什么是对数

什么是对数？指数与对数的关系是什么？~

在数学中，对数是对求幂的逆运算。
指数与对数的关系：一个数字的对数是必须产生另一个固定数字（基数）的指数。

拓展资料
对数的定义：
如果，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。
特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。
称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。
零没有对数。
在实数范围内，负数无对数。[3] 在复数范围内，负数是有对数的。
事实上，当， ，则有e(2k+1)πi+1=0，所以ln(-1)的具有周期性的多个值，ln(-1)=(2k+1)πi。这样，任意一个负数的自然对数都具有周期性的多个值。例如：ln(-5)=(2k+1)πi+ln 5。
参考资料：百度百科 对数

1对数的概念
如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
由定义知：
①负数和零没有对数;
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.
2对数式与指数式的互化

式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)
3对数的运算性质
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMN=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM (n∈R).
问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0?
②logaan=? (n∈R)
③对数式与指数式的比较.(学生填表)

式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数
b—
N—a—对数的底数
b—
N—运
算
性
质am·an=am+n
am÷an=
(am)n=
(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)

难点疑点突破
对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?
理由如下：
①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28?
②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?
③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?
为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?

解题方法技巧
1
(1)将下列指数式写成对数式：
①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5?73.
（2）将下列对数式写成指数式：
①log1216=-4；②log2128=7；
③log327=x；④lg0.01=-2；
⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.
解析由对数定义：ab=N?logaN=b.
解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.
③log327=x.④log135.73=m.

解题方法
指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.
④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.
2
根据下列条件分别求x的值：
(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；
(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.
解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?
(2)log5x=20=1. x=?
(3)31+log32=3×3log32=?27=x?
(4)2+3=x-1=1x. x=?
解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.
(2)log5x=20=1，x=51=5.
(3)logx27=3×3log32=3×2=6，
∴x6=27=33=(3)6,故x=3.
(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.

解题技巧
①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.
②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3
已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.
解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；
思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?
解答解法一∵logax=4,logay=5,
∴x=a4,y=a5,
∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.
解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得
logaA=loga(x512y-13)
=512logax-13logay=512×4-13×5=0,
∴A=1.

解题技巧
有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4
设x,y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.
解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?
解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,
两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.
即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).
令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).
∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.

解题规律
对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.
∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).
5
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；
(2)2log32-log3329+log38-52log53；
(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;
(4)求7lg20·12lg0.7的值.
解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.
(2)转化为log32的关系式.
(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢?
(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，
设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?
解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2
=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2
=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59
=2log32-5log32+2+3log32-9
=-7.
(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),
∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.
∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0.
若ab=1，则a-2b<0, ∴ab=1（ 舍去）.
∴ab=4,
∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.
(4)设x=7lg20·12lg0.7,则
lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12
=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)
=lg7+lg2=14,
∴x=14, 故原式=14.

解题规律
①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).
②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6
证明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；
(2)logab·logbc=logac；
(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；
(4)loganbm=mnlogab.
解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.
(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.
(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.
(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.
解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,
∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.
(2)由(1)logbc=logaclogab.
所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac.
(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.

解题规律
(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.
7
已知log67=a,3b=4,求log127.
解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?
解答已知log67=a,log34=b,
∴log127=log67log612=a1+log62.
又log62=log32log36=log321+log32,
由log34=b,得2log32=b.
∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.
∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.

解题技巧
利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧?8
已知x,y,z∈R+，且3x=4y=6z.
(1)求满足2x=py的p值；
(2)求与p最接近的整数值；
(3)求证：12y=1z-1x.
解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?
解答（1）解法一3x=4y?log33x=log34y?x=ylog34?2x=2ylog34=ylog316,
∴p=log316.
解法二设3x=4y=m,取对数得：
x·lg3=lgm，ylg4=lgm,
∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.
由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,
∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.
(2)∵2=log39<log316<log327=3,
∴2<p<3.
又3-p=log327-log316=log32716,
p-2=log316-log39=log3169,
而2716<169,
∴log327163-p.
∴与p最接近的整数是3.

解题思想
①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?
②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，y，z∈R+，
∴k>1，则 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6,
所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm，12y=12·lg4lgm=lg2lgm，
故12y=1z-1x.
解法二3x=4y=6z=m，
则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，
③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.
∴1z-1x=12y.
9
已知正数a,b满足a2+b2=7ab.求证：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1).
解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?
解答logma+b3=logm(a+b3)212=

解题技巧
①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.
②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式，以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.
∵a2+b2=7ab,
∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),
即logma+b3=12(logma+logmb).

思维拓展发散
1
数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.
解析由已知，对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?
解答lgN=lg(a×10n)=n+lga.n∈Z,1≤a<10，
∴lga∈〔0,1).
我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小数或0.
小结：①lgN的首数就是N中10n的指数，尾数就是lga,0≤lga<1;
②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；
③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(0，1)时，lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.
师生互动
什么叫做科学记数法？
N>0,lgN的首数和尾数与a×10n有什么联系？
有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同？
2
若lgx的首数比lg1x的首数大9，lgx的尾数比lg1x的尾数小0?380 4，且lg0.203 4=1.308 3,求lgx,x,lg1x的值.
解析①lg0.203 4=1?308 3,即lg0.203 4=1+0.308 3，1是对数的首数，0.308 3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.
解答设lgx=n+lga,依题意lg1x=(n-9)+(lga+0.380 4).
又lg1x=-lgx=-(n+lga),
∴(n-9)+(lga+0?380 4)=-n-lga，其中n-9是首数，lga+0?380 4是尾数，-n-lga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首数1-lga是尾数，所以：
n-9=-(n+1)
lga+0.380 4=1-lga?n=4,
lga=0.308 3.
∴lgx=4+0.308 3=4.308 3,
∵lg0.203 4=1.308 3,∴x=2.034×104.
∴lg1x=-(4+0.308 3)=5.691 7.

英语名词：logarithms 如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。 log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。

对数的性质及推导
定义：
若a=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)
基本性质：
1、a=b 2、log(a)(a)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);5、log(a)(M)=nlog(a)(M) 6、log(a)M=log(a)(M)/n （注：下文^均为上标符号，例：a^1即为a）
推导
1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。 2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与（3）类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与（3）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下： 由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 换底公式的推导： 设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导 完）

如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。 log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。

http://baike.baidu.com/view/356.html?wtp=tt

如果a^n=b，那么log(a)(b)=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。 log(a)(b)函数叫做对数函数。对数函数中b的定义域是b>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。

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嘉善县18979222896： 对数(幂的逆运算) - 搜狗百科？
芒狗黄连： 如果a^n=b,那么log(a)(b)=n.其中,a叫做“底数”,b叫做“真数”,n叫做“以a为底b的对数”. 若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b)

嘉善县18979222896： 对数是什么啊? - ？
芒狗黄连： 而两个同底对数相乘,一般就算最简形式了. [log(2)(3)]^2就是[log(2)(3)]^2,没有什么含义,最多用换底公式化成 (lg3)^2 / (lg2)^2.

嘉善县18979222896： 什么是常用对数? - ？
芒狗黄连：[答案] 又称“十进对数”.以10为底的对数,用记号“lg”表示.如lgA表示以10为底A的对数,其中A为真数.任一正数的常用对数都可表示成一个整数和一个正的纯小数(或零)的和;整数部分称为对数的“首数”,正的纯小数(或零)称为对...

嘉善县18979222896： 对数通俗来讲是什么 - ？
芒狗黄连： 2³=8知道吧 对数就是指数的逆运算 log(2)(8)=3 就是说以2为底的8的对数 意义就是求2的多少次方等于8 就可以求出3这个答案 就像乘法和除法是互为逆运算一样

嘉善县18979222896： 对数的含义是什么? - ？
芒狗黄连：[答案] 英语名词:logarithms 如果a^n=b,那么log(a)(b)=n.其中,a叫做“底数”,b叫做“真数”,n叫做“以a为底b的对数”. log(a)(b)函数叫做对数函数.对数函数中b的定义域是b>0,零和负数没有对数;a的定义域是a>0且a≠1. 对数的历史

嘉善县18979222896： 什么是对数 lg、ln、e什么的 举列子说明下 - ？
芒狗黄连：[答案] 如果说a的b次方等于c,那么就可以说c以a为底的对数是b.例如2的3次方等于8,那么就可以说8以2为底的对数是3.数学表达式就是log(2)8=3(括号2表示2为下标).一般在以10为底时叫做常用对数,用lg来表示时可省略下标10.在高等...

嘉善县18979222896： 什么是对数? - ？
芒狗黄连： 对数,是一个数学名词,也是一种数学方法! 如果a的n次方等于b(a大于0,且a不等于1),那么数n叫做以a为底b的对数,记做n=loga的b次方 ,也可以说log(a)b=n.其中,a叫做“底数”,b叫做“真数”,n叫做“以a为底b的对数”. 这类问题,应看教科书,或查工具书,百度一下也可以!

嘉善县18979222896： 什么是对数?对数在实际生活中有什么作用?似乎它的用武之地得太少了,是不是? - ？
芒狗黄连：[答案] 对数的概念: 如果a^b=N(a>0,a≠1),那么数b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做底数,N叫做真数.负数和零没有对数.(a^b就是a的b次方) 下面的网站还有很多关于对数的具体介绍,

嘉善县18979222896： 什么是“对数”?对数的含义和解释是什么?什么地方会用到对数? - ？
芒狗黄连： 如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x=logaN.其中,a叫做对数的底数,N叫做真数.对数函数