一些基本解

特征向量和基础解系有啥区别？~

特征向量和基础解系两者的区别如下：
一、性质不同
特征向量：对应的特征值是它所乘的那个缩放因子；特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量；线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量；特征值的几何重次是相应特征空间的维数。
基础解系：针对有无数多组解的方程而言，若是齐次线性方程组则应是有效方程的个数少于未知数的个数，若非齐次则应是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且都小于未知数的个数。
二、特点不同
特征向量是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值。一个共轭特征向量或者说共特征向量是一个在变换下成为其共轭乘以一个标量的向量，其中那个标量称为该线性变换的共轭特征值或者说共特征值。
基础解系：齐次线性方程组的解集的极大线性无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。

扩展资料：
特征向量的主要性质：
1、线性变换的特征向量是指在变换下方向不变，或者简单地乘以一个缩放因子的非零向量。
2、特征向量对应的特征值是它所乘的那个缩放因子。
3、特征空间就是由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。
4、线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。
5、特征值的几何重次是相应特征空间的维数，有限维向量空间上的一个线性变换的谱是其所有特征值的集合。
例如：三维空间中的旋转变换的特征向量是沿着旋转轴的一个向量，相应的特征值是1，相应的特征空间包含所有和该轴平行的向量。该特征空间是一个一维空间，因而特征值1的几何重次是1。特征值1是旋转变换的谱中唯一的实特征值。
参考资料来源：百度百科-特征向量
参考资料来源：百度百科-基础解系

在岩溶地区，石灰岩的溶解作用是在各种不同边界条件下进行的，溶解既可以发生在非常狭窄的充满水的节理中，也发生在地下大溶洞之中，所有情形下，溶解离子物质向溶液中的传输作用是决定总溶解速率的重要因素之一。因此需要了解不同情形下扩散的时空分布规律。在这一节中，我们讨论方程（3.13）的一些基本解。为简化起见，讨论仅限于一维、静止、无化学反应的情形，因此υ=0，且R=0，则方程（3.13）简化为

岩溶作用动力学与环境

关于方程（3.14）有大量的文献（Carslaw＆Jaeger，1959；Crank，1975；Luikov，1968）讨论它，所以在这里不再作推导，而仅讨论其特性。

3.2.1.1 点源

假定在t=0时，扩散物质的浓度c（x，t）限于x=0附近的非常小的范围dx内，因此有（n₀为粒子数）

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t＞0时，浓度服从高斯分布：

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图3.3说明了这一情形，该情形也从前述随机运动问题一节导出（见方程3.7）。t=0时，在x=0附近有显著高的浓度分布。随着时间的推移，浓度逐渐降低，并向x=0两侧分散。每一浓度分布的总面积代表了粒子的总数。因为这个数是守恒的，所以它等于初始矩形分布的面积。每一分布的半宽由下式给出：

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其与粒子移开点源的平均距离有关。将此与3.1 节中的结果比较，可以看出，扩散方程（3.14）的解精确地反映了随机运动的结果。

3.2.1.2 向半无限空间中的扩散

假定一大的固体平面墙，其右侧的水体空间无限大。如图3.6所示，在t=0 时，在固体边界x=0上，溶解组分的浓度为c₀，x＞0的地方浓度为0；同时假定，在整个溶解过程中，x=0处，浓度为常数，即c=c₀。这种情形出现在化学表面反应速率极快，固体表面与溶液中的物质很快达到平衡的情况下，此时，方程（3.14）的解为

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其中高斯误差函数erf（u）由下式给出：

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图3.6显示了几个不同时刻的浓度分布情况。

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浓度衰减到c₀/2的距离x_1/2随时间延长而增加，并可由下式给出：

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方程（3.19）再次反映了随机运动行为。

为了计算由固相表面向溶液中的质量通量，根据费克第一定律方程（3.10），可以计算出x=0处c（x，t）对x的一阶导数：

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上式表明，从固体墙向溶液的通量随时间增加而减小。原因是紧邻固体墙的浓度随时间而增加。从随机运动理论观点来看，向墙方向运移的粒子数目，随着紧邻墙的浓度的增加而增加，这补偿了移入溶液中的粒子，从而降低了向溶液中传输的总通量。

3.2.1.3 承压管流中的扩散

如图3.7所示，这种相当于在饱和带中的裂隙流情形可由两边为石灰岩组成的平面水流进行模拟。两平面间的距离为2α。假定在t≥0时，在x=±α边界上，溶解的物质与固体墙之间处于平衡状态，即c（±α，t）=c_eq。在溶液中，t=0时，c（x，0）=c₀，则浓度c（x，t）可以用下列级数形式表达：

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应特别注意到，当t＞0.4α²/D时，∑中仅第一项起作用。因为当n＞1 时，相比较而言指数降落的很快。当t＞4α²/D时，系统到处达到平衡浓度c_eq。图3.7不同时间单元时的浓度分布，其与前面介绍的半无限水体扩散不同，后者不可能达到稳态，而有限系统随指数衰减时间T_d而逐渐达到平衡。T_d在任何情况下与长度的平方成正比，与扩散系数成反比，此时：

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对于t＞0.4α²/D，从固体墙向溶液的通量由c（x，t）的微分给出：

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注意：F为从固体墙指向溶液的向量。随水体体积的增加，物质扩散传输将减小。

因此，物质的传输通常受几种作用的控制，如表面和溶液中的化学动力作用，随着水体的增大，扩散传输将减小。另一方面，由于化学动力作用与水体大小无关。因此，通常情况是水体增大到一定限度时，扩散作用成为最慢的过程，而控制着整个质量传输。

图3.7 向距离为2a的两个平行平面承压溶液中的扩散

t≥0时，在x=±α边界上，溶解的物质与固体墙之间处于平衡状态，即c（±α，t）=c_eq。在溶液中，t=0时，c（x，0）=c₀。t曲线上的数字是以4α²/π²D为单位的时间

到目前，我们一直在讨论边界条件为固体墙表面的浓度处于平衡状态。在许多地质条件下，存在不同的边界条件。如果溶解矿物的反应速率取决于溶液的化学成分的话，那么通量仅限定在固体的表面。对于溶液中浓度慢慢发生变化的情形。这种通量几乎为常数，处于一种准稳定状态。这种情况恰恰是石灰岩溶解所发生的情形。

因此，边界条件是

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这里规定F为来自墙的通量，求浓度的导数则得到：

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式中：

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方程（3.25）中的第一项表明由于来自固体墙的恒定通量，其浓度随时间呈线性增加；第二项代表了t＞4 T_d以后形成的稳态抛物浓度剖面。图3.8 显示了各种不同时间单元（T_d）的浓度分布状况。

图3.8 向距离为2a的两个平行平面承压溶液中的扩散

来自墙上的通量F为常数，t=0时，c（x，0）=c₀。曲线上的数字是以α²/π²D为单位的时间

为了完成一系列的重要例子，我们最终讨论一个非常普遍的情形。

如果石灰岩上的水流呈紊流状态，则在岩石表面和紊流核心之间存在一个薄的扩散边界层，在这里物质传输受分子扩散的影响。然而在紊流核心区，由于水分子的无序运动，混合作用彻底，其中溶质浓度为常数。

因此在扩散边界层内物质的传输受分子扩散作用所控制。假如在墙上的浓度为 c_w，在紊流核心的边界上浓度为c_t，则浓度c（x，t）为

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因而，在接近衰减时间T_d时，形成了一个线性浓度剖面，这种稳定剖面由下式给出：

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图3.9 厚度为ε的扩散层中的浓度演化

x=0时，浓度为c_w，曲线上的数字是以ε²/π²D为单位的时间

图3.9给出了不同时间（T_d倍数）扩散边界层中的浓度，在稳态时，穿过扩散边界层的通量是：

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即墨市17215676314： 如何求基础解系 1 1/2 1 0 0 0 0 0 0 - ？
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倚钱胃苏： 方程组 同解变形为 4x1-x2-x3 = 0 即 x3 = 4x1-x2 取 x1 = 0, x2 = 1, 得基础解系 (9, 1, -1)^T; 取 x1 = 1, x2 = 0, 得基础解系 (1, 0, 4)^T.