二维拉格朗日中值定理

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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数学函数公式完整的是什么?
6 .理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理,了解并会用柯西中值定理. 7 . 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用. 8 .会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形. ...

著名数学定理
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求一些数学定理,就是同余定理鸡兔同笼类的,急
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高中数学有哪些定理和公式是比较常用的需要掌握的??
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吉米多维奇数学分析习题集学习指引的图书目录
2.1 极限的定义与计算(习题41-57)1.2.2 几个极限证明题(习题58-68)1.2.3 与数e有关的习题(习题69-75(a)，146-147)1.2.4 单调有界数列收敛定理(习题77-81)1.2.5 柯西收敛准则(习题82-88)1.2.6 予列、聚点与上下极限(习题89-134)1.2.7 柯西命题和施托尔茨定理(习题138-145)...

阿贝尔曲线定理?
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谁有2011年考研 数学1 英语1 政治 结构力学的 考试大纲吗? 还有就是...
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理,了解并会用柯西( Cauchy )中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数的最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在...

沙胃18187124280问： 拉格朗日中值定理 到底该怎么理解? - ？
开原市福康回答： 先说罗尔定理,罗尔定理的,意义很简单,就是两个相同高度的点,一个在左边,一个在右边,从左边的点走到右边的点有无数条路径,其中一条特殊的是两点之间线段最短的走法, 罗尔定理的意义就是在这无数条路中,无论哪一条,走到某一个位置的时候方向必然与上面那条特殊走法的方向相同,这是必然的嘛,无论怎么走,当然大方向不能变.比如大方向朝东,你先向东北,再向东南走到目的地,在从东北转向东南的时候转向正东.或者一直往正东走.无论怎么走某一个时刻都是往正东的,这就是所谓的罗尔定理. 而拉格朗日中值定理就是将两个点的连线倾斜了一点而已. 从函数角度来说,在一段连续的曲线上,必存在一个点,它的切线的斜率等于整段曲线的斜率(首尾两点相连的线,即割线的斜率)

沙胃18187124280问： 关于拉格朗日中值定理与积分中值定理的区别 - ？
开原市福康回答： 一、反映内容不同: 1、拉格朗日中值定理: 反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系. 2、积分中值定理: 揭示了一种将积分化为函数值, 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分. 二、作用不...

沙胃18187124280问： 验证拉格朗日中值定理对函数f(x)=x^3+2x在[0,1]上的正确性 - ？
开原市福康回答： 1、拉格朗日中值定理是: 如果函数满足:(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导; 那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,a<ξ<b,使等式f(b)-f(a)=f'(ξ)(f(b)-f(a))成立. 2、具体证明如下: f(0)=0,f(1)=3,f在[0,1]上连续. f '(x)=3x^2+2,f在(0,1)内可导. f '(ξ)=[f(1)-f(0)]/(1-0) ∴ 3ξ^2+2=3 解得,有一个 ξ=1/√3∈(0,1) 所以拉格朗日中值定理对函数f(x)=x^3+2x在[0,1]上成立.

沙胃18187124280问： 什么是拉格朗日中值定理?？
开原市福康回答： 通俗点讲,就是有一个函数f(x),有两点,横坐标分别为a,b.a,b之间有一点ξ,f(x)在(a,b)内可微,拉格朗日中值定理即f(b)-f(a)=f(x)在ξ点的导数*(b-a).

沙胃18187124280问： 如何证明拉格朗日中值定理 - ？
开原市福康回答： 首先,这是一道送分题!拉格朗日中值定理的证明,要先数出拉格,和朗日的笔画,然后除以2,就是拉格朗日中值定理.如果我的回答对你有帮助,望采纳!谢谢!发现我胸口的红领巾又闪闪发光了.

沙胃18187124280问： 拉格朗日中值定理证明也就是说尽量不要用太多高数的内容~(比如罗尔中值定理)也别用画图的方法~要当大题做~ - ？
开原市福康回答：[答案] 拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明.理之一,它是沟通函数与其导数之间的桥梁,也是微分学的理论基础.一般高等数学教材上,大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理,直接给出一个辅助函数,把拉格朗日定理的证明归结为用...

沙胃18187124280问： 拉格朗日中值定理 θ为什么在0 - 1之间? - ？
开原市福康回答：[答案] 有时候问题还真有点难答. θ属于(0,1) 先说一下拉格朗日中值定理吧. 函数在[a,b]上连续,(a,b)上可导,则在(a,b)之间至少有一点e,有: f(b)-f(a)=f'(e)(b-a) (*) (*)这个式子也可以写成: f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))*(b-a) 你看这个:a+θ(b-a) 是不是属...

沙胃18187124280问： 请问拉格朗日中值定理,罗尔定理,柯西中值定理的具体区别是什么? - ？
开原市福康回答：[答案] 拉格朗日中值定理 两端点的函数值可以不同 罗尔定理 两端点函数值必须相同 柯西中值定理 x的值是由函数决定的 其实都是证明 连续函数 在区间内 有一点的切线平行于两端点的连线

沙胃18187124280问： 拉格朗日定理和拉格朗日中值定理和拉格朗日函数1.拉格朗日中值定理是什么?2.拉格朗日定理如何向更多阶函数推广(不妨以f(x,y) f(x,y,z,) f(x,y,z,t)说明)3.... - ？
开原市福康回答：[答案] 1、拉格朗日中值定理 如果函数y=f(x)在闭区间a≤x≤b上连续且在开区间a≤x≤b上可微,那么在此区间内部至少存在一个中间值u,使得 F(b)-f(a)/b-a=f(u). 其中a
沙胃18187124280问： 高数上拉格朗日中值定理的证明当用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理时,辅助函数是如何找到的. - ？
开原市福康回答：[答案] 一般来说构造辅助函数是没有一定之规的,且技巧性很强,但是也不是没有大致规律可循的.比如拉格朗日中值定理和柯西中值定理,首先它们都是关于函数中值的问题,而这一问题有一个基础的定理:罗尔定理,因此构造的辅助函数要尽可能满足罗...

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