高中数学：如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中点。

（本小题满分14分）如图6，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，~

解：(Ⅰ)设CD的中点为H，连结EH， 依题意得EH//PD，且EH= PD=1，因为PD⊥底面ABCD，所以EH⊥底面ABCD，故三棱锥E-ABD的高是EH，其体积为 因为 ，所以三棱锥A-BDE的体积为 .(Ⅱ)证明：连结AC，AC交BD于O，连EO，∵底面 ABCD是正方形，∴点O是AC中点，在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO,而EO 平面EDB，且PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB.(Ⅲ) 证明：∵PD⊥底面ABCD且DC 底面ABCD，∴PD⊥DC.∵PD=DC可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC，∵底面ABCD是正方形有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC，而DE 平面PDC，∴BC⊥DE.②由①②得DE⊥平面PBC，而PB 面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD. 略

解答：方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO而EO?平面EDB且PA?平面EDB，所以，PA∥平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC ①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC而DE?平面PDC，∴BC⊥DE ②由①和②推得DE⊥平面PBC而PB?平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB设正方形ABCD的边长为a，则PD＝DC＝a， BD＝2aPB＝PD2+BD2＝3a，PC＝PD2+DC2＝2aDE＝12PC＝22a在Rt△PDB中，DF＝PD?BDPB＝a?2a3a＝63a在Rt△EFD中，sinEFD＝DEDF＝22a63a＝32，∴∠EFD＝π3所以，二面角C-PB-D的大小为π3；方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得A(a， 0， 0)， P(0， 0， a)， E(0， a2， a2)∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为(a2， a2， 0)且PA＝(a， 0， ?a)， EG＝(a2， 0， ?a2)∴PA＝2EG，这表明PA∥EG而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB（2）证明；依题意得B（a，a，0），PB＝(a， a， ?a)又<div style="background-image: url(http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6d81800a19d8bc3e244a267c818ba61ea9d345c1.jpg); background-attachment: initial; background-origin: initial; background-clip: initial; background-color: initial; height: 5px; float: left; overfl

过E作EF//PD，交CD于F，连接BF
∵PD⊥面ABCD
∴EF⊥面ABCD
∴EB与底面ABCD所成的角=∠EBF
设AB=2
∴PD=4
∵E是PC中点
∴CF=DF=1
∴EF=1/2PC=2
∵BC=2
∴BF=√5
tan∠EBF=EF/BF=2/√5=2√5/5
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（1）证明：连结AC、AC交BD于O，连结EO， 

∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点，

在△PAC中，EO是中位线， 
∴PA∥EO，
而平面EDB且平面EDB，
所以，PA∥平面EDB。
（2）解：作EF⊥DC交CD于F，连结BF，
设正方形ABCD的边长为a， 
∵PD⊥底面ABCD， 
∴PD⊥DC，
∴EF∥PD，F为DC的中点， 
∴EF⊥底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，

故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角，
在Rt△BCF中，

∴在Rt△EFB中，，

所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为五分之根号五。

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