求微分方程的通解
微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。
例如：
其解为：
其中C是待定常数；
如果知道
则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。
一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：
对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。
二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解
对于方程：
可知其通解：
其特征方程：
根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解
一般的通解形式为：
若
则有
若
则有
在共轭复数根的情况下：
r=α±βi
扩展资料
一阶微分方程的普遍形式
一般形式：F（x,y,y'）=0
标准形式：y'=f(x,y)
主要的一阶微分方程的具体形式
约束条件
微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。
常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。
若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。
偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。
唯一性
存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。
针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理 [4] 则可以判别解的存在性及唯一性。
针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。
参考资料来源：百度百科-常微分方程
参考资料来源：百度百科-微分方程
此题解法如下：
∵ (1+y)dx-(1-x)dy=0
==>dx-dy+(ydx+xdy)=0
==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0
==>x-y+xy=C (C是常数)
∴ 此方程的通解是x-y+xy=C。
扩展资料：
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
含有未知函数的导数，如 的方程是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程 。
参考资料：百度百科 微分方程
微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
(xy'-y)cos^2(y/x)+x=0
方程两边同除以x
(y'-y/x)cos^2(y/x)+1=0
令u=y/x，则y=xu，y'=u+xu'
(u+xu'-u)cos^2u+1=0
xu'cos^2u=-1
2cos^2udu=-2dx/x
(1+cos2u)du=-2dx/x
∫(1+cos2u)du=∫-2dx/x
u+(1/2)*sin2u=-2ln|x|+C，其中C是任意常数
2u+sin2u=-ln(x^4)+C
2y/x+sin(2y/x)=-ln(x^4)+C
微分方程通解是什么?
微分方程的通解是一个函数表达式y=f(x)。其中一阶线性常微分方程通解方法为常数变易法；二阶常系数齐次常微分方程通解方法为求出其特征方程的解。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，高阶的...
微分方程的通解怎么求?
二阶微分方程的通解公式：y''+py'+qy=f(x)，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的。若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+p...
微分方程的通解是什么?特解是什么?
通解中含有任意常数，而特解是指含有特定常数。比如y=4x^2就是xy'=8x^2的特解，但是y=4x^2+C就是xy'=8x^2的通解，其中C为任意常数。求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以...
微分方程通解步骤
二次非齐次微分方程的一般解法 一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)第一步：求特征根 令ar²+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)²=-β²）第二步：通解 1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)2、若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x...
微分方程的通解是什么形式?
第二种：通解是一个解集，包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解。二阶微分...
微分方程的通解如何求解?
通解公式是：∫e^(-p(x))dx，这个积分是个不定积分，本身就包含了一个常数。不用再写：∫e^(-p(x))dx+C了。正常情况下，微分方程方程都有边界条件和\/或初始条件，当知道p(x)的具体形式时，算这个不定积分，应该保留一个常数，然后用边界条件和\/或初始条件来确定常数的值，得到完全确定的解...
什么是方程的通解?
对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。举例说 y'=2x的通解为y=x^2+C，表示一族抛物线，如果给出初始条件y(0)=0，代入通解得到0=0+C--->C=0于是通解化作特解:y=x^2，表示一条抛物线。所以，微分方程的通解表示解曲线族...
微分方程通解是什么意思?
复数根）∴y'''-y=0的通解是y=C1e^x+(C2cos(√3x\/2)+C3sin(√3x\/2))e^(-x\/2)(C1,C2,C3都是常数)。或：特征方程为：r^2+r+1=0,r=-1\/2±√5i\/2,有一对共轭复根 实部α=-1\/2，虚部β=±√5\/2 ∴微分方程通解为：y=e^(-x\/2)[c1cos(√5x\/2)+c2sin(√5x\/2)]...
微分方程的通解怎么求?
一阶微分方程的通解为：y=e^(-pdx)[∫q(x)e^(∫pdx)dx+C]一阶微分方程通解的方法：1.积分：首先，我们可以用积分的方法来求解一阶微分方程。积分可以用来求解不同微分方程的通解。例如，一阶线性微分方程可以通过下列方法求解:设y=f(x)是一阶线性微分方程的解，则有:S$frac(dy){dx)+p(x...
微分方程的通解是怎么得到的?
称为微分方程的阶。定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。
权殃征之：[答案] 含有未知函数及其导数的方程称为微分方程 例如求未知函数y=y(x) 其满足y”+y'+y=x 要了解更多内容可参考任何一本巜常微分方程》
颍州区17685342240： 求下列微分方程的通解 - ？
权殃征之： (1)y(4)-y=0 其特征方程为t^4=1,t=1, -1, i, -i. 所以通解为y = C1 e^x + C2 e^-x + C3 e^ix + C4 e^-ix 其中e^ix和e^-ix利用欧拉公式代换后,可以换个写法: y = C1 e^x + C2 e^-x + C3 cos x + C4 sin x (2)y(4)+5y＂-36y=0 特征方程为t^4+5t²-36=0 (t²-4)(t²+9)=0 t=2, -2, 3i, -3i 通解为y=c1e^2x+c2e^(-2x)+C3cos3x+C4sin3x
颍州区17685342240： 求下列微分方程的通解.求详细过程! - ？
权殃征之：[答案] (1)方程两边取倒数化为一阶非齐次线性微分方程利用公式求通解 过程如下图: (2)利用特征方程求齐次方程的通解利用待定系数法求特解 过程如下图:
颍州区17685342240： 求微分方程的通解:dy/dx=10^x+y - ？
权殃征之：[答案] 令u=10^(x+y) 则y=lnu/ln10-x y'=u'/(uln10)-1 代入原方程: u'/(uln10)-1=u du/[u(u+1)]=ln10 dx du[1/u-1/(u+1)]=ln10 dx 积分: lnu-ln(u+1)=xln10+c1 (x+y)ln10-ln[10^(x+y)+1]=xln10+c1
颍州区17685342240： 求微分方程的通解 - ？
权殃征之： 求方程xy'+y=y(lnx+lny)的通解 解:xy'+y=yln(xy);令xy=u,则y=u/x........(1),y'=dy/dx=[x(du/dx)-u]/x²,代入原式得:[x(du/dx)-u]/x+u/x=(u/x)lnu,化简得du/dx=(u/x)lnu,分离变量得du/(ulnu)=(1/x)dx;积分之得∫du/(ulnu)=∫(1/x)dx 即有lnlnu=lnx+lnC=lnCx ...
颍州区17685342240： 求微分方程的通解y＂+2y'+5y= 0,y＂ - 4y'+4y=0 - ？
权殃征之：[答案] (1)y＂+2y'+5y= 0的特征方程为k^2+2k+5= 0,解得两个共轭复根,实部均为-1,复部为正负2,然后套公式,可以得到两个相互独立的特解,再分别乘以任意常数相加,即为所求通解.不好输入,自己写下哈. (2)y＂-4y'+4y=0的特征方程为k^2-4k+4= ...
颍州区17685342240： 求微分方程的通解y''+4y'+4y=4 - ？
权殃征之：[答案] 特征方程为: r²+4r+4=0 (r+2)²=0 r1,2=-2 所以 齐次方程的通解为 Y=(c1+c2x)e^(-2x) 又显然有一个特解为y*=1 所以 通解为 y=Y+y* =(c1+c2x)e^(-2x) +1
颍州区17685342240： 求微分方程通解,要详细步骤 - ？
权殃征之： 一阶非齐次线性常微分方程,通解有公式可用啊 或者用常数变易法: 先解dy/dx+y/x=0,分离变量dy/y=-dx/x,两边积分lny=-lnx+lnC,所以y=C/x 设原方程的解是y=C(x)/x,代入方程得C'(x)=x^2,所以C(x)=1/3*x^3+C 所以,原方程的通解是y=(1/3*x^3+C)/x=1/3*x^2+C/x
颍州区17685342240： 1、求下列微分方程的通解:(1)2y''+y' - y=2ex (2)2y''+5y'=5x2 - 2x - 1 (3)y'' - 6y'+9y=e3x(x+ - ？
权殃征之：[答案] (1)∵它的特征方程是2r²+r-1=0,则r1=-1,r2=1/2 ∴它对应的齐次方程的通解是y=C1e^(-x)+C2e^(1/2) (C1,C2是积分常数) 显然,y=e^x是原方程的特解 故原方程的通解是y=C1e^(-x)+C2e^(1/2)+e^x; (2)∵它的特征方程是2r²+5r=0,则r1=0,r2=-5/2 ∴它...
