数学中的环是什么意思

数学中的环是什么意思~

在非空集合R中,若定义了两种代数运算+和*（不一定为加与乘）,且满足：
1）集合R在+运算下构成阿贝尔群（Abel）.
2）*有封闭性,即对任何a∈R,b∈R,有a*b∈R.
3）*分配律与结合律成立,即对任何a∈R,b∈R和c∈R,有：
a*（b+c）=a*b+a*c
（b+c）*a=b*a+c*a
（a*b）*c=a*（b*c）
我们则称R是一个环（Ring）.

环的定义
一个环是由一个集合R和两种二元运算 + 和 · 组成，这两种运算可称为加法和乘法。一个环必须遵守以下规律：

(R, +)形成一个可交换群，其单位元称作零元素，记作‘0’。即：
(a + b) = (b + a)
(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a + 0 = a
∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
(R, ·)遵守：
1·a = a·1 = a （仅限于含幺环）
(a·b)·c = a·(b·c)
乘法关于加法满足分配律：
a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(a + b)·c = (a·c) + (b·c)
注意乘法中的·常常被省略，所以 a·b 可简写为 ab。 此外，乘法是比加法优先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。

几类特殊的环
含单位元环：
在环的定义中，对于乘法单位(1)的存在并没有做明确的要求。如果一个环R对于乘法有单位元存在(称幺元素或幺元或单位元，记作‘1’)，则这个环称为含幺环或含单位元环。
交换环：
虽然环的定义要求加法具有交换律，但并没有要求乘法也具有交换律。如果我们上面定义的乘法具有交换性：ab=ba，那么这个环就称为交换环。
除环：
主条目：除环
如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后，对于乘法形成一个群（一般来说环R对乘法形成半群），那么这个环就称为除环。除环不一定是交换环，比如四元数环。交换的除环就是域。
无零因子环：
一般来说环R对乘法形成半群，但R\{0}对乘法不一定形成半群。因为如果有两个非零元素的乘积是零，R\{0}对乘法就不是封闭的。如果R\{0}对乘法仍然形成半群，那么这个环就称为无零因子环。
这个定义实际上等价于任意两个非零元素的乘积非零。
整环：
主条目：整环
整环是含单位元的无零因子的交换环。例如多项式环和整数环。
主理想环：
主条目：主理想环
每一个理想都是主理想的整环称为主理想环。
唯一分解环：
主条目：唯一分解环
如果一个整环R中每一个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.
商环：
主条目：商环
素环：
主条目：素环
例子：
整数环是一个典型的交换且含单位环。
有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。
环的理想
主条目：理想
右理想： 令R是环， 那么环R与其加法 + 构成阿贝尔群。令I是R的子集。那么I称为R的右理想 如果以下条件成立：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。
对于任意 和 有 。
左理想： 类似地，I称为R的左理想如果以下条件成立：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。
对于任意 和 有 。
如果I既是右理想，也是左理想，那么I就叫做双边理想，简称理想。

例子：

整数环的理想：整数环Z只有形如的nZ理想。

除环的理想：除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。
一般性质：

定理1 在环中，(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想。

定理2 在环中，(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想。
对于R的两个理想A，B，记。按定义不难证明下面的基本性质：

(1) 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想；
(2) 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想；
(3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。
如果A环R的一个非空子集，令=RA+AR+RAR+ZA，则是环R的理想，这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集。同群的生成子群类似，是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：
(1) 当是交换环时，=RA+ZA
(2) 当是有单位元1的环时，=RAR
(3) 当是有单位元交换环时，=RA
主理想：如果是个n元集合，则记，称是有限生成理想.特别当是单元素集时，称为环R的主理想。注意作为生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是：

性质：
几类特殊环中的主理想：
(1) 如果是交换环，则
(2) 如果是有单位元的环，则
(3) 如果是有单位元的交换环，则
真理想： 如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。
极大理想： 一个真理想I被称为R的极大理想，如果没有其他真理想J,使得I是J的真子集。
极大左理想：设 I 是环R的左理想，如果并且在 I 与R之间不存在真的左理想，则称 I 是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
(1)如果 I 是极大左理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
(2)极大理想未必是极大左理想。
除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。
定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域。
定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有I + J = R。
素理想：真理想I被称为R的素理想，如果对于R的任意理想A，B， 可推出 或 。
素环：如果环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：R / I是素环.
半素理想：设 I 是环R的理想，并且。如果对任意理想P，由，可得，则称 I 是环R的半素理想。
显然，半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。

环的定义
一个环是由一个集合R和两种二元运算 + 和 · 组成，这两种运算可称为加法和乘法。一个环必须遵守以下规律：

(R, +)形成一个可交换群，其单位元称作零元素，记作‘0’。即：
(a + b) = (b + a)
(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a + 0 = a
∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
(R, ·)遵守：
1·a = a·1 = a （仅限于含幺环）
(a·b)·c = a·(b·c)
乘法关于加法满足分配律：
a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(a + b)·c = (a·c) + (b·c)
注意乘法中的·常常被省略，所以 a·b 可简写为 ab。 此外，乘法是比加法优先的运算，所以 a + bc 其实是 a + (b·c)。

几类特殊的环
含单位元环：
在环的定义中，对于乘法单位(1)的存在并没有做明确的要求。如果一个环R对于乘法有单位元存在(称幺元素或幺元或单位元，记作‘1’)，则这个环称为含幺环或含单位元环。
交换环：
虽然环的定义要求加法具有交换律，但并没有要求乘法也具有交换律。如果我们上面定义的乘法具有交换性：ab=ba，那么这个环就称为交换环。
除环：
主条目：除环
如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后，对于乘法形成一个群（一般来说环R对乘法形成半群），那么这个环就称为除环。除环不一定是交换环，比如四元数环。交换的除环就是域。
无零因子环：
一般来说环R对乘法形成半群，但R\{0}对乘法不一定形成半群。因为如果有两个非零元素的乘积是零，R\{0}对乘法就不是封闭的。如果R\{0}对乘法仍然形成半群，那么这个环就称为无零因子环。
这个定义实际上等价于任意两个非零元素的乘积非零。
整环：
主条目：整环
整环是含单位元的无零因子的交换环。例如多项式环和整数环。
主理想环：
主条目：主理想环
每一个理想都是主理想的整环称为主理想环。
唯一分解环：
主条目：唯一分解环
如果一个整环R中每一个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.
商环：
主条目：商环
素环：
主条目：素环
例子：
整数环是一个典型的交换且含单位环。
有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
所有项的系数构成一个环A的多项式全体A[X]是一个环。称为A上的多项式环。
n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。
环的理想
主条目：理想
右理想： 令R是环， 那么环R与其加法 + 构成阿贝尔群。令I是R的子集。那么I称为R的右理想 如果以下条件成立：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。
对于任意 和 有 。
左理想： 类似地，I称为R的左理想如果以下条件成立：

(I, +) 构成 (R, +) 的子群。
对于任意 和 有 。
如果I既是右理想，也是左理想，那么I就叫做双边理想，简称理想。

例子：

整数环的理想：整数环Z只有形如的nZ理想。

除环的理想：除环中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。
一般性质：

定理1 在环中，(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想。

定理2 在环中，(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想。
对于R的两个理想A，B，记。按定义不难证明下面的基本性质：

(1) 如果A是R的左理想，则AB是R的左理想；
(2) 如果B是R的右理想，则AB是R的右理想；
(3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。
如果A环R的一个非空子集，令<A>=RA+AR+RAR+ZA，则<A>是环R的理想，这个理想称为R中由A生成的理想, A称为生成元集。同群的生成子群类似，<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：
(1) 当是交换环时，<A>=RA+ZA
(2) 当是有单位元1的环时，<A>=RAR
(3) 当是有单位元交换环时，<A>=RA
主理想：如果是个n元集合，则记，称是有限生成理想.特别当是单元素集时，称为环R的主理想。注意作为生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是：

性质：
几类特殊环中的主理想：
(1) 如果是交换环，则
(2) 如果是有单位元的环，则
(3) 如果是有单位元的交换环，则
真理想： 如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。
极大理想： 一个真理想I被称为R的极大理想，如果没有其他真理想J,使得I是J的真子集。
极大左理想：设 I 是环R的左理想，如果并且在 I 与R之间不存在真的左理想，则称 I 是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
(1)如果 I 是极大左理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
(2)极大理想未必是极大左理想。
除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。
定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环R / I是域。
定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有I + J = R。
素理想：真理想I被称为R的素理想，如果对于R的任意理想A，B， 可推出 或 。
素环：如果环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：R / I是素环.
半素理想：设 I 是环R的理想，并且。如果对任意理想P，由，可得，则称 I 是环R的半素理想。
显然，半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。



自身要封闭，同时存在内部、外部。环可以把平面分成2个部分，环内和环外，两个部分互相不联通。

　　在非空集合R中，若定义了两种代数运算+和*（不一定为加与乘），且满足：
1）集合R在+运算下构成阿贝尔群（Abel）。
2）*有封闭性，即对任何a∈R,b∈R，有a*b∈R。
3）*分配律与结合律成立，即对任何a∈R，b∈R和c∈R，有：
a*（b+c）=a*b+a*c
（b+c）*a=b*a+c*a
（a*b）*c=a*（b*c）
我们则称R是一个环（Ring）。

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台前县15760525243： 数学中的环是什么意思 - ？
仲孙砌盐酸： 环的定义一个环是由一个集合R和两种二元运算 + 和 · 组成,这两种运算可称为加法和乘法.一个环必须遵守以下规律:(R, +)形成一个可交换群,其单位元称作零元素,记作'0'.即: (a + b) = (b + a) (a + b) + c = a + (b + c) 0 + a = a ...

台前县15760525243： 环是什么意思 - ？
仲孙砌盐酸： 环 huán〈名〉(形声.从玉,瞏 huán声.本义:圆形而中间有孔的玉器) 同本义 [jade bracelet] 环,璧也.——《说文》 肉好若一谓之不.——《尔雅·释器》.李注:“其孔及边肉大小适等.” 行步则有环佩之声.——《礼记·经解》 孔...

台前县15760525243： 环境科学 考研考数学(环)是什么意思 - ？
仲孙砌盐酸： 数学(环)应该是指对环境科学专业有相应的数学难度要求,通常是有特定的教材,这个具体可以向你想考的学校打听.我之前考环境科学那时候好像是数学3,意思是第三个难度等级的数学(1最难)

台前县15760525243： 数学上的群,域,环等有什么区别和联系 - ？
仲孙砌盐酸： (1)群:集合G上定义了二元运算记作“ * ”,满足以下四个条件: 1. 封闭性.2.结合律.3.含幺.4.有逆. 那么该集合和二元运算一起构成的代数结构(G,*)称作一个群. (2)Abel群:二元运算还满足交换律的群.所以Abel群也叫做交换群,...

台前县15760525243： 请用通俗的语言解释一下数学中群,环,域的概念 - ？
仲孙砌盐酸： 群,环,域都是集合,在这个集合上定义有特定元素和一些运算,这些运算具有一些性质 群上定义一个运算,满足结合律,有单位元(元素和单位元进行运算不变),每个元素有逆元(元素和逆元运算得单位元)例整数集,加法及结合律,单...

台前县15760525243： 高等数学问题:什么是域,比如数域,环又是什么呢?请形象表述,好的加分!？
仲孙砌盐酸： 数环定义 设S是复数集的非空子集.如果S中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S,则称S是一个数环.例如整数集Z就是一个数环,有理数集Q、实数集R、复数集C等都是数环. 数域定义设F是一个数环,如果对任意的a,b∈F而且a≠0, 则b...

台前县15760525243： Z在数学中到底代表什么数 ？
仲孙砌盐酸： 在数学中,z表示整数集,由全体整数组成的集合叫整数集.整数集是一个数环.在整数系中,零和正整数统称为自然数,整数不包括小数、分数.用z表示整数集的由来是因为德国女数学家对环理论的贡献,她叫诺特,诺特在引入整数环概念的时候(整数集本身也是一个数环)将整数环记作z,从那时候起整数集就用z表示了. Z在数学中到底代表什么数 Z表示整数集合.在数学的集合中,常用一些英文字母来表示数集:C:复数集R:实数集Q:有理数集N:自然数集Z:整数集

台前县15760525243： 离散数学中关于环的概念的一个问题 - ？
仲孙砌盐酸： 矩阵环(注意,包括不可逆的矩阵)就是独异点.0矩阵就是θ.

台前县15760525243： 离散数学中关于环的概念的一个问题一个很简单的有关环的概念的问题在整环的概念中有一条是代数系统,其中是可交换独异点,且无零因子,即若a不等于θ... - ？
仲孙砌盐酸：[答案] 矩阵环(注意,包括不可逆的矩阵)就是独异点.0矩阵就是θ.

台前县15760525243： 抽象代数问题: 环的＂理想＂有什么实际含义?这个概念是为了说明什么数学特性而提出的呢?单纯看概念和符号实在是想不出来,能否举一个比较具体的例... - ？
仲孙砌盐酸：[答案] 理想表明了一种等价关系,从而还可以定义商环.