关于勾股定理的证明

勾股定理最简单的四种几何证明办法 图文~

勾股定理的证明方法一：切割定理证明

勾股定理的证明方法二：直角三角形内切圆证明

勾股定理的证明方法三：反证法证明

勾股定理的证明方法四：杨作玫证明

扩展资料：
公元前十一世纪，周朝数学家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。
以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。
后刘徽在刘徽注中亦证明了勾股定理。在中国清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法。
参考资料来源：百度百科-勾股定理

（Ⅰ） ,

∴ .

(Ⅱ) ,

∴ .

(2)如图1-2，将两个直角三角形拼成直角梯形。



∴
4.勾股定理各种表达式

在 中， ，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c则 ， ，
， ，


A．重点、难点提示

1．勾股定理反映了一个直角三角形三边之间的关系，所以它也是直角三角形的一条重要性质，同时，勾股定理及逆定理能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足 ），所以它把形与数密切联系了起来；

（数形结合是一种重要的数学思想）

2．理解并掌握勾股定理，能够熟练应用勾股定理解决问题．

（这是重点，也是难点，要掌握好）



B．考点指要

勾股定理是几何中几个重要定理之一，也是中考的重要内容之一，本节的考试点是已知直角三角形的两边求第三边．

勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边成为弦．

已知直角三角形的任意两边后，可利用勾股定理求得第三边，为使计算迅速，建议大家熟记：

（1）常用的勾股数组：3、4、5；6、8、10；5、12、13等；

（2）含45°的直角三角形的三边之比为 ；

（3）含30°的直角三角形的三边之比为 ．

在利用勾股定理进行计算与证明中，无直角的情况下，可适当添加垂线，以便利用勾股定理．

如果正数x满足 ，则记 ，这类数在本章中经常遇到，到八年级第二章时我们会专门来学习这类数的性质．请大家不妨把它当作一个一般的数来处理．



【难题巧解点拨】

例1：在△ABC中，∠C=90°，

（1）若a=3，b=4，则c=_________________；

（2）若a=6，c=10，则b=_________________；

（3）若c=34，a：b=8：15，则a=_________________，b=_________________；

（4）若b=5，∠B=30°，则c=_________________．



思路分析

这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知除直角外的两个独立条件，就能求得直角三角形的边．

解：（1） ，则c=5；

（2） ，则b=8；

（学会正确应用勾股定理，关键在于边的判断．）

（3）∵a：b=8：15，∴设a=8x，b=15x，

∵∠C=90°，∴ ，∴c=17x，

∴17x=34，x=2，

∴a=16，b=30．

（4）∵∠C=90°，∠B=30°，∴c=2b=10．




例2：如图1-1，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．

解：设DC=x，则BD=14-x，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：

，

两式相减，可得： ，

解之得：x=5，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=12．

点评：△ABC被高AD分成的两个直角三角形的直角边都是未知数，需在两个直角三角形中分别用勾股定理，构成方程组，才能求得结果．这种方程思想在直角三角形的有关计算中是经常应用的．




例3：如图1-2，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若AB=13cm，AC=5cm，求CD的长．

解法一：由勾股定理， ，

，

∴BC=12cm．

设AD=x，则BD=13-x，

在Rt△ACD中， ，

在Rt△BCD中， ，

，

（直角三角形斜边上的高出现以后，共有三个直角三角形）

解得： cm，

，即 ．

解法二： ，

∴AC·BC=AB·CD，

由勾股定理可求得BC=12cm，

．

（常用面积法求直角三角形斜边上的高）

点评：解法二利用三角形面积公式，这为求直角三角形斜边上的高提供了简便的方法；解法一虽然比较繁，但是它提供了“已知三角形（任意三角形）的三边，求一边上的高”的一般解法．


例4：如图1-3，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证： ．

（以结论的形式为解决问题的突破点）

证明：过点C作CF⊥BC，使CF=BE，连结AF、DF，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=∠ACF=45°，

∴△ABE≌△ACF （SAS），

∴BE=CF，AE=AF，∠BAE=∠CAF，

∴∠BAC=∠EAF=90°，

∵∠DAE=45°，

∴∠DAF=45°，

∴△DAE≌△DAF（SAS），

（两次利用证明三角形的全等进行边的转化）

∴DE=DF， ，

．

点评：本题综合考察勾股定理的应用，关键是构造直角三角形．从待证的结论来看，联想到勾股定理，但由于CD、BE、DE三边不在同一个三角形中，应设法将其集中在一个三角形中，而△ABC是等腰三角形，有边、角相等的条件，为构造三角形提供了基础．


例5：国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造．莲花村六组有四个村庄A、B、C、D正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图1-4中的实线部分，其中图（4）中，∠DAE=∠ADE=∠CBF=∠BCF=30°．请你帮助计算一下，哪种假设方案最省电线？（以下数据可供参考： ）

解：不妨设正方形的边长为1（也可设为a），则

图1-4（1）、图1-4（2）中的总线路长分别为AD+AB+BC=3，AB+BC+CD=3，

（认真理解题意是关键）

图1-4（3）中，总线路长为 ，

图1-4（4）中，延长EF交BC于点H，则FH⊥BC，BH=HC，

∵∠FBH=30°， ，

由勾股定理可得：

，


，

此时，总线路长为： ，

显然，3>2.828>2.732，

故图1-4（4）的连接线路最短，即图1-4（4）的架设方案最省电线．

点评：本题是实验应用题，主要考察架设电路的实践和创新能力，符合国家对中考命题的要求，解题的关键是计算出四条线路的长度，并加以比较，选出最短的方案．



【典型热点考题】

例1 在钝角 中，CB=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC于CD。求AC长。

点悟：从题目所给的条件看，不易直接利用勾股定理计算AD，必须先求出CD的长才能解决问题。要求出CD的长度，可设CD=x，设法找到关于x的方程，通过解方程的方法求出未知的CD长，而题目中存在的两个直角三角形给了我们解决的途径。


解：如图，设CD=x，在 中， ；在 中，

。

∴ 。



解此方程，得x=6。

∴ 。



例2 已知：如图1-3在 中， AB=5，BC=3，CD⊥AB于D,求CD的长。


解：∵ 是直角三角形AB=5，BC=3，由勾股定理有

，

∴ 。

又 ，

∴ 。

答：CD的长是2.4。



例3 在 中，AD⊥BC于D，∠ABC=2∠C，求证： 。

点悟：从已知条件和结论看，二者没有直接的联系。从结论出发，如果结论成立，需有 。而通过Rt△ABD和Rt△ACD，易得 。只需再证CD-BD=AB即可。由于∠ABC=2∠C，可利用倍角关系来证明CD-BD=AB。

证明：如图1-4延长DB至E，使EB=AB，连结AE。


由作图可知：△ABE是等腰三角形，

∴∠1=∠E。

又∵∠ABC=∠1+∠E=2∠C，

∴∠E=∠C。

∴DC－BD=DE－DB=BE=AB。

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

， 。

∴


=（CD+BD）（CD-BD）
=BC·AB

∴ 。



例4 已知：△ABC的三个角度数比是∠A：∠B：∠C=1：2：3。

求证： 。

证明：∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和是180°），∠A：∠B：∠C=1：2：3（已知）。

∴∠A=30°，∠C=90°。

∴c=2a。

在Rt△ACB中，有

（勾股定理），

∵ ，

∴ 。

例5 已知如图1-5，在△ABC中，AB=AC=5，P为BC边上一点，


求证： 。

证明：过A作AD⊥BC于D，则有BD=CD。

在Rt△APD中，

（勾股定理）

又∵ （勾股定理），

∴
=
=25+（PD+CD）（-BP）

=25-PC·BP，

∴ 。

点拔：当涉及计算时，常作高构造直角三角形，利用勾股定理证题。



例6 如图1-6，在△ABC中，∠A=90°，DE垂直平分BC，若AC=2，∠B=15°，求△ABC的周长。


点悟：欲求△ABC的周长，必须求出它的三条边，因已知中只知道AC的长，故需求出AB和BC的长。因为∠B=15°，非特殊角，故考虑先将其转化为特殊的角，沟通角与边或边与边的关系。

解：连结CD，则

∵DE垂直平分BC，

∴DB=DC，

∴∠B=∠DCB。

又∵∠ADC=∠B+∠DCB，

∴∠ADC=2∠B。

∵∠B=15°，

∴∠ADC=30°。

∴在Rt△ADC中，AC= DC，

又∵AC=2，

∴BD=CD=4。

由勾股定理 得

。

∴ 。

由勾股定理 ，得

。

∴△ABC的周长等于 。



例7 已知：如图1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为BC、AC的中点，AD=5，BE= ，求AB的长。


点悟：先求BC、AB，再由勾股定理求AB。

解：设AC=b，BC=a，AB=c，

∵AD、BE是中线（已知），

∴CE= ，CD= （三角形中线概念）。

又∠C=90°（已知），

∴在Rt△ACD中， （勾股定理），

在Rt△BCE中， （勾股定理），

∵AD=5， （已知），

∴
∴ 。

∵在Rt△ABC中，∠C=90°（已知），

∴ （勾股定理）。

∴AB= 。



例8 如图1-8，△ABC的三边BC=17，CA=18，AB=19，过△ABC内一点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的长度。


点悟：由PD、PE、PF分别垂直于三角形的三条边可想到构造直角三角形，利用勾股定理来得到边与边之间的关系。

解：连结PA、PB、PC，则设BD=x，CE=y，AF=z，则

DC=17-x，EA=18-y，FB=19-z。

在Rt△PBD中， 。

在Rt△PBF中， 。

即 ①。

同理可得

②。

③。

①+②+③，得

。

化简，得

17x+18y+19z=487。

又∵x+y+z=27，

∴x=z-1。

∴BD+BF=x+(19-z)=18。



例9 一个等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，求这个三角形的各边长。

解：如图1-9，设此等腰三角形的底边长为a，腰长为b，则按题意有



解得 a=6cm，b=5cm。



例10 已知：如图1-10在△ABC中，∠A=90°，DE为BC的垂直平分线，


求证：
点悟： ，只须证 ，而AE、AC互相垂直，故想到连结CE，则有 ，又由垂直平分线性质，得BE=CE，所以问题得证。

证明：连结CE，则BE=CE，

∵∠A=90°，

∴ （勾股定理）

∴
∴ 。



【综合题型巧解】

例11 已知，如图1-11，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°， ，求AC的长。


点悟：如过A作AD⊥BC于D，则AD=1，因为∠C=30°，故AC=2，

解：过A作AD⊥BC于D，

∴∠B+∠BAD=90°。

∵∠B=45°，

∴∠B=∠BAD=45°，

∴AD=BD。

∵ ，

∴AD=1。

∵∠C=30°，AD⊥BC。

∴AC=2AD=2。



例12 如图1-12，在△ABC中，AB=AC，GH‖BC，求证： 。


证明：如图1-12，过H作HM‖AB交BC于M，HN⊥BC于N。

∵GH‖CM，GB‖HM，

又 BH=BH，

∴△GBH≌△MHB，从而BM=GH。

∵∠HMC=∠ABC=∠C 且HM⊥MC，

∴MN=NC。

在Rt△BHN与 Rt△HNC中，

， ，

∴
= +（BN+NC）（BN-NC）

= +BC·（BN-MN）

= +BC·BM= +BC·GH。

点拔：合理添作辅助线HM、HN，转移相等线段并利用勾股定理是证得本题结论的关健。



例13 在△ABC中，如图1-13，△ABC中，如图1-13，∠BAC=90°，AB=AC，P为BC上一点。


求证： 。

点悟：从结论中 考虑，应该将PA放置到Rt△中去，为此考虑过A点作垂线段或过P点作垂线段构造Rt△，这样得到两种证法。

证法（一）：如图1-13，过点A作AD⊥BC于D，

则在Rt△ADP中 ，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠C=45°。

∵AD⊥BC，AB=A C，

∴∠BAD=∠CAD=45°。

∴∠B=∠BAD=∠CAD=∠C=45°

∴AD=BD=CD= BC。

∴
=
=
∴ 。

证法（二）：如图1-14，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则BE=PE，PF=CF=AE，下略。




例14 设a、b、c、d都是正数，求证：

> 。

略证：构造一个边长分别为(a+b)、(c+d)的矩形ABCD（如图1-15）


在Rt△ABE中，

BE=
=
= ，

在Rt△BCF中，

BF=
=
= ，

在Rt△DEF中，

EF= 。

在△BEF中，BE+EF>BF,

即 + >

勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。

1．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。

左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是
a^2+b^2=c^2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。

2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图。

容易看出，

△ABA’ ≌△AA'C 。

过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。

△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。

于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，

即 a2+b2=c2。

至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。

这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。

以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：

⑴ 全等形的面积相等；

⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。

这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。

我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：

如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。

赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。

西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。

下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。

如图，

S梯形ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2)， ①

又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2)。 ②

比较以上二式，便得

a2+b2=c2。

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。

在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则

△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①

由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②

我们发现，把①、②两式相加可得

BC2+AC2=AB（AD+BD），

而AD+BD=AB，

因此有 BC2+AC2=AB2，这就是

a2+b2=c2。

这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。

在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：

设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理

c2=a2+b2-2abcosC，

因为∠C=90°，所以cosC=0。所以

a2+b2=c2。

这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。

人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。

勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

如此等等。

另：八年级数学勾股定理的证明（介绍16种证明的方法）(数学教案)
http://www.ydgz.com/Soft/ShowSoft.asp?SoftID=40105
参考资料：http://baike.baidu.com/view/366.htm

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