用单调有界准则证明该数列收敛并求极限【第五个】

利用单调有界准则证明数列｛Xn｝收敛，并求其极限~

如下：

首先，由X1=a>0及Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)，得所有Xn>0(n为自然数)。（由这个公式，可知Xn+1与Xn符合相同，而X1大于0，因此所有{Xn}中元素均大于0。这个是利用下面不等式的基础）其次证明有界：Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)>=1/2*2*√(Xn*1/Xn)=1( 利用a+b>=2√ab)。
因此Xn>=1(n>1)由单调有输准则，数列{Xn}收敛，由上可知，其极限=1。


任一项的绝对值都小于等于某一 正数的数列。有界数列是指 数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B时的数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。
单调有界定理：若数列{an}递增有上界（递减有下界），则数列{an}收敛，即单调有界数列必有极限。具体来说，如果一个数列单调递增且有上界，或单调递减且有下界，则该数列收敛。

极限下an=a(n-1),所以A=√(A+2),因为a(n+1)=an，都是趋近这个A值。然后算出来A的值就是极限值。
数列A(n+1)/An=√(An+2)/An如果An是无界的函数，An=∞那么A(n+1)/An=0，这个却表明函数是收敛即有界，说明An趋近某一个值。

证明这个数列单调递减且有上界即可。
1、用数学归纳法证明这个数列有上界：
(1) 当n=2时，x2 = (1/2)(x1+a/x1) ≥√a 成立；
(2) 假设当n=k时，xk ≥√a 成立，则必有 xk > 0
于是 x(k+1) = (1/2)(xn+a/xn) ≥ √(xn*a/xn) = √a 也成立
由(1)(2)据数学归纳法原理，得 对n≥2, 总有Xn≥√a
即数列[an}有上界是√a
2、用比较法证明这个数列单调递减
当n≥2时
因为xn - x(n+1) = xn - (1/2)(xn+a/xn)=(1/2)[xn-a/xn]
由上面已证的结论有：xn≥√a ,所以-a/xn ≥ - a/(√a)=-√a
于是xn - x(n+1) = xn - (1/2)(xn+a/xn)=(1/2)[xn-a/xn]≥ 0
故对n≥2, 总有Xn≥X(n+1)
所以数列[an}单调递减
3、因为数列[an}单调递减且有上界，所以数列[an}的极限存在，设limx(n+1)=limxn=A
于是由x(n+1)=(1/2)(xn+a/xn)得
limx(n+1)=lim(1/2)(xn+a/xn)
即A=（1/2)(A+a/A)
解得A=√a
即limxn=√a

---

铅山县17859426271： 利用单调有界原理证明数列的收敛 并求极限 - ？
犁详蜜炼： 数列写成{a[n]}了哈... a[n]∈(0,1),且fn(a[n])=0 所以a[n+1]+a[n+1]^2+...+a[n+1]^n=1-a[n+1]^(n+1)<1=a[n]+a[n]^2+...+a[n]^n 即fn(a[n+1])<fn(a[n]) 因为fn(x)在(0,1)单增 所以a[n+1]<a[n] 所以{a[n]}单减有界,有极限 lim(n→∞)fn(x)=lim(n→∞)x*(1-x^n)/(1-x)=x/(1-x) 所以lim(n→∞)fn(1/2)=1 所以lim(n→∞)a[n]=1/2

铅山县17859426271： 利用单调有界数列收敛准则证明数列极限存在x(1)>0,x(n+1)=1/2*(x(n)+a/x(n)),n=1,2,...,a>0.其中x(n)的n为下标. - ？
犁详蜜炼：[答案] 归纳法得:xn≥√a x(n+1)-xn=1/2*[a/xn-xn]=1/2*(√a+xn)(√a-xn)/xn≤0 所以,xn单调减少 所以,xn单调有界,极限存在

铅山县17859426271： 单调有界数列必有极限如何证明 - ？
犁详蜜炼：[答案] 同济课本上对这个定理的说明是:对于这个定理我们不做证明,只是给出它的在数轴上的几何意义,你可以参看一下.若要考试这个问题不会考定理证明的,而是要你先用证明某个数列的单调性,然后再证明这个数列的有界性,从而得出这个数列必是...

铅山县17859426271： 用单调有界收敛准则证明并求出极限 - ？
犁详蜜炼： 极限下an=a(n-1),所以A=√(A+2),因为a(n+1)=an,都是趋近这个A值.然后算出来A的值就是极限值. 数列A(n+1)/An=√(An+2)/An如果An是无界的函数,An=∞那么A(n+1)/An=0,这个却表明函数是收敛即有界,说明An趋近某一个值.

铅山县17859426271： 利用单调有界数列收敛准则证明下面数列极限存在x1=根号2,X(n+1)=根号2x,n=1,2,3. - ？
犁详蜜炼：[答案] 1.x1=√2

铅山县17859426271： 用单调有界数列收敛准则证明数列极限存在.(1)X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0) (2)X1=√2,Xn+1用单调有界数列收敛准则证明数列极限存在.(1)X... - ？
犁详蜜炼：[答案] (1)X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)=(Xn^2+a)/2Xn》2Xn√a/2Xn=√a 故Xn》√a n》2 数列有下界又:X3-X2=1/2(X2+a/X2)-X2=(1/2)(a/X2-X2)=(a-X2^2)/(2X2)《0 X3《X2而:Xn+1-Xn=1/2(Xn+a/X...

铅山县17859426271： 利用单调有界数列收敛准则证明下面数列极限存在 - ？
犁详蜜炼： 1.x1=√2<2,设xn<2, x(n+1)=√(2xn)<2,由数学归纳法,xn<2,数列有界. 2.x1=√2,x2=√(2√2)>√2=x1, x2-x1>0 x(n+1)-xn=√(2xn)-√(2x(n-1)=2(xn-x(n-1))/(√(2xn)+√(2x(n-1))>0 所以数列单增,极限存在. 设limxn=a,在x(n+1)=√(2xn)两边取极限得:a=√(2a),解得:a=2 limxn=2

铅山县17859426271： 用单调有界数列收敛准则证明数列极限存在. (1)X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0) (2)X1=√2,Xn+1 - ？
犁详蜜炼： (1)X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)=(Xn^2+a)/2Xn》2Xn√a/2Xn=√a 故Xn》√a n》2 数列有下界 又:X3-X2=1/2(X2+a/X2)-X2=(1/2)(a/X2-X2)=(a-X2^2)/(2X2)《0 X3《X2 而:Xn+1-Xn=1/2(Xn+a/Xn)-1/2(X(n-1)+a/...

铅山县17859426271： 利用单调有界收敛准则,证明:数列x1=2^0.5 ,x(n+1)=(2+xn)^0.5 (n=1,2, .)存在极限,并求出极限值 - ？
犁详蜜炼：[答案] 由归纳法x1=√2<2,设xn<2,则x(n+1)=√2+xn<√(2+2)=2,∴0√(2xn)=√2*√xn>√xn*√xn=xn,∴xn有界,∴xn有极限a,在x(n+1)=(2+xn)^0.5 两边取极限得:a∧2-a-2=0,a=2,(a=-1舍)....

铅山县17859426271： 利用单调有界准则证明数列{Xn}收敛,并求其极限？
犁详蜜炼： 首先,由X1=a&gt;0及Xn+1=1/2(Xn+1/Xn),得所有Xn&gt;0(n为自然数).(由这个公式,可知Xn+1与Xn符合相同,而X1大于0,因此所有{Xn}中元素均大于0.这个是利用下面不等式的基础) 其次证明有界:Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)&gt;=1/2*2*√(Xn*1/Xn)=1( 利用a+b&gt;=2√ab).因此Xn&gt;=1(n&gt;1) 最后证明单调性:Xn+1-Xn=1/2(1/Xn-Xn).因为Xn&gt;=1,因此1/Xn&lt;Xn,因此Xn+1-Xn&lt;0.因此该数列单调递减. 由单调有输准则,数列{Xn}收敛. 由上可知,其极限=1