB=AD+BD=25故由勾股定理知△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°作EF⊥BC，垂足为F，设EF=x，由∠ECF=12 ∠ACB=45°，得CF=x，于是BF=20-x，由于EF‖AC，所以EFAC =BFBC ,即x15 =20-x20 ，解得x=607 ∴CE=2 x=607 2 填607 2
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10、10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ；解 设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应该是8-x，于是报7的人心里想的数是12-（8-x）=4+x，报9的人心里想的数是16-（4+x）=12-x，报1的人心里想的数是20-（12-x）=8+x，报3的人心里想的数是4-（8+x）=-4-x∴x=-4-x，解得x=-2填-2
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13、如图，给定锐角△ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过电D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G，试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论？解法1 结论是DF=EG，下面给出的证明。∵∠FCD=∠EAB，∴Rt△FCD∽Rt△EAB，于是可得……5分DF=BE•CDAB 同理可得EG=AD•CEAB ……10分又∵tan∠ACB=ADCD =BECE ,∴BE•CD=AD•CE，于是可得DF=EG ……20分解法2 结论是DF=EG，下面给出证明……5分 连接DE，∵∠ADB=∠AEB=90°，∴A、B、D、E四点共圆，故∠CED=∠ABC……10分又l是⊙O的过点C的切线，∴∠ACG=∠ABC……15分∴∠CED=∠ACG，于是DE‖FG，故DF=EG……20分

2011年全国初中数学竞赛试题
考试时间：2011年3月20日9：30——11：30 满分：150分
答题时注意：
1、用圆珠笔或钢笔作答；
2、解答书写时不要超过装订线；
3、草稿纸不上交。
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1、设 ，则代数式 的值为（ ）
A、0 B、1 C、－1 D、2
2、对于任意实数a, b, c, d, 定义有序实数对（a, b）与(c, d)之间的运算“△”为：（a, b）△（c, d）＝（ac+bd, ad+bc）。如果对于任意实数u, v,都有（u, v）△（x, y）＝（u, v）,那么（x, y）为（ ）
A、（0, 1） B、（1, 0） C、（－1， 0） D、（0, －1）
3、已知A，B是两个锐角，且满足 ， ，则实数t所有可能值的和为（ ）
A、 B、 C、1 D、
4、如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设 ， ， ， ，则 与 的大小关系为（ ）
A、 ＜
B、 ＝
C、 ＞
D、不能确定
5、设 ，则4S的整数部分等于（ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6、两条直角边长分别是整数a, b（其中b<2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 .
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3 ,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两个数字和为5的概率是 .
8、如图，双曲线 （ ）与矩形OABC的边BC， BA分别交于点E， F， 且AF＝BF，连结EF，则△OEF的面积为 .
9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为 .
10、设四位数 满足 ，则这样的四位数的个数为 .
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11、已知关于x的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程 的两个根都大1, 求 的值.
12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙ 和△BCH的外接圆⊙ 相交于点D， 延长AD交CH于点P， 求证：点P为CH的中点.

13、若从1,2,3,…，n中任取5个两两互素的不同的整数 ， ， ， ， ， 其中总有一个整数是素数，求n的最大值.
14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°,AB＝2AC. 点P在△ABC内,且PA= , PB=5, PC=2, 求△ABC的面积.

2009初三样题。

想学好数学关键是多练

同意楼上的观点，据我们竞赛老师说，题目多做，速度才会加快，而且锻炼我们的思维敏捷度，同时在生活中实践也是少不了的。

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