矩阵等价矩阵
矩阵A与矩阵B的关系，如果通过一系列行或列的初等变换（包括乘以非零元素、行与行之间的加法以及行的交换）可以相互转换，我们称A等价于B，记作A≌B。这种关系具有反身性、对称性和传递性，因此构成了一种等价关系。在讨论向量空间中线性变换的矩阵表示时，矩阵的等价性起着关键作用。
初等变换指的是对矩阵进行的特定操作：一是用F中非零元素α乘以某一行或一列；二是将一行（列）按某系数b与另一行（列）相加；三是交换行或列。每个初等变换都对应一种特定的初等矩阵，它们的逆矩阵也是同种初等矩阵。对矩阵A的行或列进行初等变换，等于分别用对应的初等矩阵左乘或右乘A。初等矩阵总是可逆的，它们的乘积永远是非奇异矩阵，这意味着等价矩阵的秩数保持不变。
通过一系列初等变换，任何秩为r的矩阵的左上角可以转换为r阶单位矩阵，其余位置变为0。所有n阶非奇异矩阵都等价于n阶单位矩阵，可以用多个初等矩阵的乘积表示。如果A≌B，那么存在非奇异矩阵P和Q，使得PAQ=B。
在多项式环F【λ】上，我们有λ矩阵，它们的秩数定义为最大非零子式的阶数。对λ矩阵，可以进行特定的初等变换，允许使用F中的元素，但不能用F【λ】中的非零多项式。可逆λ矩阵P(λ)的逆矩阵K(λ)满足P(λ)K(λ)=K(λ)P(λ)=I。λ矩阵的等价性定义类似，秩为r的λ矩阵A(λ)等价于一个特定形式的λ矩阵，其中φi(λ)由A(λ)确定，且φ1(λ)|φ2(λ)|…|φr(λ)，首项系数为1。
总结，λ矩阵的可逆性要求是可逆矩阵由初等矩阵的乘积构成，且行列式为F中的非零元素。两个λ矩阵A(λ)和B(λ)等价则需存在可逆的P(λ)和Q(λ)，使得P(λ)A(λ)Q(λ)=B(λ)。矩阵A(λ)的不变因子和初等因子对其等价性有着重要影响，它们决定了矩阵的结构和特征。
扩展资料
矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（由深圳网域提出）等等。“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。
矩阵等价是什么意思?
在具体定义上，两个矩阵 A 和 B 等价，当且仅当存在一个可逆矩阵 P，使得PA=PB。这里的 P 被称为等价矩阵，它可以通过一系列的初等变换（如行交换、列删除、行或列乘法等）得到。矩阵等价的一个重要性质是，两个等价的矩阵具有相同的秩。这是因为初等变换不会改变矩阵的秩。这就意味着，如果我...
矩阵等价是什么意思
矩阵等价：在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。性质 1.矩阵A和A等价(反身性）；2.矩阵A和B等价，那么B和A也等价(...
什么叫矩阵等价?
矩阵等价是一种数学概念，指的是两个矩阵通过有限次初等行变换或初等列变换互相转换，即它们可以表示相同的线性映射或线性方程组。以下是关于矩阵等价的 矩阵是数学中重要的数据结构，用于表示一组数据按照二维表格的形式进行排列。在实际应用中，我们常常会遇到不同形式的矩阵，但它们可能具有相同的性质或...
什么是矩阵等价?
矩阵等价是指两个矩阵具有相同的特征值和特征向量。矩阵等价是指两个矩阵具有相同的特征值和特征向量。对于两个n×n矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=B，那么我们称矩阵A和B是等价的。这意味着矩阵A和B在线性变换的意义下是相似的。当两个矩阵等价时，它们的特征多项式、...
矩阵等价的充要条件
等价矩阵的充要条件为：同型矩阵且秩相等。矩阵等价的充要条件为：同型矩阵且秩相等。相似必定等价，等价不一定相似。两矩阵等价，秩相等，列向量，行向量极大线性无关组数相等。若存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价。所谓矩阵A与矩阵B等价，即A经过初等变换可得到B。1、等价矩阵的性质。矩阵...
矩阵等价与同型矩阵有什么不同?
1、两者针对的概念不同：“同阶矩阵"，因为是同阶的，要求行数等于列数，所以概念首先针对的是方阵（方阵的行数[等于列数]称为它的阶数），所以“同阶矩阵是指阶数相同的矩阵”。“同型矩阵”的概念只要求是矩阵就可以了，不要求是方阵。2、两者行列数要求不同：“同型矩阵”只是要求行数和列数...
矩阵等价的定义
矩阵等价的定义：两个矩阵A和B称为等价的，如果存在可逆矩阵P和Q，使得A = PBQ。详细解释：矩阵等价是线性代数中的一个重要概念。矩阵是线性代数中的基本对象，它们可以用来表示线性变换和线性方程组。在实际应用中，矩阵也经常被用来表示数据和图像。矩阵等价的概念涉及到可逆矩阵。一个可逆矩阵，也称为...
矩阵等价的性质有什么?怎么证明?
两矩阵等价的性质如下:1.等价关系定义：矩阵A和矩阵B被认为是等价的，当且仅当它们具有相同的秩、相同的特征多项式以及相同的特征值。2.相同的秩：等价的矩阵具有相同的秩。秩是指矩阵中非零行或非零列的最大个数，它代表了矩阵的线性无关的行或列的数量。因此，等价的矩阵在行列空间上具有相同的...
矩阵等价、相似、合同符号是什么?
1、矩阵等价的定义及符号：存在满秩矩阵PQ,使得：B=PAQ成立,则称矩阵A、B等价；矩阵的等价符号为：2、矩阵相似的定义及符号：存在可逆矩阵P,使得：B=P-1AP成立,则称矩阵A、B相似；矩阵的相似符号为：3、矩阵合同的定义及符号：存在可逆矩阵P,使得：B=P’AP成立,则称矩阵A、B合同；矩阵的合同...
矩阵相似、矩阵等价、矩阵合同的关系是什么?
3、矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。4、矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB。5、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B。6、当上述矩阵P是正交矩阵时，即P^T=P^(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。二、矩阵等价、相似、合同...
郯琬克念：[答案] 矩阵等价:对于矩阵A(m*n)来说,有可逆的矩阵P,Q使PAQ=B,那么B就与A等价,实质上就是A经过有限次的初等变换得到B. 设A,B为n阶矩阵,如果有n阶非奇异矩阵P存在,使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B. 由上述定义可以...
立山区15511353584： 等价标准矩阵是什么? - ？
郯琬克念：[答案] 如果矩阵B可以由A经过一系列初等变换得到 那么矩阵A与B是等价的 经过多次变换以后,得到一种最简单的矩阵,就是这个矩阵的左上角是一个单位矩阵,其余元素都是0,那么这个矩阵就是原来矩阵的等价标准型.
立山区15511353584： 若两个矩阵等价,则它们的行列式相同吗 - ？
郯琬克念：[答案] “向量组等价”和“由向量组构成的矩阵等价”是两回事. 它们的定义如下: 向量组等价:两个向量组可以相互线性表示. 矩阵等价:两个矩阵形式相同,且秩相等. 所以这是两回事,不能由一个推出另一个. 反例: (1)向量组等价,但是构成的矩阵...
立山区15511353584： 等价矩阵是不是就是相似矩阵?二者有什么不同? - ？
郯琬克念：[答案] 矩阵等价:对于矩阵A(m*n)来说,有可逆的矩阵P,Q使PAQ=B,那么B就与A等价,实质上就是A经过有限次的初等变换得到B.设A,B为n阶矩阵,如果有n阶非奇异矩阵P存在,使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B.由上述定义...
立山区15511353584： 等价的矩阵一定相似吗 - ？
郯琬克念：[答案] 不对. 相似必等价,反之不成立 如A= 1 1 0 1 与 E= 1 0 0 1 等价,但不相似
立山区15511353584： 矩阵的等价有什么意义?我只知道函数极限的等价有用.RT矩阵的等价有什么意义,一个矩阵可以通过初等变换 变成另外一个矩阵,这样有什么意义? - ？
郯琬克念：[答案] 举个例子,解析几何中为了求线段AB的长度,要先建立坐标系,在这个坐标系下写出A,B两点的坐标,再根据公式求出AB... (有无解,解是否唯一等),翻译成矩阵语言就是,对矩阵做初等变换后矩阵的秩不变,我们称这样两个矩阵是等价的.像这...
立山区15511353584： 矩阵等价,矩阵相似,矩阵合同的区别与联系 - ？
郯琬克念：[答案] 等价一般是指可以通过初等变换变成另一个,本质上只需要两个矩阵秩相同就可以了.是个很宽泛的条件,应用不大.A相似于B,是存在非异矩阵P,使得PAP^-1=B,这个是线性代数或者高等代数里面最重要的关系,高等代数一半左右都...
立山区15511353584： 离散数学中矩阵的行等价是什么意思? - ？
郯琬克念： 矩阵的等价是指一个矩阵经过若干次初等变换变到另一个矩阵,那么这两个矩阵称为是等价的. 如果一个矩阵只通过行初等变换(不进行任何列变换)变到另一个矩阵,则这两个矩阵就是行等价的.
立山区15511353584： 矩阵乘以一个数和矩阵等价的问题矩阵等价意味着什么?两个矩阵相等吗?假设A是一个矩阵,那么有常数k,kA和A是不是等价,因为kA可以通过初等变换得... - ？
郯琬克念：[答案] 等价矩阵的定义:存在可逆矩阵P、Q,使PAQ=B,则矩阵A与矩阵B等价 通俗地说:若矩阵A可以通过初等变换得到矩阵B,则矩阵A与矩阵B等价 初等变换包括初等行变换与初等列变换,矩阵的初等行(列)变换包括三类: 1、交换两行(列) 2、...
立山区15511353584： 等价矩阵怎么表示 - ？
郯琬克念： 等价矩阵的表示不统一, 有的用 ~, 有的用两个~(象约等号), 有的用两个~下面加等号 这不用纠结, 考研时若有用到符号, 题目会提示符号的含义 等价矩阵是初等变换来的 若A经过初等变换化为B, 则称A,B等价.
