航空重力矢量测量的数学模型

什么叫重力延拓~

研究重力场的一种数学方法。
外部重力场的延拓，主要是指由地面观测数据计算空间某一高度的重力矢量，或由空间观测数据计算地面上的重力矢量。前者称为向上延拓，应用于改正空间飞行器轨道的扰动，提高惯性导航系统的精度；后者称为向下延拓，应用于航空重力测量和卫星重力梯度测量值的归算。
任一点的重力矢量，都由正常重力矢量和同一点的扰动重力矢量两部分组成。前者可以根据正常重力位，用封闭公式计算；后者是数值很小且又不规则的扰动。外部重力场的延拓主要研究扰动重力矢量的解算方法。
延拓问题有不同的解法。上延问题一般可采用：①按广义斯托克斯公式直接解算外部扰动位，采用这种方法需已知地面上的重力异常值。②用分布于参考椭球面上的面密度

请参：http://www.hudong.com/wiki/%E5%9C%B0%E7%90%83%E5%A4%96%E9%83%A8%E9%87%8D%E5%8A%9B%E5%9C%BA%E7%9A%84%E5%BB%B6%E6%8B%93

外目前已有多种类型的航重测量系统，从测量参数上可分为重力加速度测量和重力加速度的梯度测量两大类。航空重力测量系统又分为重力标量测量系统和重力矢量（比力）测量系统。
　　常规的稳定平台式航空重力标量测量系统的装备主要有两种仪器组成，其一是一台航空重力仪，用来测量总的加速度，即重力加速度与飞机平台产生的运动加速度之和；其二是定位系统（如GPS系统），用来独立确定平台运动加速度；重力加速度由两者的差值确定。该类系统采用的重力仪比较有传统代表性的是经过改装的LaCoste & Romberg海洋-航空重力仪，带有阻尼二轴陀螺稳定平台控制重力仪垂直定向；定位系统则多采用Novatel、Asthech等公司生产的GPS仪器。采用以上两类主要仪器设备组成航空重力测量系统的公司主要有美国的Carson Services公司、中国的总参西安测绘研究所（CHAGS系统）等。国外系统的测量精度据报道通常在1-2mGal左右，异常空间分辨率为2-6km左右；国内总参西安测绘研究所集成的CHAGS系统的测量精度在3-5Gal左右，异常空间分辨率为8km，可以满足精度要求稍低的重力大地水准面测绘工作，但还不能满足地球物理矿产与油气资源勘查的精度要求，该研究所目前开始着手引进与集成第二套L&R Air-Sea重力仪组成的航空重力测量系统。
　　近些年有些航空重力测量系统开始逐渐采用一项创新技术就是将惯性导航系统INS（Inertial Navigation System）固定在飞机机体上，或作为惯导稳定平台，或形成所谓的捷联式惯性导航系统（Strapdown INS，SINS），与GPS结合，构成较为新型的航空重力测量系统。该类系统有两种测量重力的实现方案。一种实现方案是把INS作为另外一个独立的重力传感器的惯导稳定平台，同时将加速度计作为重力传感器使用，不再使用传统的弹簧重力仪。如加拿大的AIRGrav系统，俄罗斯的GT-1A型系统就是这类新型航空重力标量测量系统的代表，其测量精度通常在1mGal以内，异常空间分辨率可达2-4km。另一种实现方案是不用物理稳定平台，直接将惯性导航系统INS与差分模式全球导航定位系统DGPS结合在一起，构成一套新型的航空重力测量系统SINS/DGPS。加拿大的SINS/DGPS (Strap-down Inertial Navigation System / Differential Global Positioning System)系统和德国的SAGS（Strap-down Airborne Gravity meter System）系统就是捷联式航空重力仪系统。该类型系统性能好、重量轻、功耗小、使用方便，其测量精度在1-3mGal，异常空间分辨率2km左右。由于将三轴正交的加速度计固定于机体上，可用于测量重力加速度矢量（比力），DGPS测量飞机运动加速度用于各项改正，因此该类系统不仅可做重力标量测量，也可做重力矢量测量。为了进一步提高航空重力测量的精度和效果，国外逐步发展起了航空重力梯度测量系统。1975-1990年间，美国的公司研制成功重力梯度仪GGI（Gravity Gradient Instrument），在此基础上，澳大利亚研制成功Falcon重力梯度部分张量系统，含有一套GGI的核心部件（由固定在一个圆盘边缘等间距安放的4个加速度计的装置），由每对加速度计的读数差值可测得重力梯度，可进行部分重力梯度张量测量。美国的Air-FTG重力梯度全张量系统由安装在陀螺仪稳定平台上的三个正交平面上的共3套重力梯度仪GGI的12个加速度计组成，因而可进行全部重力梯度张量测量。重力梯度仪的灵敏度为7-8Eot(1Eot = 10-4mgal/m)，异常全波长为400-700m。目前还处于试验阶段的航空重力梯度测量系统，包括英国ARKex公司正在研制的用于稳定平台上的航空超导重力梯度仪系统，预计仪器灵敏度将达到1Eot。
　　航空重力测量的精度取决于重力仪的测量精度，取决于运动平台位置、速度与加速度的测定精度，取决于观测数据的滤波和改正技术等，异常的空间分辨率取决于运动平台的速度和高度。在地质调查和矿产勘查工作中，对于中、小比例尺的航空重力测量，可以用GT-1A和AIRGrav或性能相当的系统进行航空重力测量，代替地面重力测量，迅速、有效地完成区域重力测量任务。而大比例尺的航空重力测量，则要由Falcon和Air-FTG或更先进的航空重力梯度测量来代替（或互为补充）地面重力测量。

1.航空重力矢量测量的数学模型

在经典力学中，根据牛顿第二运动定律，作用于单位质点的总加速度矢量（称为比力）fⁱ与载体运动加速度矢量

和引力加速度矢量Gⁱ之间的关系为：

航空重力勘探理论方法及应用

牛顿第二运动定律只成立于惯性系，上式中上标i表示惯性坐标系。按照爱因斯坦等效原理，

与

是不可分的，要获取引力加速度Gⁱ，则必先求得载体运动加速度

（通过动态GPS），再从测得的比力中减去（孙中苗，2004）。

设质点在惯性系i和地球系e中的位置矢量分别为rⁱ和r^e，两者之间的关系可表示为：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：

为从i系到e系的坐标变换矩阵，将上式对时间求导得：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：

为反对称矩阵，表示e系相对于i系的运动角速度。设v是载体相对地球的速度，即v^e＝

,v^e在n系可表示为：

航空重力勘探理论方法及应用

将式（3-3-3）代入式（3-3-4）可得：

航空重力勘探理论方法及应用

由上式可解得：

航空重力勘探理论方法及应用

于是

航空重力勘探理论方法及应用

上式因

量级很小，而忽略

。在n系中，顾及式（3-3-1）可得：

航空重力勘探理论方法及应用

将式（3-3-7）代入上式得：

航空重力勘探理论方法及应用

利用相似变换：

，及式（3-3.6）得：

航空重力勘探理论方法及应用

重力是引力和离心力之和，

即为惯性系中的重力gⁱ，所以：

航空重力勘探理论方法及应用

上式即为惯导系统中的比力方程，式中

称为科里奥利（Coriolis）加速度，

为载体运动加速度，gⁿ为重力加速度矢量。

航空重力勘探理论方法及应用

或写为：

航空重力勘探理论方法及应用

式中qⁿ表示科里奥利加速度和运动加速度的综合影响。

式（3-3-12）中的重力加速度矢量gⁿ又可以表示成正常重力矢量γⁿ和扰动重力矢量δgⁿ之和，由此可得出航空重力矢量测量的基本模型（Titterton,2004；孙中苗，2004）：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：

为载体的加速度；vⁿ为载体的速度；fⁿ为坐标系n加速度计的比力测量值；

为地球自转角速度在当地地理坐标系n下的投影；γⁿ为正常重力；δgⁿ为所求的重力扰动矢量。

为当地地理坐标系n相对地球坐标系e的角速度在n系下的投影。

严格地说，上式适用于当地水平稳定平台系统，其中三轴加速度计的空中定向由电子机械反馈环路维持，因此所有观测量均直接在n系中获得。

对捷联式矢量重力测量系统，加速度计和陀螺的观测量是在载体坐标系b中获得的，故其相应的数学模型为：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：

为载体坐标系b与当地地理坐标系n之间的方向余弦转换矩阵；f^b为坐标系b下加速度计的比力测量值。

2.航空重力测量矢量模型的分量形式

下面将式（3-3-14）表示成分量形式

航空重力勘探理论方法及应用

式中

表示地球旋转角速度的矩阵形式：

航空重力勘探理论方法及应用

航空重力勘探理论方法及应用

由此可得：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：

航空重力勘探理论方法及应用

注意到γⁿ=[0 0 γ_u]^T，则式（3-3-14）的分量形式为：

航空重力勘探理论方法及应用

将vⁿ以椭球坐标表示为：

航空重力勘探理论方法及应用

即：

航空重力勘探理论方法及应用

R_N和R_M分别为卯酉圈和子午圈半径，将式（3-3-22）代入式（3-3-20），得航空重力测量矢量模型的分量形式：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：δg_N、δg_E、δg_U为重力扰动矢量的北向、东向和天向的分量；

为载体运动加速度的北向、东向和天向的分量；v_N、v_E、v_U为载体速度的北向、东向和天向的分量；f_N、f_E、f_U为比力的北向、东向和天向的分量；φ 、h为地理纬度和大地高度；ω为地球自转角速度；γ_U为正常重力（指向天向）。

式（3-3-23）的第三式右端的[·]项为科里奥利加速度的垂直分量，通常称为厄缶改正（Eötvös），记为δa_E：

航空重力勘探理论方法及应用

该改正项模型首先是由匈牙利物理学家厄缶推导的，并于1919年用实验方法得到证实。

在当地地理坐标系n中，正常重力模型是大地纬度φ和飞行高度h（海拔高度m）的函数（Tit-terton,2004）：

航空重力勘探理论方法及应用

式中：y₀=9.780327（1+5.3024×10^-3sin²φ－5.9×10^-6sin²2φ）（m/s²,1979年国际地球物理及大地测量联合会推荐的重力正常场计算公式）；

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