《有余数的除法》课堂实录

~ 【 前言】有余数的除法是位于三下第二章《除数是一位数的除法》中较后面的部分，是对除法竖式运算理解模式的一个完型，这堂课整体是建立在师生对话的基础上的，以学生为中心，老师为引导者和主持者。

【课前准备】何老师提前两天就把前测单发了下去，由于是在郑州龙美上课，课前才收到学生的前测单，发现学生对除法竖式的的意义建构还不是很好。课前5分钟，课堂单就被发了下去，学生热火朝天的开启了数学旅程。

【第一板块课前复习】

由于是借班上课，何老师先和“青鸟”班的学生做了两条约定，一是拍手即把手里所有东西放下，立马坐正；二是当有同学问题回答的特别好，大家把掌声送给他。

约定好后，何老师和同学们一起对了课前复习的答案，学生的热情都很高，在对答案的过程中突然出现了一个很有趣的名字——算账，何老师很快的接受了这个有趣的名字，并利用其更顺利的开展课程。

【第二板块课堂例题】

一、算理讨论。

全体一起读题与要求。（读完题后学生立马开始在课堂单上写下了自己的想法，何老师在下面巡视，发现有很多的同学都遇到了困难）

何老师请一位同学给大家讲解，学生在黑板上边板书，边解释。

生：一共有256张照片，每页可插满6张，翻译过来就是6张可插满一页，所以除以6，6比2大，所以我们借上5，商4写在十位上，四六二十四，算账，拉个横线，十位上还剩下1，不够，所以把6拉下来，变成16，二六十二，算账，还余4个。

接着写出了横式。“256÷6=42……4（页）

师：这里好像有些问题，咱们先放下，讲的声音非常清晰、干脆，把掌声先送给他。

（其他同学都非常真诚的给予了响亮的掌声。）

生：刚才他说最接近16，三六十八也最接近16。

生：18比16大，不能除。

师：我觉得他刚才讲的有两个问题，一个是百位上2不够除，在十位上商，怎么从十位上借的？

生：不管商几都比200大，所以不能在百位上商。

师：为什么要从十位上商？

生：因为在十位上商，可以进十满百。

生：如果是百位上就有千位了，就无法除了，如果是十位，可以满了后就剩一个十。

师：讲的我都懵了，咱们再来想一想，百位上我们判断他是绝对不够除的，那把2和5结合起来是25个什么？

生：25个十。

师：非常棒，25个十除以6的时候从哪里商？

生：四六二十四，从十位商。

师：24个？

生：24个十。

师：十位除结束了没有？25个十减24个十还剩？

生：1个十。

师：那余了的1个十比除数小了没有？

生：小了。

生：把6拉下来变成16个一。

师：然后用16个一干什么？

生：除以6。

师：商多少？

生：2。

师：刚才有人说二六十二，三六十八，好像18更接近16？但是18好像已经怎么？

生：18超过16了。

师：所以只能商2。二六十二。

师：我们用横线表示这一步已经算结束了，然后？

生：余4。

师：这个4表示什么？

学生七嘴八舌的发表自己的意见，何老师示意学生举手回答问题。

生：还剩下的4张。

师：为什么能余下？4张能不能插满一页？

生：不能。

师：我们一页能插满几张？

生：6张。

师：我们继续讨论，刚才那位同学出现的那个问题，42表示什么？怎么带单位呢？

师：42表示一共插满了42页，4表示插满42页还剩下4张。

经过这一部分的激烈讨论，学生基本上已经理解掌握了竖式计算的算理。

二、算法总结。

何老师把填空变成了疑问句，学生都争着抢着做第一个谁出答案的，就这样一问一答的总结了三位数除以一位数的计算法则，学生的整体接受度还是很高的。

三、有余数除法各部分关系讨论。

何老师和学生一起对竖式中每个数在题目中表示的意义进行了讨论，发现学生对份数和每份数的概念理解上有些不清晰。

何老师让学生读题“每页可插6张照片，可插满42页。”试图让学生再一次理解题意来辨识份数、每份数。

师：每份数就是每多少一份对不对？那份数是什么？

生：平均分成几份。

师：那么，每几个插一页？

生：6个。

师：插了几页？

生：42页。

师：那么到底哪个是每份数？

生：42。

师：真的42是每份数吗？

师：那6是份数还是每份数？

生：6是每份数。（有几个学生喃喃自语道）

师：题目上清清楚楚的说每页可插6张照片，也就是说每几个一份？

生：6。

师：每6个一份，你们居然说6不是每份数。到底是不是？

生：是。（超级洪亮自信）

经过这一部分的讨论，学生对份数、每份数的理解加深。

何老师将题目分解做了一个形象的动画，根据各部分在题目中的意义关系来讨论除法各部分关系。

师：份数、每份数、不够一份的数、总数之间的关系在图中能不能看出来？

问题一出来只有几个同学是知道的，其他的同学有些懵，所以何老师让小组进行讨论，并在下面巡视，时不时和学生交流进行点拨。

生：份数×每份数+不够一份的数=总数。

生：42份，每份6个，和不够一份的4个加 起来就是总的256。

边讲何老师帮忙在PPT上圈出来，下面的同学经过讲解＋画图基本上都懂了。由此很顺利的得出来了除数×商+余数=被除数。

师：这个同学说的非常好！那现在我们来根据这个数量关系验算这个竖式，写在例题的右边。

学生一起说了验算的过程，边说何老师边在黑板上写下来。何老师又统计了学生的正确率。（大部分的同学均做对举起了手）

师：刚才后面有个同学发现乘法和除法好像有点关系，有什么关系？

生：反过来了。

师：我们来看一下，这里的两个乘数对应了什么？

生：商和除数，得到的积是被除数。

师：两个数相加，得到的是什么？（边说，边画）

生：和。 

师：用乘法验算是把除法的这个过程怎么样一遍？（用手势提醒）

生：逆推了一遍。

四、单位讨论。

师：还有一个问题需要大家思考，这几个单位有什么不一样？看谁的思考能力比较强能发现别人发现不了的问题。

生：有份数还有个数。

生：个数÷个数=份数……个数。

师：说出来了一点。我在我们晨山学校也上过这节课，一个同学是这样说的，老师，我发现三个“个”意思都一样，表示一个一个的，份表示一份一份的，他是这样说的。

师：老师再问个和例题无关的问题，如果256张照片平均分成6份，那每份？

生：42张。

师：这里的42成了什么？

生：个数。

师：6呢？

生：份数。

师：最后又余下了4个，是个数。今天的课就上到这里，大家把单子后面的习题做好交上来。（悠扬的下课铃声响起，刚好结束课程）

【后记】课后我们进行了大教研。

干老师：首先，新问题中出现时的玄机问题。问题第一次出现时，其中的“还剩多少张？”不应该出现，为什么？大家思考一下。

李老师：让学生以为还是原来的题目。

高老师：就给一种暗示了。

干老师：对，我们新问题出现啊，都是大有玄机的，别看这是一个小问题，我们以后让学生遭遇问题，一定要让学生懵。然后呢，你应该先是用已有的模式分析问题。请问，什么叫已有模式？

干老师：已有模式在乘法里是：单位数×份数=总数，在除法里是：总数÷单位数=份数/总数÷份数=单位数，所以你的模式就变成了已知总数和每份数，求份数，而且每个单位是什么？

赵老师：这样就不会绕了。

干老师：应该是用已有的模式让学生完成，而不是老师完成。接下来就让学生列式计算，每个同学讲原理。总数是256，被平均分，每6个6个的分，然后边走一步立个规则，边走一步，立个规则，边走一步，完了，剩了一个4，这个是啥东西？怪物出来了！我们把它砍了？就变成了我们如何处理这个4的问题，余数的概念就出来了。这就叫做算式巩固之中，你看我们在巩固以前的算式，使用它，出现了新模式，新模式添加上去，算不清的，比每份数小的，叫余数。除法竖式的新规则就出来了。接着就是我算得对吗？如何验算？验算又叫逆运算，但是逆运算就难了，为什么？多了个余数，所以首先我们理解模式先要改变，那个理解模式就是余数是怎么来的，通过图示，份数×每份数+余数=总数，对不对？

赵老师：就丰富了之前的那个模式，就变了。

干老师：如果用除法来表示是什么？其实有两种形式，完成了一种建模，所有的变式都是逆运算，加减互逆，乘除互逆，这达成理解模型的互逆，然后所有的关系完成。这节课下面的课其实就是包括课外练习都是巩固练习，但是这节课就两处：理解模式的完型——份数、每份数、余数，用除法表示，用乘法表示，都要和除法各部分名称相联系，两个要一并出现。但是我们为什么要出现一个总数，这个总数就是一个模式，把乘除统一起来，完全统一起来，所有的命名都统一起来，这样学生理解起来全部瓦解，彻头彻尾的全部打通，整个意义都理顺了。

赵老师：用总数就是他的完型，把前面的合而为一，都是在讲份数、每份数。

干老师：你讲单位那时候，这节课学生要是不熟悉，其实也很简单，你这有点浪费时间了，我们看看哪几个单位是相同的？总数、余数和每份数单位一定相同，而份数单位不同，乘除中永远有一个单位不同，加减中单位相同，这是辅助的，不是最重要的，让这个模式更加清晰一些，一以贯之。引导学生的时候，学生出不来，老师这时候如何引导，这其实是一个经验问题，如果说是铺垫式问题，哪些相同，哪些不同？问题一下就解决了。你发现了什么？

赵老师：你把式子往那一写，一观察一追问，就出来了。

李老师：有时候你把那句话换个表达方式人家就懂了。

赵老师：其实把干老师刚才说的那些列成问题你这节课就有味道了，这节课算法总结什么的都是死东西，原来是你来描述解决问题的过程，用竖式呈现出来，呈现的过程就是刚才干老师说的份数、每份数、总数关系模型，然后再一追问，如何证明你答案的合理性，把那几个问题换一下，那这节课整个就不一样了。

经过干老师的梳理，我对这节课的建模有了一个更清晰的认识，首先要根据学生的认知明确这节课的目标，也就是重难点，着重的去突破，方法就是从学生已有的知识入手，让学生遭遇问题，聚焦问题，最后让学生形成一个新的模式。还有一个冲破了我以前的偏见，对于挑战，我原来以为只有优秀的、思维好的才可以给挑战，传统意义上差的学生就不能给挑战，因为会让其知难而退，但不是这样的，“差”的学生更应该有挑战，但是不是那种做不出来的挑战，是努力可以做出来的，这样他就会成倍获得成就感，从而对数学感兴趣。

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始秦五加： 列竖式的方法要教学生学会,有些考试题就要求列竖式计算的,不会列竖式就吃亏了.此外在二年级多位数加减法的时候就容易教.否则一次性过难了.学生不会简单的,教学就会比较吃力些.在二年级的有余数的除法竖式计算时也要用到竖式的减法.教会比不教要好些,出题的人了解教材的不多.别学生教的不差但考试成绩不好啊.在一年级第一学期的20以内的,还是不教为好,更容易训练学生的口算能力.第二学期的两位数加一位数和两位数加两位数一定要教.

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始秦五加： 这堂课引入有余数除法时只涉及到了包含除(几个一组)而没让学生平均分,可以让学生通过分小棒的活动形成认知冲突,产生学习需要.如让学生把10根小棒,每人分2根、3根、4根、5根、六根,可以分给几个人?学生边操作边完成表格,然后让学生仔细观察表格,把分的几种情况进行比较并分类.学生通过观察比较得出结论:每组把小棒平均分后有两种不同的结果,一种是没有剩余的,一种是有剩余的.这时学生就产生了认知冲突,萌发学习需要,需要学习一种新的算法,教学活动水到渠成,而剩余的部分就是余数,凸显了有余数除法的的概念与意义,让学生在现实的情景中理解有余数除法的意义,使学生进一步感受数学与生活的联系

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始秦五加： 有余数的除法教学中应注意:1、使学生理解与掌握余数概念2、有余数的除法的求商规律与方法