杨辉三角的规律?
杨辉三角的规律是每行数字的第一列和最后一列的数字都是1,从第三行开始,除去第一列和最后一列都为数字1以外,其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。
从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的,它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
杨辉三角中n行中的第i个数是i-1中前n-1个数之和,即第n行的数分别为:
(1)中第n行之前的数字之和。
(2)中第n行之前的数字之和。
(3)中第n行之前的数字之和。
(4)中第n行之前的数字之和。
应用
与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即二项式定理。例如在杨辉三角中,第3行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数(性质 8),第4行的四个数恰好依次对应两数和的立方的展开式的每一项的系数,即:
以此类推又因为性质5:第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。因此可得出二项式定理的公式为:
因此,二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算,称为“式算”;用杨辉三角形来计算,称作“图算”。
两个未知数和的幂次方运算后的系数问题,比如(x+y)的平方=x的平方+2xy+y的平方,这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行,立方,四次方,运算的结果看看各项的系数,你就明白其中的道理了,这就是杨辉三角,也叫贾宪三角。
他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图,在贾宪三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式(在此就不做说明了)依次下去杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表。
一般形式如下:
杨辉三角最本质的特征是:它的两条斜边都是由数字1组成的,而其余的数则是等于它肩上的两个数之和
1行 1
2行 1 1
3行 1 2 1
4行 1 3 3 1
5行 1 4 6 4 1
性质
1、每个数等于它上方两数之和。
2、每行 数字左右对称,由1开始逐渐变大。
3、第n行的数字有n项。
4、第n行数字和为2 n-1。
5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等,即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m)( 组合数性质
之一) [1]
6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和,这也是组合数的性质之一。即 。 [2]
7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)(n-1下标,m-1上标),即为从n-1个不同 元素中取m-1个元素的组合数。
组合数计算方法:C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]
8、(a+b)^n的展开式中的各项 系数 依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。 [3]
9、将第2n+1行第1个数,跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线,这些数的和是第4n+1个 斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1),跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个 斐波那契数。
10、将各行数字相排列,可得11的n-1(n为行数)次方:1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……;细心的人可能会发现当n≥5时会不符合这一条性质,其实是这样的:把第n行的最右面的数字"1"放在个位,然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...,以此类推,把空位用“0”补齐,然后把所有的数加起来,得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例,第十一行的数为:1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1;
C语言代码实现打印输出
网上很多都是利用二维数组实现,对于 n 很小的情况下,当然可以,但对于n比较大的时候,二维数组就比较消耗内存了,以下方法直接利用第7条性质,直接计算输出杨辉三角,代码如下所示。
#include<stdio.h>
void print_yanghui_triangle(int n)
{
<span style="white-space:pre"> </span>int i, j, k, s;
<span style="white-space:pre"> </span>for(i = 1; i <= n; i++)
<span style="white-space:pre"> </span>{
<span style="white-space:pre"> </span>for(j = 1; j <= i; j++)
<span style="white-space:pre"> </span>{
<span style="white-space:pre"> </span>s = 1;
<span style="white-space:pre"> </span>k = 1;
<span style="white-space:pre"> </span>//计算第 i 行的第 j 个数
<span style="white-space:pre"> </span>for(k = 1; k < j; k ++)
<span style="white-space:pre"> </span>{
<span style="white-space:pre"> </span>s = s * (i - k)/k;
<span style="white-space:pre"> </span>}
<span style="white-space:pre"> </span>printf("%2d\t", s);
<span style="white-space:pre"> </span>}
<span style="white-space:pre"> </span>printf("\n");
<span style="white-space:pre"> </span>}
}
int main()
{
<span style="white-space:pre"> </span>int n = 0;
<span style="white-space:pre"> </span>
<span style="white-space:pre"> </span>printf("Input line of YangHui Triangle: ");
<span style="white-space:pre"> </span>scanf("%d", &n);
<span style="white-space:pre"> </span>print_yanghui_triangle(n);
<span style="white-space:pre"> </span>
<span style="white-space:pre"> </span>return 0;
}
输出结果如下:
Input line of YangHui Triangle: 9
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
总结:注意计算第 i 行第 j 列数字的方法,示范代码的计算方式,能够避免很快溢出(按照公式计算,大概 n = 13 就为负数了)。本示范代码,能够计算到 n = 30,改成 long long型,能够处理更多,但仍然避免不了最终溢出。
原文链接:https://blog.csdn.net/thomashtq/article/details/43986049
杨辉三角形的四个规律
(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6(注意发现规律)……
杨辉三角的规律如何表示组合数?
揭示杨辉三角的奥秘:(a+b)^n的奇妙展开<\/ 杨辉三角,一个看似简单的数列,却隐藏着深邃的数学规律。每一行,每一个数字,都如同一座迷宫,揭示着组合与幂运算的秘密。首先,每个数字(a<\/与b<\/相加的次方)的值,正是其上方两个数的和,犹如天平上的平衡,(1<\/+1<\/)的n次方,便是从头开...
扬辉三角???
这就是杨辉三角,也叫贾宪三角 他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图,在贾宪三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式(在此就不做说明了)依次下去 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下:1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1...
扬辉三角的解法与窍门
这就是杨辉三角,也叫贾宪三角 他于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图,在贾宪三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式(在此就不做说明了)依次下去 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下:………杨辉三角最本质的特征是:它的两条斜边都...
数学杨的内容辉三角公式 。
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下 1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1 6 15 20 15 6 1 n=6 ……特征 与二项式定理的关系:杨辉三角的第n行就是二项式 展开式的系数列。对称性:杨辉三角中的数字左、...
杨辉三角形公式
“杨辉三角 ”不是“杨辉三角形 ”,没有公式,杨辉三角为(x+y)^n 展开后各项的系数。n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1 以此类推即可。
高手来过招
,巴斯加是在1654年现这一规律的,比杨辉要迟393年。 然而把这种三角形法则称为"杨辉三角形″也并不确切。杨辉本人明确注明过,开方作法本源《释销算书》中记载"贾宪用此术″。 贾宪是十一世纪初北宋的一位数学家,比杨辉早两个多世纪。因此把这种 "三角形″法则称为"贾宪三角形″更为恰当。
扬辉三角的来历
而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。杨辉,字谦光,北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中,辑录了如上所示的三角形数表,称之为“开方作法本源”图。而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到,最简单的就是叫你找规律。具体的用 ...
杨辉三角形的概念?
发现很多有趣的知识。笔者继续提出:“如果我要求得第六行的所有数字之和,你有好办法么?”S5:1+5+10+10+5+1=(1+5+10)×2=32 在学生了解了这些知识之后,再出示《按规律填数》的练习题,就有更多的学生想到了用《杨辉三角形》的方法来分析这题。这是一种正迁移的能力。
有分的啊..问5道数学题
1.请你根据"扬辉三角"的规律写出(A+B)的5次方的展开式,并利用多项式乘法法则验证你的结果是否正确.1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 5 1 3. 11-2=3的2次方 1111-22=33的2次方 111111-222=333的2次方 11111111-2222=3333的2次方 1111111111-22222=33333的2次方 111111111111...
终终新妇:[答案] 杨辉三角形,又称贾宪三角形、帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列. 杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数. n次的二项式系数对应杨辉三角形的n + 1行. 例如在中,2次的二项式正好对应杨辉三角形第3行系数1 2 1. 杨辉三角以...
武安市13038996430: 杨辉三角中的数学规律 - ?
终终新妇:[答案] 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即二项式定理.例如,在杨辉三角中,第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的每一项的系数,即(a+b)^2;=a^2+2ab+b^2第4行的四个数恰好依次对...
武安市13038996430: 杨辉三角的数学规律 - ?
终终新妇:[答案] 杨辉三角形,又称贾宪三角形、帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数.n次的二项式系数对应杨辉三角形的n + 1行.例如在中,2次的二项式正好对应杨辉三角形第3行系数...
武安市13038996430: 杨辉三角中有哪些数学规律? 用文字描述四个规律 - ?
终终新妇:[答案] (a+b)的零次方=1 (a+b)的一次方=a+b (a+b)的二次方=a的二次方+2ab+b的二次方 (a+b)的三次方=a的三次方+3a的平方b+3ab的二次方+b的三次方 等等
武安市13038996430: 杨辉三角的规律,我还只是初一学生,麻烦给讲的简单点,通俗一点 - ?
终终新妇:[答案] 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表,一般形式如下: 1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1 6 15 20 15 6 1 n=6 …… 此数列中各行中的数字正好是二项式a+b乘方后,...
武安市13038996430: 杨辉三角有什么特点?规律是什么? - ?
终终新妇:[答案] 1.三角形的两条斜边上都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加 2.杨辉三角具有对称性(对称美),与首末两端“等距离 ”的两个数相等 3.每一行的第二个数就是这行的行数 4.所有行的第二个数构成等差数列 5.第n行包含n+1个数 6.2n-1...
武安市13038996430: 杨辉三角形的规律是什么 - ?
终终新妇:[答案] 每行数字左右对称,由1开始逐渐变大,然后变小,回到1.第n行的数字个数为n个.第n行数字和为2^(n-1).(2的(n-1)次方) 每个数字等于上一行的左右两个数字之和.可用此性质写出整个帕斯卡三角形.将第2n+1行第1个数,跟第...
武安市13038996430: 杨辉三角的数学规律 - ?
终终新妇: 杨辉三角形,又称贾宪三角形、帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数.n次的二项式系数对应杨辉三角形的n + 1行.例如在中,2次的二项式正好对应杨辉三角形第3行系数1 2 1....
武安市13038996430: 杨辉三角公式及其应用方法规律. - ?
终终新妇:[答案] 杨辉三角 简单的说一下就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题,比如(x+y)的平方=x的平方+2xy+y的平方,这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行,立方,四次方,运算的结果看看各项的系数,你就明白其中的...
武安市13038996430: 杨辉三角形的规律四种易懂一点最好 - ?
终终新妇:[答案] 质1、每行数字左右对称,由1开始逐渐变大,然后变小,回到1.2、第n行的数字个数为n个.3、第n行数字和为2^(n-1).4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和.可用此性质写出整个帕斯卡三角形.5、将第2n+1行第1个数,跟第2n...