已知函数f(x)=lnx,斜率为k的直线与函数f(x)的图像交于两点A（x1,y1）B(x2,y2)(x1<x2)证明1/x2<k<1/x1
简单运用拉格朗日中值定理可证。首先我们要知道拉格朗日中值定理，它是这样的：
设f(X)在[a，b]连续，在(a，b)上可导，则存在x属于(a，b),使得[f(b)-f(a)]/[b-a]=f'(x).
证明如下：
设f(x)=lnx,x>0,显然它在x >0上连续且可导。A,B在曲线上，可得：K=[lnx2-lnx1]/[x2-x1]
由定义可知，存在x1<x<x2使得，K=[lnx2-lnx1]/[x2-x1]=f'(x)=1/x,
得1/x2<K<1/x1，即x1<1/K<x2 .
证毕。
学过导数吗？用导数知直线要与曲线有两交点，又因为曲线上任意一点(x0,y0)的切线斜率为1/x0。故1/x2
<k<1/x1.望采纳
f'(x)=1/x
k=(y2-y1)/(x2-x1)
=(lnx2-lnx1)/(x2-x1)
=ln(x2/x1)/(x2-x1)
1/x2<k<1/x1
等价于
1/x2<ln(x2/x1)/(x2-x1)<1/x1
等价于
(x2-x1)/x2<ln(x2/x1)<(x2-x1)/x1
1-x1/x2<ln(x2/x1)<x2/x1-1
设x2/x1=x>1
∴等价于
1-1/x<lnx<x-1
先证
g(x)=1-1/x-lnx<0
g'(x)=0+1/x²-1/x=(1-x)/x²
∵x>1
∴g'(x)<0
∴g(x)单调减函数
g(x)最大值=g(1)=1-1-ln1=0(取不到0)
∴g(x)<0
∴1-1/x<lnx
再证h(x)=lnx-x+1<0
h'(x)=1/x-1=(1-x)/x
∵x>1
∴h'(x)<0
∴h(x)单调减函数
∴h(x)最大值=h(1)=ln1-1+1=0(取不到0)
∴lnx<x-1
综上1-1/x<lnx<x-1
继而
1/x2<k<1/x1
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