数学分析 有关一阶连续偏导数的一道证明题，求天才解答

请教一道偏导数的证明题~

见图

提示: 把积分上限换成变量t, 然后求导验证关于t的单调性

z=f(x,y)

令，x=rcosθ，y=rsinθ

于是，f(x,y)=H(r,θ)

现在看以下两个偏导数：

aH/aθ

=af(rcosθ,rsinθ)/aθ

=af/a(rcosθ) * a(rcosθ)/aθ + af/a(rsinθ) * a(rsinθ)/aθ

=-rsinθ*f'x+rcosθ*f'y

=-y*f'x+x*f'y

 

aH/ar

=af(rcosθ,rsinθ)/ar

=af/a(rcosθ) * a(rcosθ)/ar + af/a(rsinθ) * a(rsinθ)/ar

=cosθ*f'x+sinθ*f'y

=(x*f'x+y*f'y)/r

 

于是，

1. 由题，aH/ar=0，于是，H实际上与r无关，进而可以写成H(r,θ)=F(θ)

2. 由题，aH/aθ=0，于是，H实际上与θ无关，进而可以写成H(r,θ)=G(r)

 

其实就只用到复合函数求偏导的链式法则而已~~~

有不懂欢迎追问

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历下区18393471260： 数学分析 有关一阶连续偏导数的一道证明题,求天才解答 - ？
嬴戚艾森： z=f(x,y) 令,x=rcosθ,y=rsinθ 于是,f(x,y)=H(r,θ) 现在看以下两个偏导数:aH/aθ=af(rcosθ,rsinθ)/aθ=af/a(rcosθ) * a(rcosθ)/aθ + af/a(rsinθ) * a(rsinθ)/aθ=-rsinθ*f'x+rcosθ*f'y=-y*f'x+x*f'y aH/ar=af(rcosθ,rsinθ)/ar=af/a(rcosθ) * a(rcosθ)/ar + af/a(rsinθ) * a(...

历下区18393471260： 一道高数题,设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数,f(1,1)=1,f1(1,1)=a,f2(1,1)=b,又φ(x)=f{x,f[x,f(x,x)]},求φ(1),φ'(1). - ？
嬴戚艾森：[答案] ψ(1)=f(1,f(1,f(1,1)))=f(1,f(1,1))=f(1,1)=1; φ'(x)=f1+f2*(f1+f2*(f1+f2));所以φ'(1)=a+b(a+b(a+b))=a+ab+ab^2+b^3 令g(x)=f(x,x),h(x)=f(x,g(x))可将问题简化

历下区18393471260： 一道关于偏导数的证明题,麻烦y=f(x,t),而t=(x,y)是方程F(x,y,z)=0所确定的函数 其中f,F都是具有一阶连续偏导数,求dy/dx 其实这是一道证明题 最后dy/dx中只... - ？
嬴戚艾森：[答案] 由链式规则 两式两边同时对x求偏导得方程联立解得即得 dy/dx=f1+f2* dt/dx F1+F2*dy/dt+F3* dt/dx=0解得dy/dx=(f1F2-f2F1)/(F3+f2F2)

历下区18393471260： 什么叫一阶偏导数的连续性?怎么判断?在用高斯公式时,不知道怎么判断一阶偏导数的连续性,一阶偏导数的连续性是不是说对x对y对z的偏导数都必须连... - ？
嬴戚艾森：[答案] 一阶偏导数的连续性是说对x对y对z的偏导数都必须连续 它的意思按照导数连续的定义,就是在空间的每一点x的左导数=右导数,对y和z也是一样的要求 在高斯公式中如果一阶微分不连续的话P Q R的积分就不能写成面积分的形式,因为可能存在无...

历下区18393471260： 几道关于偏导的题1 设F(X,Y)具有一阶连续偏导数,且(Fx)的平方+(Fy)的平方不等于0.对任意实数t有F(tx,ty)=tF(x,y),试证明曲面Z=F(X,Y)上任一点(X0,... - ？
嬴戚艾森：[答案] 设曲面为:f(x,y,z)=F(x,y)-z,则曲面上任一点(x0,y0,z0)处的法向量为{Fx(x0,y0),Fy(x0,y0),-1}直线的方向向量为{x0,y0,z0}则曲面Z=F(X,Y)上任一点(X0,Y0,Z0)处的法线与直线(X/X0)=(Y/Y0)=(Z/Z0)相垂直x0*Fx(x0,y0)...

历下区18393471260： 数学分析证明题设:f(x,y)=√|xy|,证明⑴f(x,y)在点(0,0)处连续;⑵f(x,y)在点(0,0)处两个偏导数存在设:f(x,y)=√|xy|,证明⑴f(x,y)在点(0,0)处连续;⑵f(x,y)在... - ？
嬴戚艾森：[答案]

历下区18393471260： 抽象复合函数求偏导题!设z=xyf(x/y,y/x),其中f具有一阶连续偏导,求∂z/∂x. - ？
嬴戚艾森：[答案] ðz/ðx=yf+xyðf/ðx,令u=x/y,v=y/x,则ðf/ðx=ðf/ðu*ðu/ðx+ðf/ðv*ðv/ðx=f'1*(1/y)+f'2*(-y/x^2),所以ðz/ðx=yf+xy[f'1*(1/y)-f'2*(y/x...

历下区18393471260： 已知u=f(x^2 - y^2,e^xy) ,其中f 具有一阶连续偏导数,求 偏导.&是偏导符号,&u/&x,&u/&y.已知u=f(x^2 - y^2,e^xy) ,其中 f具有一阶连续偏导数,求 偏导.&是... - ？
嬴戚艾森：[答案] 求导要做到的只有一点:导致X.这道题,其实有两个中间变量,解下你看看:设a=x*x-y*y,b=e^xy则有;&u\&x=(du\da)\(da\dx)其实你要看懂题就好了,u=f(a,b),其中 a=x*x-y*y,b=e^xy;另个我就不回答了,一个样的.有什么不懂,...

历下区18393471260： 高等数学,一阶偏导数连续性的判断问题 如图,如何通过第二个画圈处的式子判断出一阶偏导数连续的?当x - ？
嬴戚艾森： 因为那两个偏导数是在定义域内是连续的,所以偏导数连续

历下区18393471260： 什么叫一阶偏导数的连续性?怎么判断?<br/>在用高斯公式时,不? ？
嬴戚艾森： 一阶偏导数的连续性是说对x对y对z的偏导数都必须连续 它的意思按照导数连续的定义,就是在空间的每一点x的左导数=右导数,对y和z也是一样的要求 在高斯公式中如果一阶微分不连续的话P Q R的积分就不能写成面积分的形式,因为可能存在无穷大的函数值(即函数的第二类间断点),这样的积分没有意义