初中代数证明题,利用比例中的合分比定理
如果 a/b=c/d (a>b, c>d),那么 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)。我们把这个结论称为合分比定理。也就是说,一个比例里,第一个前后项之和与它们的差的比,等于第二个比的前后项的和与它们的差的比。这叫做比例中的合分比定理。
证明:
a/b=c/d=t,那么a=bt,c=dt
a=bt
则 a+b=bt+b
a+b=b(t+1)
(b+a)/b=t+1
同理(a-b)/b=t-1
代入,即(a+b)/(a-b)=(t+1)/(t-1)
同理(c+d)/(c-d)=(t+1)/(t-1)
因此(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)
扩展资料:
合分比定理相关定理
合比定理:如果a/b=c/d,那么(a+b)/b=(c+d)/d (b、d≠0)
分比定理:如果a/b=c/d那么(a-b)/b=(c-d)/d (b、d≠0)
等比定理:如果a/b=c/d那么a/c=b/d(a、b、c、d≠0)
【合比定理】
在一个比例里,第一个比的前后项的和与它后项的比,等于第二个比的前后项的和与它的后项的比,这叫做比例中的合比定理。
【分比定理】
在一个比例里,第一个比的前后项的差与它的后项的比,等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比,这叫做比例中的分比定理。
参考资料来源:百度百科-合分比定理
合比定理:如果a/b=c/d,那么(a+b)/b=(c+d)/d
分比定理:如果a/b=c/d那么(a-b)/b=(c-d)/d
=[(e-b)+(f-c)]/[(e-h)+(f-i)]
由合比定理(a/b=c/d==>a/b=(a+c)/(b+d))得
(d-a)/(d-g)=[(d-a)+(e-b)+(f-c)]/[(d-g)+(e-h)+(f-i)]
设上式值为m,
即(d-a)/(d-g)=[(d-a)+(e-b)+(f-c)]/[(d-g)+(e-h)+(f-i)]=m
同理:(f=d-e-1;c=a-b-1;i=g-h-1)
(f-c)/(f-i)=[(d-e-1)-(a-b-1)]/[(d-e-1)-(g-h-1)]
=[(d-a)+(e-b)]/[(d-g)+(e-h)]
再利用合比定理
(f-c)/(f-i)=[(d-a)+(e-b)+(f-c)]/[(d-g)+(e-h)+(f-i)]=m
同理可证(e-b)/(e-h)=[(d-a)+(e-b)+(f-c)]/[(d-g)+(e-h)+(f-i)]=m
故:(d-a)/(d-g)=(e-b)/(e-h)=(f-c)/(f-i)
由题得
b=a-c-1
e=d-f-1
h=g-i-1
设KA=iB-jC-1,另设
b=a-c-1->K1A=i1B-j1C-1
e=d-f-1->K2A=i2B-j2C-1
h=g-i-1->K3A=i3B-j3C-1
代入得:(e-b)/(e-f)=(k2-k1)/(k2-k3)
同理可得,(f-c)/(f-i)=(k2-k1)/(k2-k3)
首先知道 合比定理{ a/b=c/d==>a/b=(a+c)/(b+d)}
原式可化为: (d-a)/(d-g)=[(d-a)+(e-b)+(f-c)]/[(d-g)+(e-h)+(f-i)]
设上式值为m,
即(d-a)/(d-g)=[(d-a)+(e-b)+(f-c)]/[(d-g)+(e-h)+(f-i)]=m
由题意得 f=d-e-1; c=a-b-1; i=g-h-1
再利用合比定理(f-c)/(f-i)=[(d-a)+(e-b)+(f-c)]/[(d-g)+(e-h)+(f-i)]
=m
同理可证(e-b)/(e-h)=[(d-a)+(e-b)+(f-c)]/[(d-g)+(e-h)+(f-i)]=m
故:(d-a)/(d-g)=(e-b)/(e-h)=(f-c)/(f-i)
《完》
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施耿奥维:[答案] 很简单 ∵(a+b)/b=a/b+1 (c+d)/d=c/d+1 且a/b+1=c/d+1 ∴(a+b)/b=(c+d)/d
渝中区19744518291: 数学中的合分比定理是什么?
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