用拉格朗日中值定理证明不等式
用拉格朗日中值定理证明不等式介绍如下：
利用拉格朗日中值定理证明不等式：当h＞0时，h／（1＋h^2）＜arctan h＜h。
令f（x）＝arctanx，则f'（x）＝1/（1＋x^2） 由拉格朗日中值定理有存在实数c，使得f（x）－f（x0）＝f'（c）（x－x0） 再此取x0＝0，则f（0）＝0 应用上面的等式，便有arctanx=x/(1+c^2)，其中0＜c＜x 又由0＜c＜x知1＜1＋c^2＜1＋x^2 所以1/（1＋x^2） ＜1/（1＋c^2） ＜1 又因为x＞0，所以x/(1+x^2)<x/(1+c^2)<x 故原不等式成立。
拉格朗日中值定理证明过程如下：
设f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，求证：存在ξ∈(a,b)，使f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。证：构造F(x)=[f(b)-f(a)]x-f(x)(b-a)显然F(x)在[a,b]连续，(a,b)可导F(a)=[f(b)-f(a)]a-f(a)(b-a)=af(b)-bf(a)F(b)=[f(b)-f(a)]b-f(b)(b-a)=af(b)-bf(a)则F(a)=F(b)。
因此，由罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使F'(ξ)=0由F'(x)=[f(b)-f(a)]-f'(x)(b-a)，则[f(b)-f(a)]-f'(ξ)(b-a)=0即f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)。
资料扩展：
拉格朗日定理，数理科学术语，存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理(群论)。
拉格朗日介绍：
约瑟夫·拉格朗日全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。
出身：
拉格朗日父姓拉格朗日亚。拉格朗日在都灵出生受洗记录上的正式名字为约瑟普·洛德维科·拉格朗日亚。父名弗朗切斯科·洛德维科·拉格朗日亚；母名泰雷萨·格罗索。
他曾用过的姓有德·拉·格朗日，拉·格朗日等。去世后，法兰西研究院给他写的颂词中，正式用约瑟夫·拉格朗日。父系为法国后裔。曾祖是法国骑兵上校，到意大利后与罗马家族的人结婚定居；祖父任都灵的公共事务和防务局会计，又同当地人结婚。父亲也在都灵同一单位工作，共有11个子女，但大多数夭折，拉格朗日最大。
拉格朗日中值定理怎么证明
拉格朗日中值定理证明方法，详细介绍如下：一、简介：拉格朗日中值定理是微积分中的一条重要定理，它指出如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在这个区间内存在至少一点，使得函数的导数在该点上的值等于函数在闭区间上的平均变化率。二、证明方法：1、等差数列的平均值 首先考虑等差数列的...
拉格朗日中值定理的证明题
F(b)=0 对F(x)在[a,b]上运用拉格朗日定理：存在ξ∈[a,b]，使得F'(ξ)=[F(b)-F(a)]\/(b-a)代入F(a),F(b)的值：F'(ξ)=-(a-b)*f(a)\/(b-a)=f(a)根据前面求出的F'(x)的表达式，代入ξ，可得出：F'(ξ)=f(ξ)+(ξ-b)*f'(ξ)=f(a)化简即可得到要求证的式子...
拉格朗日中值定理怎样证明?
罗尔定理可知。fa=fb时，存在某点e，使f′e=0。开始证明拉格朗日。我们假设一函数fx。目标：证明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。我们假设fx来做成一个毫无意义的函数，fx-(fb-fa)\/(b-a)*x，我们也不知道他能干啥，是我们随便写的一个特殊函数，我们令它等于Fx。这个特殊函数在于，这个a和b...
拉格朗日中值定理的证明思路
所以构造函数成两曲线距离d与x之间的关系即可：H(x)=f(x)-y (曲线减去直线)由于两条线的起点与终点均重合，所以必然符合罗尔定理的条件H(a)=H(b)，然后马上可以用罗尔定理证得。思路：1、拉格朗日中值定理其实就是罗尔定理的推广（或者说一般情况），而柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的推广...
拉格朗日定理可以证明积分中值定理吗?
是的，拉格朗日定理可以证明积分中值定理 首先，我们要明确两个定理的内容。积分中值定理说明，如果函数f在闭区间[a, b]上连续，那么在积分区间[a, b]上至少存在一个点ξ，使得该区间的积分值等于f(ξ)乘以区间的长度(b - a)。而拉格朗日中值定理指出，如果函数f在某个区间内满足一定的条件...
拉格朗日中值定理怎么证明
,使等式ψ‘（ξ）=0,即 【f（b）-f（a）】\/【F(b）-F（a）】=f’（ξ）\/F'（ξ）（柯西中值定理）,又F(b）-F（a）=b-a,F'(x)=1,带入上式化简集合得到拉格朗日中值定理.就是构造ψ（x）麻烦,如果可以直接用柯西中值定理就简单了,直接令F(x）=x带入柯西中值定理就可以了.
证明拉格朗日中值定理
g(a)=(f(a)- f(b))z - f(c)(a - b) ………式3 很容易验证，式3的导数就是式2左边部分，且 g(a)=g(b)= bf(a) - af(b) ………式4 根据罗尔定理存在 ξ∈(a,b)使得 f'(ξ)=0,即式2成立，由此，拉格朗日中值定理得证。同样的思路也可以用在柯西（Cauthy）中值定理证...
用拉格朗日中值定理,证明罗尔中值定理
x)满足：①[a,b]上连续；②(a,b)上可导；③f(a)=f(b)求证：存在ξ∈（a,b) ，使：f'(ξ)=0 证明：由：函数f(x)满足：①[a,b]上连续；②(a,b)上可导；故根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈（a,b) ，使：f'(ξ)= [f(b)-f(a)]\/(b-a) = 0\/(b-a) = 0 命题得证。
对函数f(x)=ln x在区间[1,e]上验证拉格朗日中值定理?
f(1)=0, f(e)=1, 所以在(1,e)间存在a(那字母太难打)，使f'(a)=1\/(e-1). 事实上，f'(x)=1\/x, 当a=e-1时，就有f'(a)=1\/(e-1). 而a=e-1就在(1,e)间, 所以拉格朗日中值定理在这里成立。
拉格朗日中值定理怎么证明? (接下来怎么证)
回答：函数只有这一种: f(x)=kx+b (其中,k和b都是常数) 【证明】 假设f(x)满足所有三个条件, 由(3),假如f'(x)≡k, 令g(x)=f(x)-kx, 则g'(x)=f'(x)-k≡0 ∴g(x)≡常数, 设g(x)=b ∴f(x)=kx+b ∴仅有一种函数。
依昌小儿： 由于f(x)不是线性函数,故存在c∈(a,b)使得f(c) ≠ f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a) *(c-a) 【直观来看,即存在一点不在(a,f(a))、(b,f(b))所在的直线y=f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a) *(x-a)上】 若f(c)>f(a)+[f(b)-f(a)]/(b-a) *(c-a) ,则[f(c)-f(a)]/(c-a) > [f(b)-f(a)]/(b-a) 由 由拉格...
福清市19247055599： 应用拉格朗日中值公式证明下列不等式 - ？
依昌小儿： 解:由拉格朗日中值定理:对于函数y=lnx,x∈(a,b),必存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(lnb-lna)/(b-a)成立又因为ξ∈(a,b),f'(x)=1/x,且0
福清市19247055599： 大一数学题 拉格朗日中值定理利用拉格朗日中值定理证明下列不等式.1、若x>0,证x/(1+x^2) 2、若0 - ？
依昌小儿：[答案] 1,根据拉格朗日中值定理 1/(1+c^2)=(arctan x -arctan0)/(x-0) 0
福清市19247055599： 谁知道拉格朗日中值定理如何证明不等式和恒等式? - ？
依昌小儿：[答案] 先说证明不等式 先设一个跟题设有关的函数 然后把拉格朗日中值定理公式表示出来 然后根据选取的那个值一定在题设的定义域内为限制条件 证明等式 一般就是把把拉格朗日中值定理中的函数设成与题设有关的函数即可
福清市19247055599： 用拉格朗日中值定理证明下列不等式 a>b>0, (a - b)/a<ln(a/b)<(a - b)/b - ？
依昌小儿： 在区间[b.a],f(x)=lnx满足定理条件. 知f'(x)=1/x. 用定理,知存在c: b<c<a使:lna-lnb=(1/c)*(a-b) 即ln(a/b)=(a-b)/c 注意到条件:0<b<c<a, 有:(a-b)/a <(a-b)/c <(a-b)/b. 即有::(a-b)/a <ln(a/b) <(a-b)/b.
福清市19247055599： 利用拉格朗日中值定理证明不等式1/1+x<ln(1+1/x)<1/x,(x>0) - ？
依昌小儿： 做辅助函数F(t)=ln(1+t),则F在[0,x]上连续且可导.由拉格朗日中值定理得 F(x)-F(0)=F'(α)(x-0)(0<α<x), 即有ln(1+x)=x/(1+α). 由于0<α<x, 故1/(1+x)<1/(1+α)<1, 从而x/(1+x)<ln(1+x)<x 令x=1/x即得1/1+x<ln(1+1/x)<1/x
福清市19247055599： 用拉格朗日中值定理证明下列不等式 a>b>0,(a - b)/a - ？
依昌小儿：[答案] 在区间[b.a],f(x)=lnx满足定理条件. 知f'(x)=1/x. 用定理,知存在c: b使:lna-lnb=(1/c)*(a-b) 即ln(a/b)=(a-b)/c 注意到条件:0有:(a-b)/a 即有::(a-b)/a解析看不懂?免费查看同类题视频解析查看解答
福清市19247055599： 用中值定理证明下列不等式. - ？
依昌小儿： 令f(t)=ln(1+t),(t>=0) 显然,对∀x>0,f(t)在[0,x]内连续,在(0,x)上可导,则根据拉格朗日中值定理,存在k∈(0,x),使 f'(k)=[f(x)-f(0)]/(x-0)1/(1+k)=ln(1+x)/x ln(1+x)=x/(1+k) 因为x/(1+x)<x/(1+k)<x/(1+0)=x 所以x/(1+x)<ln(1+x)<x
福清市19247055599： 利用拉格朗日中值定理证明不等式|sinx - siny|≤|x - y| - ？
依昌小儿：[答案] 设f(x)=sinx 则 f '(x)=cosx 在x与y之间存在ξ, 使得 sinx-siny=f '(ξ)(x-y) =cosξ(x-y) 所以, |sinx-siny|=|cosξ(x-y)| ≤|x-y|
福清市19247055599： 利用拉格朗日中值定理证明不等式？
依昌小儿： 1、对于任意的x>0,取函数f(t)=arctant,t∈[0,x]. f(x)-f(0)=f'(ξ)*x,ξ∈(0,x). 即arctanx=x/(1+ξ^2). 1/(1+x^2)2、取函数f(x)=lnx,x∈[a,b] f(b)-f(a)=f'(ξ)*(b-a). f'(ξ)=1/ξ∈(1/b,1/a),所以,(b-a)/b(b-a)/b3、设f(x)=arctanx+arccotx,x∈(-∞,+∞). f'(x)≡0,所以f(x)≡...
