（2011?番禺区一模）如图，点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，、F是BC边上一动点，线段DE和AF相交于点P，

如图点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，f是BC边上一动点，线段DE和AF相交于点P，连接PC过点A做AQ\\PC~

（1）此题有两种证法：〖法一〗如图1，连接AC交DE于点K，根据AE∥DC．求证△AKE∽△CKD，再利用AQ∥PC，求证△AKQ∽△CKP．再利用其对应边成比例即可证明结论．
（1）〖法二〗如图2，延长DE，CB相交于点R，作BM∥PC，根据AQ∥PC，BM∥PC，和E是AB的中点，D、E、R三点共线，求证△AEQ≌△BEM．同理△AED≌△REB．再求证△RBM∽△RCP，利用其对应边成比例即可证明结论．
（2）如图3，当点F为BC的中点时，PF=2AP不成立．作BN∥AF，交RD于点N．根据△RBN∽RFP．利用F是BC的中点，RB=BC，可得==，又利用AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．求证△BNE≌△APE即可．

(1) AQ//PC => 角AQE=角CPD
AB//CD => 角QEA=角PDC
三角形QAE和三角形PCD相似
CD=2AE => PC=2AQ

(2) 过E作EG平行于BF交AF于G
EG//BF//AD
三角形ABF中位线BF=2EG => AD=2BF=4EG
三角形APD和三角形GPE相似
AP=4GP => AP=4/5AG=2/5AF
三角形APC面积 = 三角形AFC面积2/5 = 三角形ABC面积1/5 = 平行四边形面积1/10
此外，三角形APC面积 = PC乘以高/2
梯形APCQ面积 = (PC+AQ)乘以高/2 = 1.5PC乘以高/2
=> 梯形APCQ面积 = 1.5倍三角形APC面积 = 3/20平行四边形面积

（1）〖法一〗如图1，连接AC交DE于点K，
∵AE∥DC，∴∠AEP=∠CDP，
又∠AKE=∠CKD，
∴△AKE∽△CKD，
∴

AE

DC

＝

AK

KC

＝

1

2

．
∵AQ∥PC，
∴∠KAQ=∠PCK，
又∠AKQ=∠CKP，
∴△AKQ∽△CKP．
∴

AQ

PC

＝

AK

CK

，
∵

AK

KC

＝

1

2

，
∴

AQ

PC

＝

1

2

，
即PC=2AQ．

（1）〖法二〗如图2，延长DE，CB相交于点R，作BM∥PC．
∵AQ∥PC，BM∥PC，
∴MB∥AQ．
∴∠AQE=∠EMB．
∵E是AB的中点，D、E、R三点共线，
∴AE=EB，∠AEQ=∠BEM．
∴△AEQ≌△BEM．
∴AQ=BM．
同理△AED≌△REB．
∴AD=BR=BC．
∵BM∥PC，
∴△RBM∽△RCP，
相似比是

1

2

．
PC=2MB=2AQ．

（2）如图3，当点F为BC的中点时，PF=2AP不成立．
作BN∥AF，交RD于点N．
则△RBN∽RFP．
∵F是BC的中点，
由（1）[法二]知：RB=BC，
∴RB=

2

3

RF．
∴

BN

PF

=

RB

RF

=

2

3

又AE=BE，∠NEB=∠PEA，∠NBE=∠PAE．
∴△BNE≌△APE，
∴AP=BN．
∴AP=BN=

2

3

PF．
即

AP

PF

=

2

3

．

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