集合元素个数的公式推导

集合元素个数与子集个数公式怎么推~

n个元素的集合有2的n次方个子集
非空子集，真子集有2的n次方减一个
非空真子集有2的n次方减二个

举几个例子来推导就可以了。
如1：求{0，1}的子集和真子集。
子集有：{0}，{1}，{0，1}，φ，此时子集个数是2^n(n是元素个数)
真子集有：{0}，{1}，φ。真子集个数是子集少一个：2^n-1
例2：求{0，1，2}的子集和真子集.
子集有：{0}，{1}，{2}，
{0，1}，{0，2}，{1，2}，
{0,1,2},φ
(2^3=8)
真子集：{0}，{1}，{2}，
{0，1}，{0，2}，{1，2}，φ
(2^3-1=7)

先证明两个元素的公式：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)。

显然当A∩B=空集时，有card(A∪B)=card(A)+card(B)，即上述公式成立（因为card(空集)=0）；

当A∩B≠空集时，而A∪B=(A\(A∩B))∪(B\(A∩B))∪（A∩B）,这是三个不相交的并，故card(A∪B)=card((A\(A∩B))∪(B\(A∩B))∪（A∩B）)=card(A\(A∩B))+card(B\(A∩B))+card(A∩B)；

又因为A=(A\(A∩B))∪(A∩B),这又是一个无交的并(即(A\(A∩B))∩(A∩B)=空集)，故card(A)=card(A\(A∩B))+card(A∩B),同理card(B)=card(B\(A∩B))+card(A∩B)；

故card(A∪B)=card(A\(A∩B))+card(B\(A∩B))+card(A∩B)=(card(A)-card(A∩B))+(card(B)-card(A∩B))+card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)，获证

再用上面的结论证明card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)。

card(A∪B∪C)=card(A∪(B∪C))=card(A)+card((B∪C))-card(A∩(B∪C))=card(A)+card(B)+card(C)-card(B∩C)-card((A∩B)∪(A∩C))=card(A)+card(B)+card(C)-card(B∩C)-(card(A∩B)+card(A∩C)-card((A∩B)∩(A∩C)))=card(A)+card(B)+card(C)-card(B∩C)-(card(A∩B)+card(A∩C)-card(A∩B∩C))=

card(A)+card(B)+card(C)-card(B∩C)-card(A∩B)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)获证。

注：论证过程中用到了一些集合的运算公式，现整理如下供你参考：

集合交换律

A∩B=B∩A

A∪B=B∪A

集合结合律

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

集合分配律

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

集合吸收律

A∪(A∩B)=A 

A∩(A∪B)=A

集合求补律

A∪CuA=全集

A∩CuA=空集（其中CuA表示在全集X下集合A的补集即CuA=X-A）

德摩根律

A\(B∪C)=（A\B)∩(A\C)

A\(B∩C)=（A\B)∪(A\C)

Cu(B∪C)=Cu(B)∩Cu(C)

Cu(B∩C)=Cu(B)∪Cu(C)

Cu(空集)=全集

Cu(全集)=空集

若你能把上面的公式记熟，则看这个证明没有任何问题，其实在证明中我也只是部分地用到了某些集合运算公式，就看你自己去发现了。

其实这还可以用图形来直观形象地说明。见下插图你就会明白为什么有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)。推而广之，你还会明白为什么有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)。但是数学是一门十分严格的科学，光有图形是不能让数学家们承认的，因此严格的证明思想是今后进行数学研究的关键。

引用一位法国当代大数学家A.Weil(安德鲁.韦依)的话：“严格性之于数学家就如道德之于人。”就让它作为激励后辈们不断攀登数学高峰的指路明灯吧！

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秦都区19441046106： 在集合中,元素个数与子集的关系,如何推导元素个数与真子集的关系,如何推导 - ？
从亭罗霖：[答案] 举几个例子来推导就可以了. 如1:求{0,1}的子集和真子集. 子集有:{0},{1},{0,1},φ,此时子集个数是2^n(n是元素个数) 真子集有:{0},{1},φ.真子集个数是子集少一个:2^n-1 例2:求{0,1,2}的子集和真子集. 子集有:{0},{1},{2}, {0,1},{0,2},{1,2}, {0,1,2},φ (2^3...

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秦都区19441046106： 求下列集合的子集个数、真子集个数、非空真子集个数~求方法或公式.集合{1,2,3}的子集个数?真子集个数?非空真子集个数?我老师说有条公式:2的n次... - ？
从亭罗霖：[答案] 是对的,元素有n个,子集个数就是2^n个 真子集就是2^n-1,减去的是集合本身 非空子集也是2^n-1,减去的是空集 非空真子集是2^n-2,要减去集合本身和空集. 这道题子集是2^3=8个,你可以一个个列出来{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}{空集} 真子集...

秦都区19441046106： 元素个数与子集数目关系公式 ？
从亭罗霖： 解:若一个集合含有n个元素,则称它为n元集. 一个n元集的子集有多少个呢?答案是2^n. (0)零元集,即空集,有C(n,0)个. (1)一元集:有n个. (2)二元集:有C(n,2)个. ... (k)k元集:有C(n,k)个. ... (n)n元集:有C(n,n)个. 总共有 C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,k)+...C(n,n)=2^n

秦都区19441046106： 集合子集个数公式 ？
从亭罗霖： 集合子集的个数公式为:一个集合中有n个元素,则这个集合的子集的个数为 2^n 个,真子集的个数为 (2^n)-1 个,如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(任意a∈A则a∈B),那么集合A称为集合B的子集.集合论的基础是由德国数学家康托尔在19世纪70年代奠定的,经过一大批科学家半个世纪的努力,到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位,可以说,现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上.

秦都区19441046106： 高一数学求子集个数的公式 - ？
从亭罗霖：[答案] 集合A中有n个元素,则A的子集个数为2^n个(2的n次方个),真子集个数为2^n-1个(减去集合A本身),非空真子集个数为2^n-2个(减去集合A本身和空集).

秦都区19441046106： 一个集合所有子集的个数公式. - ？
从亭罗霖：[答案] 若一个集合中有n个元素 则这个集合的子集的个数为 2^n 个,真子集的个数为 (2^n)-1 个

秦都区19441046106： 子集个数公式推导 ？
从亭罗霖： 集合里有n个元素,每个元素在子集只可能有两种状态,有或者没有,总的数目就是2*2...*2,乘n次,所以是2^n.比如一个集合{1,2},可能的子集如下:有1有2,有1没2,没1有2,没1没2,所以2*2=4,子集总数为4个.集合,简称集,是数学中一个基本概念,也是集合论的主要研究对象.集合论的基本理论创立于19世纪,关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论(最原始的集合论)中的定义,即集合是“确定的一堆东西”,集合里的“东西”则称为元素.现代的集合一般被定义为:由一个或多个确定的元素所构成的整体.

秦都区19441046106： 怎么求元素为n个的集合上的划分的个数,例如n=4时 - ？
从亭罗霖：[答案] LS说得有理 含有n个元素的集合的划分数记为Bn, 显然B1=1,B2=2, 对一般的n有递推公式 Bn+1=C(n,0)B0+C(n,1)B1+.+C(n,n)Bn, C(n,k)是n元素取k个元素的组合数 利用递推公式可计陆续计算出: B3=C(2,0)B0+C(2,1)B1+C(2,2)B2=1+2+2=5 B4=...

秦都区19441046106： 一个集合由n个元素组成,它的子集个数是多少?怎么证明?一个集合由n个元素组成,它的子集个数是多少?怎么证明 - ？
从亭罗霖：[答案] 若集合中含有n个元素,则其子集的个数为2的n次方个,真子集的个数为2的n次方再减1 比如,集合里有3个元素,那它的子集为2*2*2(2的三次方)=8个,真子集为8-1=7个 这绝对正确,书上是这么说的,自己多举几个例子也可以看出. 当然了,数学...