在一圆O内，弦AB与直径MN相交于P点且夹角为45度（P点不为圆心），求证：AP^2+BP^2=2R^2

圆的直径ab与弦ef相交于点p夹角为45度，若pe的平方加pf的平方等于8，则ab等于多少~

解：
过圆心O作OH⊥EF于H，连接OE，
则EH=FH（垂径定理），
∵∠APE=45°，
∴△OPH是等腰直角三角形，
∴OH=HP，
设EH=FH=a，OH=HP=b，
则PE=EH+HP=a+b，PF=FH-HP=a-b，
∵PE^2+PF^2=(a+b)^2+(a-b)^2
=a^2+b^2+2ab+a^2+b^2-2ab
=2a^2+2b^2=8
∴a^2+b^2=4，
∵OE^2=EH^2+OH^2=a^2+b^2=4，
∴OE=2
则AB=2OE=4 。

【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦关系，垂径定理。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
圆心角、弧、弦关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 ；
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
【分析】
（1）根据圆周角定理可知∠CPD=1/2∠COD，根据垂径定理可知弧CB=弧DB， 根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 ，可知∠COB=∠DOB=1/2COD，推出∠CPD=∠COB；
（2）根据圆周角定理可知∠CPD=1/2优角COD，根据垂径定理可知弧AC=弧AD，根据等弧对等角可知∠AOC=∠AOD=1/2优角COD，推出∠CPD=∠AOC，由∠AOC+∠COB=180°可知∠CPD+∠COB=180°。
【解答】
（1）

证明：
连接OD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD（已知），
∴弧BC=弧BD（垂径定理），
∴∠COB=∠DOB=1/2∠COD（同弧所对的圆心角相等），
∵∠CPD=1/2∠COD（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
∴∠CPD=∠COB（等量代换）。
（2）

当点P在劣弧CD上时，∠CPD+∠COB=180°。
证明：
连接OD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD（已知），
∴弧AC=弧AD（垂径定理），
∴∠AOC=∠AOD=1/2优角COD（同弧所对的圆心角相等），
∵∠CPD=1/2优角COD（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），
∴∠CPD=∠AOC（等量代换）。
∵∠AOC+∠COB=180°（平角180°），
∴∠CPD+∠COB=180°（等量代换）.

首先过P点做AB的垂直线与圆周分别相交于C 、D点，即做垂线段CD，
又因为AB与MN成45°AB与CD同为一个圆的两条玄线且垂直相交P点
所以AB=CD AP=CP BP=DP ∠CPN=∠APN=45°
因为线段 OA= OB =OC =OD=R PC2+PB2=BC2=AP2+BP2
所以∠OBA=∠OCD
所以∠OBA+∠CBA=∠OCD+∠CBA=∠CPB=90°
因此 OB2+OC2=BC2=2R2
得证 AP2+BP2=2R2

作OE⊥AB于点E，则AE＝BE
∵∠OPE＝45°
∴OE＝PE
设：BE＝a，OE＝b
则AE＝a，PE＝b
∴PB＝a＋b，PA＝a－b
∴PA^2＋PB^2＝（a－b）^2＋（a＋b）^＝2（a^2＋b^2）
连接OB
在Rt△BOE中，OE^2＋BE^2＝OB^2
∴a^2＋b^2＝2R^2
∴PA^2＋PB^2＝2R^2

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梨树县18470264536： 在一圆O内,弦AB与直径MN相交于P点且夹角为45度(P点不为圆心),求证:AP^2+BP^2=2R^2 - ？
晏剂十五： 作OE⊥AB于点E,则AE=BE ∵∠OPE=45° ∴OE=PE 设:BE=a,OE=b 则AE=a,PE=b ∴PB=a+b,PA=a-b ∴PA^2+PB^2=(a-b)^2+(a+b)^=2(a^2+b^2) 连接OB 在Rt△BOE中,OE^2+BE^2=OB^2 ∴a^2+b^2=2R^2 ∴PA^2+PB^2=2R^2

梨树县18470264536： 如图,已知AB为圆O的弦,直径MN与AB相交于圆O内,MC⊥AB于C,ND⊥AB于D.求证:AC=BD,OC=OD. - ？
晏剂十五：[答案] 证明:连接CN,作OE⊥AB于E,交CN于点F,∵OE⊥AB,∴EA=EB.∵MC⊥AB,ND⊥AB,OE⊥AB,∴MC‖OE‖ND.∵OM=ON,∴CF=FN.∵EF∥DN,CF=FN,∴EC=ED.∵EA-EC=EB-ED∴AC=BD;在△ECO和△EDO中,EC=ED∠OEC=∠OEDO...

梨树县18470264536： 已知AB为圆O的弦,直径MN与AB相交于圆O内,MC垂直AB于C,ND垂直AB于D - ？
晏剂十五： 解: 作OQ⊥AB,连DO并延长MC于P,连接OA 则AQ=BQ=AB/2 因为MC⊥AB,ND⊥AB 所以MC//ND//OQ 所以∠M=∠N 又因为∠POM=∠DON,OM=ON 所以△MOP≌△NOD 所以MP=ND,OP=OD 所以OQ/CP=DO/DP=1/2 所以CP=2OQ 所以MC-ND=MC-MP=CP=2OQ (这是这个问题的一般性结论) 因为OA=MN/2=10,AQ=AB/2=4√6 所以由勾股定理得OQ^2=OA^2-AQ^2=4 所以OQ=2 所以MC-ND=2OQ=4 江苏吴云超祝你学习进步

梨树县18470264536： 已知AB为圆O的弦直径MN与AB相交MC⊥AB于C,DN⊥AB于D若MN=20,AB=8根号6则MC - ND= - ？
晏剂十五： 解:设AB、NM交于H,做OE⊥AB于E,连接OB,∵MN是⊙O的直径,且MN=20,弦AB的长为8 ,∴AE=BE=4 ,OE=2,∵MC⊥AB于C,ND⊥AB于D,OE⊥AB于E,∴MC∥OE∥DN ∴△OEH∽△MCH∽△NDH,∴MC/OE =MH/OH ,即 MC/2=(10+OH)/OH , DN/OE=NH/OH ,即 DN/2=(10-OH)/OH ,∴ (MC-DN)/2=2 ∴MC-DN=4. 故答案为4.

梨树县18470264536： AB是圆O的直径,且AB=10,若弦MN长为8,MN的两端在圆周上滑动,始终与AB相交,计点A,B到MN距离为h1,h2,求/h1 - ？
晏剂十五： 如图,圆O的直径AB和弦MN相交于点P,AB=10,MN=8.点A,B到MN的距离分别是AC=h1,BD=h2.连接OM,ON,过O作OE垂直于MN,垂足为E,那么E是MN的中点,在直角三角形OEM中,OM=5,EM=4,所以OE=3 由于AC,BD,OE都垂直于MN,所以,AC//BD//OE 设OP=a.因为,三角形 PAC,三角形OPE,PBD 两两相似,于是 OE/OP=AC/AP3/x=h1/(5-x) h1=3(5-x)/x OP/BP=OE /BD x/(5+x)=3/h2 h2=3(5+x)/x h1-h2=3(5-x)/x-3(5+x)/x=3(5-x-5-x)/x=-3x/x=-3

梨树县18470264536： 在圆O中,AB为直径,NM与AB相交于点P,P为AB上一点,角NPB=45度,若AP=2,BP=6,求MN的长 - ？
晏剂十五： 根号56 我的答案是把MN当作圆O的一条弦了.过ON再做一条直径,另一点为C 过O做OD垂直于MN,连接CM 看中间的小直角三角形,我就不多说了.这题不是很难

梨树县18470264536： AB是圆O的直径,且AB=10,弦MN的长为8,若弦MN的两端滑动时.始终与AB相交.记点A.B？
晏剂十五： AB与MN的交点为C,过O做MN的垂线,垂足为D 由勾股定理知弦心距OD=3 △ACF相似于△OCD ,∴h1 :OD=AC:OC 同理h2:OD=BC:OC ∴h1-h2 的绝对值=3BC/OC - 3AC/OC =3(OB+OC-OA+OC)/OC =6

梨树县18470264536： MN是圆o的直径,弦AB,CD相交于MN上一点P,且PD=PB,求证:AB=CD,要详细解答 - ？
晏剂十五： 证明:连接OB,OD 作OE⊥CD于E,OF⊥AB于F ∵在圆O中,OD,OB为半径 ∴OD=OB ∵OD=OB PD=PB PO=PO ∴△PDO=△PBO(SSS) ∵∠DPN=∠BPN∴PN平分∠DPB ∵OE⊥CD,OF⊥AB ∴OE=OF ∴在圆O中,AB=CD

梨树县18470264536： 在圆0中,弦AB丄AC弦BD丄BA,BD交直径MN于点E,F,求证ME=NF - ？
晏剂十五： 应该是AC、BD分别交直径MN于点E、F吧 由已知条件易证ABDC是矩形(四个角均为直角的四边形),O是其对角线交点 因此易证OE=OF,从而ME=R-OE=R-OF=NF(R是圆半径)

梨树县18470264536： 如图一和二,MN是圆O的直径,弦AB,CD,相交于MN上的一点P,∠APM=∠CPM - ？
晏剂十五： 解:(1)AB=CD 理由:过O作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得:AB=CD (2)作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足为E、F ∵∠APM=∠CPN且OP=OP,∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接OA、OB、OC、OD 易证Rt△OBE≌Rt△ODF,Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD