证明收敛数列的有界性

收敛数列的有界性证明~

目的是证明收敛数列的有界性。 数列{Xn}收敛到a（不是n=a,），根据极限定义对于任意E＞0, 存在正整数N，当n＞N，不等式/Xn-a/＜E都成立，此处E可以选为1。直观地想就是当n趋于无穷的时候，Xn的值无限接近a，为了准确描述这一性质，引入了N。【】的是绝对值不等式，为的是证明，当n>N时，所有的Xn都有上限，都要小于E+|a|。就是Xn无限接近a，在n>N之后，所有Xn都小于a加上个正数（E）。到此证明了从N开始，数列都是有界的（都小于E+|a|）。下面要证明n<=N的时候数列也得有界（X1, X2.....,XN，显然对于任意m, Xm<=|Xm|，所以对于所有n<=N，取其绝对值，并和刚才的E+|a|并为一个集合。N之前所有的Xn，都小于等于自身绝对值，N之后所有Xn都小于E+|a|。取该集合最大值为M，对于全部Xn来说，必然都小于这个值。最后，对于数列Xn, 确实存在M，对所有n, Xn<M，收敛数列必有界。

这个问题你要理解证明的内涵：一个数列收敛就是说在n充分大（大于N)之后，xn与a的差充分小，这就限制了在n充分大后xn的绝对值要小于一个常数，而这个常数是与n究竟取做多大有关的，n越大，与a的偏差就越小。而前有限项必然是可以有最大值的，这样将这个数列一分为二：前有限项有界，后无穷项也有界，那么这个数列就是有界的，这个就是取M=max{...}的意义。而事实上这里后无穷项的界可以是|a|+任意正数，只不过证明时为了方便取做1而已。
哪里矛盾了呢？你说的小于一实际是上确界，就是上界中最小的。2当然是它的上界，注意这个证明是有界，不是找上确界。

因为数列收敛，设，由定义，对于，存在正整数，

n>N时，都有 (n>N)，从而有 。

取，则对一切的n，都有，所以数列有界。

根据定理2，如果数列无界，则数列一定是发散的。但必须注意：有界数列不一定收敛。例如，数列是有界的。因为，但它却是发散的(见例4)。可见,数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件．

简单计算一下即可，答案如图所示

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荆州市15919871820： 如何证明收敛数列必是有界数列? - ？
茆览中宝：[答案] 设数列{a[n]}收敛于a,由定义知存在正整数M,使得当n>M时|a[n]-a|于是min{a[1],a[2],...,a[M],a-1}解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答

荆州市15919871820： 如何证明收敛数列必是有界数列? - ？
茆览中宝： 时||设数列{a[n]}收敛于a,由定义知存在正整数M,使得当n>M时|a[n]-a|<1,或者说a-1<a[n]<a+1 于是min{a[1],a[2],...,a[M],a-1}<=a[n]<=max{a[1],a[2],...,a[M],a+1},即{a[n]}有界.

荆州市15919871820： 关于收敛数列的有界性证明问题 - ？
茆览中宝： 并非如此. 举个例子:X1=1;X2=-1;X_n=2-1/n,n>=3. 显然X1,X2就不能是最大数了; 但是数列{X_n}的极限值a=2.

荆州市15919871820： 收敛数列有界性怎样证明 - ？
茆览中宝： 高等代数上有.用收敛的定义就能挣

荆州市15919871820： 一个很简单的收敛数列有界性的证明问题 - ？
茆览中宝： 1. 这个问题你要理解证明的内涵:一个数列收敛就是说在n充分大(大于N)之后,xn与a的差充分小,这就限制了在n充分大后xn的绝对值要小于一个常数,而这个常数是与n究竟取做多大有关的,n越大,与a的偏差就越小.而前有限项必然是可以有最大值的,这样将这个数列一分为二:前有限项有界,后无穷项也有界,那么这个数列就是有界的,这个就是取M=max{...}的意义.而事实上这里后无穷项的界可以是|a|+任意正数,只不过证明时为了方便取做1而已. 2. 哪里矛盾了呢?你说的小于一实际是上确界,就是上界中最小的.2当然是它的上界,注意这个证明是有界,不是找上确界.

荆州市15919871820： 证明收敛数列的有界性 - ？
茆览中宝： 因为数列收敛,设,由定义,对于,存在正整数,n>N时,都有 (n>N),从而有 . 取,则对一切的n,都有,所以数列有界. 根据定理2,如果数列无界,则数列一定是发散的.但必须注意:有界数列不一定收敛.例如,数列是有界的.因为,但它却是发散的(见例4).可见,数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.

荆州市15919871820： 收敛数列的有界性除了高等数学书上写的还有什么方法证明? - ？
茆览中宝： 高等数学,按某大家的说法,“玩的就是概念”.对你的问题,首先,由定义,Xn->a的含义到底是什么? 即对任意ε >0, 存在正整数N, 对所有满足n > N的Xn, 不等式|Xn - a | < ε均成立 , 即, 当n > N时|Xn| = |Xn - a + a| <= |Xn-a| + |a| < ε + |a| (此步用到了绝对值不等式及一点小的技巧).再次,证明{Xn}有界,我们要找出一个M > 0, 对任意的正整数n, |Xn| <=M 即可.由前述,我们对大多数Xn已经找到了一个界,再比较剩下的即可.具体证明有界时,我们只需给出一个具体的界即可,此时取ε = 1 或其它任何的具体数均可,再比较一下剩下的Xn就行了.

荆州市15919871820： 数学 数学分析 数列 收敛: 证明收敛的数列是有界的 - ？
茆览中宝：[答案] 证明: 若an→a, 那么有对所有的e>0,存在自然数N, 当n>N,时 |an-a|N时 a-e

荆州市15919871820： 收敛数列的有界性证明问题 - ？
茆览中宝： 形象一点理解就是:数列在N之后,全部都落在了【a-1,a+1】里面,所以后面的无穷多个是有界的,又因为落在区间【a-1,a+1】外面的只有有限多个,所以这有限多个肯定有最大值,我们不妨设为M,于是我们再比较M和【a-1,a+1】的大小,取较大的一个不妨设为L为上限,于是就有|Xn|《L,这就证明了收敛数列有界

荆州市15919871820： 收敛数列的有界性M - ？
茆览中宝： 目的是证明收敛数列的有界性. 数列{Xn}收敛到a(不是n=a,),根据极限定义对于任意E>0, 存在正整数N,当n>N,不等式/Xn-a/