高数～求过点(1,-4,5),且在各坐标轴上的截距相等的平面方程

过点(1,4,5)且在各坐标轴上的截距相等的平面方程~

平面方程为Ax+By+Cz+D=0，平面与三坐标轴皆相交所以A,B,C皆不为0.
该平面在三坐标轴上截距分别为-D/A,-D/B,-D/C
所以所求平面符合-D/A=-D/B=-D/C，所以D=0，或A=B=C
若D=0，因为过(1，4，5）所以A+4B+5C=0,
经检验，任意符合A+4B+5C=0的实数A、B、C，都使得平面Ax+By+Cz=0符合条件。
若A=B=C，则由条件A+4A+5A+D=0,D=-10A
因为A≠0，方程两边同时除以A得x+y+z-10=0，经检验该方程符合条件。
综上平面方程为Ax+By+Cz=0,(A+4B+5C=0)或x+y+z-10=0
前一种平面也可以表示为Ax+By-(A+4B)z/5=0,(A,B为任意实数）

因为平面在各坐标轴上截距相等
所以,可设该平面的方程为：
x+y+z=k
又平面经过点(2,-1,3)
2-1+3=k
k=4
该平面的方程为：
x+y+z=4

所求的平面方程为：x+y+z=2。

由空间平面的一般方程式：Ax+By+Cz+D=0，其中X,Y,Z轴的截距分别为：-A/D,-B/D,-C/D，因为其相等，设为k；又因为平面在各坐标轴上截距相等，且平面经过点(1，-4，5)；

则经过点（1，-4,5）的截距也是相等的，即k=各坐标之和，可得1-4+5=k，所以k=2

所以过点(1,-4,5),且在各坐标轴上的截距相等的平面方程为：x+y+z=2

扩展资料：

平面方程的类型

一、截距式

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1 。它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。

二、点法式

n为平面的法向量，n=(A,B,C),M,M'为平面上任意两点，则有n·MM'=0, MM'=(x-x0,y-y0,z-z0)，从而得平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 。三点求平面可以取向量积为法线任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。

平面方程的特点：

设平面1和平面2的法向量依次为n1＝{A1,B1,C1}和n2＝{A2,B2,C2}

1.两平面垂直：  （法向量垂直）

2.两平面平行：          （法向量平行）

3.平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点P0（x0，y0，z0），平面的方程为 ，则点到平面的距离为：

平面方程的解法：

方法一：带入消元法。将条件中给出的点坐标等带入一般方程，求解系数。一般的方程都可以用此解法。

方法二：法向量解法。可以利用法向量和平面的系数关系，求解平面的系数

方法三：克莱姆法则。研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值，用克莱姆法则求解时计算量较大，需要慎重选择。

参考资料：

百度百科-平面方程

平面方程为：x+y+z=2

解：先设该平面的方程为：x+y+z=k

因为平面在各坐标轴上截距相等，平面经过点(1，-4，5)

可得1-4+5=k

所以k=2

所以过点(1,-4,5),且在各坐标轴上的截距相等的平面方程为：x+y+z=2

扩展资料：

一、空间坐标系

在参考系中可建立三维正交空间坐标轴X、Y、Z构成的空间坐标系，

在加速场中的物质系，相对于空间坐标系产生空间位置变化量可称为位移，位移为矢量，由原点O为起始点的位移K在正交空间坐标轴X、Y、Z上的分量分别以K𝗑，Ky，Kz，表示：

K𝗑=Kcosα

Ky= Kcosβ

Kz=Kcosγ

式中α、β、γ分别为位移K与空间轴X、Y、Z正方向所成空间方位角。

令i、j、k分别为沿X、Y、Z轴正方向的单位矢量，则可将位移K表示为：

K = Kxi + Ky j + Kz k

位移K的大小可表示为：

K = |K|

位移K与X、Y、Z各轴间夹角α、β、γ的余弦值可分别表示为：

cosα=cos∠KOAcos∠AOX= Kx/K

cosβ=cos∠KOAcos∠AOY=Ky/K

cosγ=cos∠KOCcos∠COZ=Kz/K

二、时空坐标系

同理在某一参考系中可建立四维正交时空坐标轴T、X、Y、Z构成的时空坐标系。

(1) 时空单位

可令h、i、j、k分别为沿T、X、Y、Z轴正时空方向的单位矢量。

在此所建立的一维时间坐标轴T，与空间坐标系相互垂直，虽然在空间坐标系中体现不出时间单位矢量h的方向，但在时空坐标系中却可体现出时间单位矢量h的方向，与空间单位矢量i、j、k均相互垂直。

在国际单位制中，时间坐标单位与空间坐标单位分别为秒（s）、 米（m）

在时空坐标系中，时间坐标单位与空间坐标单位可统一为相同单位。

设光波沿空间X轴方向传播。依据光速不变原理，在场强为零的均匀加速场中传播的光速恒为C，则可表示其在空间X轴方向传播的空间距离与在时间T轴方向流逝的时间间隔是相同的。

可以理解：光速C即为时间坐标单位与空间坐标单位之间的变换当量，可称为时空单位当量：C = ΔX / ΔT

若采用SI制时C = 3 × 108 m / s

若采用统一时空单位时C = tanθ= | i / h | = 1

此时光波时空曲线OP与时间轴T或与空间轴X所成时空角均为π/ 4：θ = π / 4，φ = π / 4

(2) 时空移

在加速场中的检验物质系，相对于时空坐标系产生的时空坐标变化量，可称为时空移S , 时空移为时空矢量。

时空移S在时间坐标轴T方向与在空间坐标系中位移K方向构成的二维时空坐标系中可分解为时间分量St与空间分量Sk ，

在此，时间分量St、空间分量Sk分别为：

St=t=Scosθ

Sk=k=Scosφ ，式中θ、φ分别为时空移S与时间轴T、空间坐标轴K所成的时空角。

时空移S在空间坐标系中可分解为空间分量Sk ，空间分量Sk在空间坐标系中为空间矢量，即位移矢量K，位移K又可在空间坐标轴X、Y、Z中分解为空间坐标分量Kx、Ky、Kz ，

时空移S在时间坐标轴T中可分解为时间分量S t，时间分量S t在时空坐标系中与时间单位矢量h具有相同时空方向，即可称为时间矢量，但在描述物质系空间运动时，作为坐标时间t体现不出空间方向，故通常在空间运动中将时间分量t称为标量。

时空移S可表示为：

S = St + Sk

S = St h + Kx i + Ky j + Kz k

时空移S与T、X、Y、Z各轴间夹角的余弦值可分别表示为：

cosθ= St / S

cos φx = Kx / S

cos φy = Ky / S

cos φz = Kz / S

其中： S = 为时空移S的绝对值。

参考资料：百度百科--平面方程    百度百科--坐标轴

平面方程为：x+y+z=2

解：先设该平面的方程为：x+y+z=k

因为平面在各坐标轴上截距相等，平面经过点(1，-4，5)

可得1-4+5=k

所以k=2

所以过点(1,-4,5),且在各坐标轴上的截距相等的平面方程为：x+y+z=2

扩展资料

平面截距式方程是平面方程的三种形式之一，另两种是平面的一般方程和平面的点法式方程。

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1。

它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。

参考资料：百度百科-平面方程

平面方程：Ax+By+Cz+D=0 (参数,A,B,C,D是描述平面空间特征的常数)

因此假设方程式为x+y+z-a=0，将已经知道的点代入公式中，则1-4+5-a=0，那么得到a=2

故所以该平面方程为x+y+z-2=0。

如何根据已‎知条件写出‎平面方程呢‎，对这类问题‎的求解是否‎有规律可循‎,虽然在求这‎类问题时题‎目中会给出‎很多不同的‎已知条件，只要我们采‎用相应的解‎题方法，就会求出不‎同的关于平‎面方程的正‎确形式。求解方程没‎有什么普遍‎的万能的方‎法，所以必须全‎面掌握这部‎分的知识，再通过大量‎的练习来逐‎步的巩固。

扩展资料：

在空间坐标系内，平面的方程均可用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示。

空间解析几‎何主要是研‎究三维空间‎中的平面，学习空间平‎面首先要明‎确他们的方‎程，我们在求解‎的过程中，了解方程的‎特点熟悉常‎用的确定平‎面的方法。在这些方法‎中我们重点‎运用代数的‎方法定量的‎研究空间最‎简单而又最‎基本的图形‎，即空间平面‎。

在学习这种‎方法时，有时矢量代‎数的知识掌‎握运用得不‎好，再加上缺乏‎空间想象力‎，搞不清所求‎平面与已知‎条件，容易为求解‎方程带来困‎难。为解决这个‎困难我们要‎深入的探讨‎空间平面的‎求解方法。

平面方程为Ax+By+Cz+D=0，平面与三坐标轴皆相交所以A,B,C皆不为0，该平面在三坐标轴上截距分别为-D/A,-D/B,-D/C，

所以所求平面符合-D/A=-D/B=-D/C，所以D=0，或A=B=C

若D=0，因为过(1，4，5）所以A+4B+5C=0
经检验，任意符合A+4B+5C=0的实数A、B、C，都使得平面Ax+By+Cz=0符合条件。
若A=B=C，则由条件A+4A+5A+D=0,D=-10A
因为A≠0，方程两边同时除以A得x+y+z-10=0，经检验该方程符合条件。
综上平面方程为Ax+By+Cz=0,(A+4B+5C=0)或x+y+z-10=0
前一种平面也可以表示为Ax+By-(A+4B)z/5=0(A,B为任意实数）

拓展资料

截距：函数与坐标轴交点的纵（横）坐标，可为正可为负

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