十个高数问题（空间解析几何与向量代数）

向量代数与空间解析几何~

点到平的距离有公式啊.
点（x0,y0,z0) 面 Ax+By+Cz+D=0
d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)
d=|1+4+2-10|/√9
=1
设点P（x0,y0,z0) ，面α: Ax+By+Cz+D=0； 平面的法向量为（A，B，C） 过点P且垂直于平面α的直线方程： （x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C =t x=x0+At,y=y0+Bt,z=z0+Ct 代入Ax+By+Cz+D=0， 解得 t=-(Ax0+By0+Cz0+D)/(A^2+B^2+C^2) d^2=(x-x0)^2 +(y-y0)^2+(z-z0)^2=(A^2+B^2+C^2)t^2=(Ax0+By0+Cz0+D)^2/(A^2+B^2+C^2) 所以 d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)
1.由直线(x-1)/3=(y+5)/-1=(z+1)/2可知其方向向量为（3,-1,2）
2.因为两直线平行,所以方向向量相等
3.由直线点向式可得方程(x-2)/3=（y+1）/-1=(z-4)/2

高等数学分为几个部分为：
一、函数 极限 连续
二、一元函数微分学
三、一元函数积分学
四、向量代数与空间解析几何
五、多元函数微分学
六、多元函数积分学
七、无穷级数
八、常微分方程
高数主要包括
一、 函数与极限分为
常量与变量
函数
函数的简单性态
反函数
初等函数
数列的极限
函数的极限
无穷大量与无穷小量
无穷小量的比较
函数连续性
连续函数的性质及初等函数函数连续性
二、导数与微分
导数的概念
函数的和、差求导法则
函数的积、商求导法则
复合函数求导法则
反函数求导法则
高阶导数
隐函数及其求导法则
函数的微分
三、导数的应用
微分中值定理
未定式问题
函数单调性的判定法
函数的极值及其求法
函数的最大、最小值及其应用
曲线的凹向与拐点
四、不定积分
不定积分的概念及性质
求不定积分的方法
几种特殊函数的积分举例
五、定积分及其应用
定积分的概念
微积分的积分公式
定积分的换元法与分部积分法
广义积分
六、空间解析几何
空间直角坐标系
方向余弦与方向数
平面与空间直线
曲面与空间曲线
八、多元函数的微分学
多元函数概念
二元函数极限及其连续性
偏导数
全微分
多元复合函数的求导法
多元函数的极值
九、多元函数积分学
二重积分的概念及性质
二重积分的计算法
三重积分的概念及其计算法
十、常微分方程
微分方程的基本概念
可分离变量的微分方程及齐次方程
线性微分方程
可降阶的高阶方程
线性微分方程解的结构
二阶常系数齐次线性方程的解法
二阶常系数非齐次线性方程的解法
十一、无穷级数

我只告诉你要点：
1,2,9 的要点是向量的外积(也叫叉积/向量积/矢量积)。

3,5,10 的要点是知道平面的法向量和平面一般方程的关系。
3. 任取一组y，z代进方程，解出x就可以了。
5. 在直线上任取一点X, PX和直线方向向量的外积就是平面的法向量。

4. 很显然是不唯一的，不过一定可以通过变量代换从一个表示变换到另一个表示，因为直线是唯一的。

6,7 的要点是|a|^2=(a,a)，即要知道向量的内积。
6中用到的恒等式叫平行四边形公式。

8.这个不会我实在很无语，最简单的就是这道。

建议：好好看书，你的基础还很差，需要慢慢体会教材上的概念。

1.求同时垂直与向量a={2，1，1}和b={4，5，3}的单位向量。
解答：
设单位向量为:c={p,q,r}
点乘：a.c=0, 2p+q+r=0 [1]
点乘：b.c=0, 4p+5q+3r=0 [2]
解得：p=-r/3, q=-r/3
p²+q²+r²=1,
代入 p=-r/3, q=-r/3
得到 r=3/根号11=(3根号11)/11
∴ c={-(根号11)/11，-(根号11)/11，(3根号11)/11}

2.设向量a=i+j-k,b=2i+j+k,则与a和b都垂直的单位向量是？
解答：
设单位向量是：c=pi+qj+rk
点乘：a.c=0, p+q-r=0 [1]
点乘：b.c=0, 2p+q+r=0 [2]
解得：p=-2r, q=3r
p²+q²+r²=1,
代入 p=-2r, q=3r
得到 r=1/根号14=(根号14)/14
∴ c={-(根号14)/7，3(根号14)/14，(根号14)/14}

3.求下列平面的法向量及平面所经过的一点（法向量我会，就是不会求点，答案我看了 没看明白，请说详细）
(1)5x-3y-31=0 (2)3x+4y+7z+14=0

4.将方程组3x+2+z-2=0,x+2y+3z+2=0 变为参数式和对称式方程.(这样的题有唯一答案么？还是求出任意一点就可以？为什么我总与答案对不上)

5.求满足通过点P（3，1，-2）及直线L：5分之x-4=2分之y+3=1分之2的平面方程

6.已知｜a｜=3,｜b｜=5,｜a+b｜=6,则｜a-b｜=? (这题我一点都不会说详细)

7.若向量a,b,c两两的夹角都为3分之∏,且｜a｜=4，｜b｜=2，｜c｜=6，则 ｜a+b+c｜=?

8.设向量a与b平行但方向相反，且｜a｜>｜b｜>0，则下列式子正确的式
A。｜a+b｜<｜a｜-｜b｜ B.｜a+b｜>｜a｜-｜b｜
C. ｜a+b｜=｜a｜+｜b｜ D.｜a+b｜=｜a｜-｜b｜

9，已知向量a={1,1,1},则垂直与a及y轴的单位向量B=？

10。已知A（1，3，-2），B（2，-2，5），则过B点且垂直于向量AB的平面方程是？

1.求同时垂直与向量a={2，1，1}和b={4，5，3}的单位向量。
解答：
设单位向量为:c={p,q,r}
点乘：a.c=0, 2p+q+r=0 [1]
点乘：b.c=0, 4p+5q+3r=0 [2]
解得：p=-r/3, q=-r/3
p²+q²+r²=1,
代入 p=-r/3, q=-r/3
得到 r=3/根号11=(3根号11)/11
∴ c={-(根号11)/11，-(根号11)/11，(3根号11)/11}

2.设向量a=i+j-k,b=2i+j+k,则与a和b都垂直的单位向量是？
解答：
设单位向量是：c=pi+qj+rk
点乘：a.c=0, p+q-r=0 [1]
点乘：b.c=0, 2p+q+r=0 [2]
解得：p=-2r, q=3r
p²+q²+r²=1,
代入 p=-2r, q=3r
得到 r=1/根号14=(根号14)/14
∴ c={-(根号14)/7，3(根号14)/14，(根号14)/14}

3.求下列平面的法向量及平面所经过的一点（法向量我会，就是不会求点，答案我看了 没看明白，请说详细）
(1)5x-3y-31=0 (2)3x+4y+7z+14=0

4.将方程组3x+2+z-2=0,x+2y+3z+2=0 变为参数式和对称式方程.(这样的题有唯一答案么？还是求出任意一点就可以？为什么我总与答案对不上)

5.求满足通过点P（3，1，-2）及直线L：5分之x-4=2分之y+3=1分之2的平面方程

6.已知｜a｜=3,｜b｜=5,｜a+b｜=6,则｜a-b｜=? (这题我一点都不会说详细)

7.若向量a,b,c两两的夹角都为3分之∏,且｜a｜=4，｜b｜=2，｜c｜=6，则 ｜a+b+c｜=?

8.设向量a与b平行但方向相反，且｜a｜>｜b｜>0，则下列式子正确的式
A。｜a+b｜<｜a｜-｜b｜ B.｜a+b｜>｜a｜-｜b｜
C. ｜a+b｜=｜a｜+｜b｜ D.｜a+b｜=｜a｜-｜b｜

（2，-2，5），则过B点且垂直于向量AB的平面方程是？9，已知向量a={1,1,1},则垂直与a及y轴的单位向量B=？

10（2，-2，5），则过B点且垂直于向量AB的平面方程是？得
。已知A（1，3，-2），B

可以用施密特正交法去求正交向量。

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浏阳市17778914172： 十个高数问题(空间解析几何与向量代数)小弟在自学高数 遇到目前几个问题不会,我不是要答案,我是想学会怎么做,所以请把每道题都说明怎么得出来的... - ？
枞柿瑞联：[答案] 我只告诉你要点:1,2,9 的要点是向量的外积(也叫叉积/向量积/矢量积).3,5,10 的要点是知道平面的法向量和平面一般方程的关系.3.任取一组y,z代进方程,解出x就可以了.5.在直线上任取一点X,PX和直线方向向量的外积就是...

浏阳市17778914172： 高数,向量代数与空间解析几何的问题1.曲面z=2x的平方+3y的平方 - 11在点(1,2,3)处切平面方程是?2.(常微分的)已知y1=e的x次方,y2=xe的x次方为微... - ？
枞柿瑞联：[答案] 1 z=2x^2+3y^2-11 2x^2+3y^2-z-11=0 分别对x,t,z求导 得到偏导数是4x,6y,-1 所以在点(1,2,3)处法向量是4,12,-1 切平面方程是4(x-1)+12(y-2)-(z-3)=0 2 y=e^x,y'=e^x,y''=e^x y=xe^x,y'=e^x+xe^x,y''=2e^x+xe^x 分别代入 e^x+pe^x+qe^x=0 1+p+q=0 (1) 2e^x+...

浏阳市17778914172： 高数空间解析几何与向量代数题求解1.求过点M(2, - 3,1)和直线L:{x - 5y - 16=0 的平面方程 2y - z+6=02.在平面x+y+z+1=0内作直线,通过已知直线y+z+1=0,x+2z=0... - ？
枞柿瑞联：[答案] 1,过直线x-5y-16=0,2y-z+6=0的平面方程可设为 x-5y-16+a(2y-z+6)=0,将点M(2,-3,1)带入上式,有0=2+15-16+a(-6-1+6),a=1,所以,所求平面方程为 0=x-5y-16+2y-z+6=x-3y-z-102,先求直线y+z+1=0,x+2z=0与平面x+y+z+1=0的交...

浏阳市17778914172： 十个高数问题(空间解析几何与向量代数) - ？
枞柿瑞联： 我只告诉你要点:1,2,9 的要点是向量的外积(也叫叉积/向量积/矢量积).3,5,10 的要点是知道平面的法向量和平面一般方程的关系.3. 任取一组y,z代进方程,解出x就可以了.5. 在直线上任取一点X, PX和直线方向向量的外积就是平面的法向量.4. 很显然是不唯一的,不过一定可以通过变量代换从一个表示变换到另一个表示,因为直线是唯一的.6,7 的要点是|a|^2=(a,a),即要知道向量的内积.6中用到的恒等式叫平行四边形公式.8.这个不会我实在很无语,最简单的就是这道.建议:好好看书,你的基础还很差,需要慢慢体会教材上的概念.

浏阳市17778914172： 高数,向量代数与空间解析几何的问题求直线x - 1/ - 1=y - 2/1=z - 3/ - 2与平面2x+y - z - 5=0的交点. - ？
枞柿瑞联：[答案] 根据第一个等式(就是那个直线方程)可以知道X.Y.Z之间的关系: Y=3-X; Z=2X+1. 那么将这算出来的关系式带入到你所知的那个平面方程之后可以得到: 2X+3-X-2X-1-5=0 解这个方程:X=-3;那么依次Y=6;Z=-5. 即该直线与平面的交点为(-3,6,-5...

浏阳市17778914172： 高数 向量代数和空间解几问题1,设向量a=(2, - 1, - 2),向量b=(1,1,z),问z为何值时向量a与b的夹角最小?并求出此最小值.2,试求过点A( - 2,0,0)和B(0, - 2,0),... - ？
枞柿瑞联：[答案] 几何题要传图,应该一题一题地提问.只做第一题.(1,1,z)在平面x=y上.把(2,-1,-2)投影到平面x=y上:x=y的法方向(1,-1,0),过点(2,-1,-2)垂直于x=y的直线方程:(x-2)/1=(y+1)/(-1),z=-2. 它与x...

浏阳市17778914172： 高数空间解析几何与向量代数问题:求抛物线z=1+x^2+y^2的一个切平面使它与抛物线及圆柱面(x - 1)^2+y^2=1所围成的立体的体积最小,并求出最小的体... - ？
枞柿瑞联：[答案] 你的思路完全是对的,只需要耐心的算下去就是了.

浏阳市17778914172： 高数向量与解析几何问题1.设向量a={2, - 3,1},b={1, - 2,3},c={2,1,2},向量r满足r⊥a,r⊥b,Prj(c)r=14,求r.2.一平面通过X轴,且与平面x - y=0的夹角为∏/3,求该平... - ？
枞柿瑞联：[答案] 1、先求r的方向,由于r⊥a,r⊥b,则r的方向为a叉乘b=(-7,-5,-1),该向量在c上的投影为:(-7,-5,-1)的模乘以(-7,-5,-1)与c的夹角余弦,结果为-7,因此r是该向量的2倍,方向相反,r=(15,10,2) 2、设所求平面为By+Cz=0,该平面法向量与x-y=0法...

浏阳市17778914172： 空间解析几何和向量代数(高等数学问题) - ？
枞柿瑞联： 解:1.由|a+b|=|a-b|→√[2² + (-4)² + (8 + z)²]=√[4² + (-6)² + (8 - z)²]→z=1 2.由|a+b|²=|a|² + |b|² - 2|a| * |b|cos(5π/6),|a-b|²=|a|² + |b|² - 2|a| * |b|cos(π/6)→|a+b|=√7,|a-b|=1 由(a+b)●(a-b)=|a+b| * |a-b|cosθ,其中:θ为向量a+b与a-b的夹角,且:(a+b)●(a-b)=2 解得:θ=arccos(2√7/7).

浏阳市17778914172： 高数 题 空间向量与解析几何设直线l位于片面π 3x - y+2z - 5=0上,过平面π与直线 l1:x - 7/5=y - 4/1=z - 5/4 的交点m0 且与直线l1垂直 求直线l的方程 - ？
枞柿瑞联：[答案] (x-7)/5=(y-4)/1=(z-5)/4=t x=5t+7,y=t+4,z=4t+5 代入平面方程: 3(5t+7)-(t+4)+2(4t+5)-5=0 t=-1 m0=(2,3,1) L:(x-2)/1=(y-3)/p=(z-1)/q L与L1垂直,所以 5+p+4q=0 L在平面内,所以 3-p+2q=0 p=1/3,q=-4/3 (x-2)/1=(y-3)/(1/3)=(z-1)/(-4/3) 即: (x-2)/3=(...