柯西不等式是什么意思？
柯西不等式的表述如下：
对于内积空间中的任意两个向量 a 和 b，有如下不等式成立：
|⟨a, b⟩| ≤ ||a|| ||b||，
其中，⟨a, b⟩表示向量 a 和 b 的内积，||a||表示向量 a 的范数，||b||表示向量 b 的范数。
现在我们来推导权方和不等式。
假设有 n 个实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn。
将这些实数构成两个 n 维向量 a 和 b，其中 a = [a1, a2, ..., an]，b = [b1, b2, ..., bn]。
根据柯西不等式：
|⟨a, b⟩| ≤ ||a|| ||b||，
将其具体化为：
|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
推导权方和不等式的关键在于观察柯西不等式右边的表达式：
√(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)。
我们可以发现，这个表达式实际上就是向量 a 和向量 b 的范数的乘积，即 ||a|| ||b||。
而柯西不等式告诉我们，内积的绝对值不会超过范数的乘积。
如果我们令 a 和 b 为同一个向量 x = [x1, x2, ..., xn]，则柯西不等式可以重新写为：
|(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 + y1^2 + y2^2 + ... + yn^2 + ... + z1^2 + z2^2 + ... + zn^2)| ≤ (√(n(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 + y1^2 + y2^2 + ... + yn^2 + ... + z1^2 + z2^2 + ... + zn^2)))^2
简化上式得到：
|x1^2 + x2^2 + ... + xn^2 + y1^2 + y2^2 + ... + yn^2 + ... + z1^2 + z2^2 + ... + zn^2| ≤ (|x1| + |x2| + ... + |xn| + |y1| + |y2| + ... + |yn| + ... + |z1| + |z2| + ... + |zn|)^2
这个不等式就是权方和不等式，它描述了 n 个实数的平方和与它们绝对值的和的关系。
因此，从柯西不等式出发，我们可以推导出权方和不等式。
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掇刀区15295846285： 可以用高中数学解释一下柯西不等式吗? - ？
店雪清肤：[答案] 可以啊,很容易.柯西不等式可以简单地记做:平方和的积 ≥ 积的和的平方.它是对两列数不等式.取等号的条件是两列数对应成比例.如:两列数0,1和2,3有(0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.形式比较简...
掇刀区15295846285： Cauchy - Scgwarz不等式是什么 - ？
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掇刀区15295846285： 柯西不等式是什么? - ？
店雪清肤： 所谓柯西不等式,是对2n个实数a1,a2,……,an和b1,b2,……,bn间满足的一个不等式关系:具休公式我用图片形式给出如下.
掇刀区15295846285： 局部柯西不等式求解释 - ？
店雪清肤： 用1减不等式两边. 左边得(1+xy)/((1+x)(1+y)), 右边得(1+xy)/(1+√(xy))².于是不等式化为(1+√(xy))² ≤ (1+x)(1+y), 这就是典型的Cauchy不等式了.证明顺过来写就是这样:∵x, y > 0, 由Cauchy不等式有(1+√(xy))² ≤ (1+x)(1+y).∴(1+xy)/((1+x)(1+y)) ≤ (1+xy)/(1+√(xy))².∴(x+y)/((1+x)(1+y)) = 1-(1+xy)/((1+x)(1+y)) ≥ 1-(1+xy)/(1+√(xy))² = 2√(xy)/(1+√(xy))².
掇刀区15295846285： 解释一下柯西不等式 - ？
店雪清肤： (a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2 当且仅当ad=bc的时候,等号成立. 这个证明是用向量证明的,两个向量(a,b)(c,d).数量积小于等于模的乘积,大于等于负的模的乘积.平方就得到,数量积的平方小于等于模乘积的平方.数量积的平方为(ac+bd)^2.模长乘积为(a^2+b^2)(c^2+d^2).也就得到了柯西不等式咯.至于等号成立的情况就是两个向量共线,也就是ad=bc 这个定理很好用的!
掇刀区15295846285： 给我讲解下【柯西不等式】 - ？
店雪清肤： 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的＂留数＂问题时得到的.但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,并将这一不等式应用...
掇刀区15295846285： 高中的柯西不等式是些什么内容 - ？
店雪清肤：[答案] 二维形式(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件:ad=bc (a/b=c/d) 扩展:((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2 等号...
掇刀区15295846285： 三元柯西不等式公式 ？
店雪清肤： 三元柯西不等式公式是(a2+b2+c2)+(d2+e2+f2)=(ad+be+fc)^2,柯西不等式是由大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式.其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数.
