(2011?番禺区一模)如图,点E是平行四边形ABCD的边AB的中点,、F是BC边上一动点,线段DE和AF相交于点P,
(1)此题有两种证法:〖法一〗如图1,连接AC交DE于点K,根据AE∥DC.求证△AKE∽△CKD,再利用AQ∥PC,求证△AKQ∽△CKP.再利用其对应边成比例即可证明结论.
(1)〖法二〗如图2,延长DE,CB相交于点R,作BM∥PC,根据AQ∥PC,BM∥PC,和E是AB的中点,D、E、R三点共线,求证△AEQ≌△BEM.同理△AED≌△REB.再求证△RBM∽△RCP,利用其对应边成比例即可证明结论.
(2)如图3,当点F为BC的中点时,PF=2AP不成立.作BN∥AF,交RD于点N.根据△RBN∽RFP.利用F是BC的中点,RB=BC,可得==,又利用AE=BE,∠NEB=∠PEA,∠NBE=∠PAE.求证△BNE≌△APE即可.
(1) AQ//PC => 角AQE=角CPD
AB//CD => 角QEA=角PDC
三角形QAE和三角形PCD相似
CD=2AE => PC=2AQ
(2) 过E作EG平行于BF交AF于G
EG//BF//AD
三角形ABF中位线BF=2EG => AD=2BF=4EG
三角形APD和三角形GPE相似
AP=4GP => AP=4/5AG=2/5AF
三角形APC面积 = 三角形AFC面积2/5 = 三角形ABC面积1/5 = 平行四边形面积1/10
此外,三角形APC面积 = PC乘以高/2
梯形APCQ面积 = (PC+AQ)乘以高/2 = 1.5PC乘以高/2
=> 梯形APCQ面积 = 1.5倍三角形APC面积 = 3/20平行四边形面积
∵AE∥DC,∴∠AEP=∠CDP,
又∠AKE=∠CKD,
∴△AKE∽△CKD,
∴
AE |
DC |
AK |
KC |
1 |
2 |
∵AQ∥PC,
∴∠KAQ=∠PCK,
又∠AKQ=∠CKP,
∴△AKQ∽△CKP.
∴
AQ |
PC |
AK |
CK |
∵
AK |
KC |
1 |
2 |
∴
AQ |
PC |
1 |
2 |
即PC=2AQ.
(1)〖法二〗如图2,延长DE,CB相交于点R,作BM∥PC.
∵AQ∥PC,BM∥PC,
∴MB∥AQ.
∴∠AQE=∠EMB.
∵E是AB的中点,D、E、R三点共线,
∴AE=EB,∠AEQ=∠BEM.
∴△AEQ≌△BEM.
∴AQ=BM.
同理△AED≌△REB.
∴AD=BR=BC.
∵BM∥PC,
∴△RBM∽△RCP,
相似比是
1 |
2 |
PC=2MB=2AQ.
(2)如图3,当点F为BC的中点时,PF=2AP不成立.
作BN∥AF,交RD于点N.
则△RBN∽RFP.
∵F是BC的中点,
由(1)[法二]知:RB=BC,
∴RB=
2 |
3 |
∴
BN |
PF |
RB |
RF |
2 |
3 |
又AE=BE,∠NEB=∠PEA,∠NBE=∠PAE.
∴△BNE≌△APE,
∴AP=BN.
∴AP=BN=
2 |
3 |
即
AP |
PF |
2 |
3 |
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