已知函数
已知函数.f(x)=Asin(3/πx+φ),x∈R,A>0,0<φ<2/π,y=f(x)的部分图像如图所示,点R(0,2/A)是该图象上的一点,P,Q分别为该图像在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点,且向量PR乘向量PQ=1.
求φ和A的值
解析:∵函数.f(x)=Asin(π/3x+φ),x∈R,A>0,0<φ<π/2,点R(0,A/2)是该图象上的一点
∴f(0)=Asin(φ)=A/2==>sinφ=1/2==>φ=π/6
∴f(x)=Asin(π/3x+π/6)
π/3x+π/6=π/2==>x=1;π/3x+φ=3π/2==>x=4
∴P(1,A),Q(4,-A)
向量PR=(-1,-A/2),向量PQ=(3,-2A)
∵向量PR·向量PQ=-3+A^2=1==>A=2
∴f(x)=2sin(π/3x+π/6)
1、因为函数有意义
所以X≠0
所以函数的定义域是{X∣X≠0}
2、因为f(x)=x-1/x
所以f(-x)=-x-1/-x=-x+1/x=-(x-1/x)=-f(x).
所以f(x)+f(-x)=0
即f(x)为奇函数
3、当x>0时,设x1>x2>0
于是f(x1)-f(x2)=(x1-1/x1)-(x2-1/x2)=(x1-x2)+(1/x2-1/x1)=(x1-x2)+(x1-x2)/x1x2;
因为x1>x2>0
所以x1-x2>0,x1x2>0.
于是f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(x1-x2)/x1x2>0
所以当x>0时, f(x)为增函数
即函数在(0,+∞)上单调递增
按上述求导数值的过程,当 取不同的值时,通常可求出相应不同的导数值,这样,通过对一个已知函数在不同点处求导数值,形成了一个新的量与量之间的对应关系,即导出了一个新的函数,这个函数称为已知函数的导函数(derived function),也简称为导数,
横向对比学习法:导数值和导函数都叫做导数,应该如何区分呢?
可从 三个方面进行对比区分:
第一:当导数问题指的是导函数时,结果是一个函数,提出问题时没有指定自变量的值;当导数指的是导数值时,求极限的结果是一个常数,提出问题时会附带指定一个自变量的值。
第二:也可从记号中是否指出 x 等于几来区别。它们的关系是: 是 在点 处的函数值,前者仅仅是一个点的问题,后是是关于某区间上的问题。形式上还可从翻译符号进行区别。
第三:可参看求导数值与求导函数的操作范例。
典型范例2(求导函数操作三步曲)
第一步:在任一点 x 处给增量Δ x ,函数相应地有增量
第二步:作比
第三步:求极限
答案:
再作对比分析:将范例1与范例2进行对比发现,当 x=2 时,范例2中导函数的值等于 4,与范例1中求得的导数值一致。
导数(derivative)亦名微商,由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。又称变化率。如一辆汽车在10小时内走了 600千米,它的平均速度是60千米/小时,但在实际行驶过程中,是有快慢变化的,不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,可以缩短时间间隔,设汽车所在位置x与时间t的关系为x=f(t),那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t2)/t1-t2],当 t1与t0很接近时,汽车行驶的快慢变化就不会很大,平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ,自然就把极限[f(t1)-f(t2)/t1-t2] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度,这就是通常所说的速度。一般地,假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ,x0 +a)内有定义,当自变量的增量Δx= x-x0→0时函数增量 Δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的导数(或变化率)。若函数f在区间I 的每一点都可导,便得到一个以I为定义域的新函数,记作 f′,称之为f的导函数,简称为导数。函数y=f(x)在x0点的导数f′(x0)的几何意义:表示曲线l 在P0[x0,f(x0)] 点的切线斜率。
导数是微积分中的重要概念。导数定义为,当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
求导数的方法
(1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
② 求平均变化率
③ 取极限,得导数。
(2)几种常见函数的导数公式:
① C'=0(C为常数);
② (xn)'=nxn-1 (n∈Q);
③ (sinx)'=cosx;
④ (cosx)'=-sinx;
⑤ (ex)'=ex;
⑥ (ax)'=axlna
(3)导数的四则运算法则:
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
(4)复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。
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函数的最大值和最小值
先求导,然后让导数等于0,得出可能极值点,然后通过判断导数的正负来判断单调性,最后再得出极值,然后再计算端点值,比较大小,最大就是最大值,最小就是最小值。不是所有的函数都有导数,一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在,则称其在这一点可导,否则称为不可导。
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计算机求值公式
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函数如何取最值?
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如何计算函数的最大值和最小值?
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c语言中求绝对值的函数
1、判断输入值的正负性:绝对值函数接收一个数值作为参数,首先需要判断这个数值的正负性。如果数值是正数,则直接返回该数值;如果是负数,则将其取绝对值后返回。2、计算绝对值:对于负数,需要将其取绝对值后再返回。在C语言中,可以使用数学库函数fabs来计算一个浮点数的绝对值。对于整数,可以直接...
Excel函数入门,平均值、最大值和最小值该怎么求?
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什么是多值函数?
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枝怪盐酸:[答案] (1)首先,f(x)的定义域为R,∴其定义域是关于原点对称的其次,证明f(x)+f(-x)=0令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0令x=-y,则f(0)=f(x)+f(-x)=0∴f(x)是奇函数(2)∵f(x)是奇函数,∴f(3)=-f(-3)=-a∴令x=y,得f(2x)=...
钢城区18215756098: 已知函数,求的值. - ?
枝怪盐酸:[答案] 由,知==1,由此能求出的值. 【解析】 ∵, ∴==1, ∴=1*(2011-1)=2010.
钢城区18215756098: 已知函数,, - ?
枝怪盐酸: 解:(1)f′(x)=1-1x+a=x+a-1x+a,(x+a>0) 令f′(x)=0,可得x=1-a>-a, 令f′(x)>0,x>1-a;f(x)为增函数; f′(x)0,故k≤0不合题意; 当k>0时,令g(x)=f(x)-kx2,即g(x)=x-ln(x+1)-kx2, 求导函数可得g′(x)=-x[2kx-(1-2k)]x+1, 令g′(x)=0,可得...
钢城区18215756098: 已知函数 求函数 的最大值和最小值. - ?
枝怪盐酸:[答案] 已知函数求函数的最大值和最小值. ,可证f(x)在[3,5]上是增函数, 故 当x=3时,f(x)最小值为当x=5时,f(x)最大值为; 本试题主要是考查函数的最值问题,利用反比列函数来求解最值.先判定单调性再求解.
钢城区18215756098: 已知函数 ,则方程 的解. - ?
枝怪盐酸:[答案] 答案:1 解析: ∴ x=.
钢城区18215756098: 已知函数f=(x)=1+2/x,其中f=(a)表示当x=a时对应的函数值,如f=(x)=1+1/2已知函数f=(x)=1+2/x,其中f=(a)表示当x=a时对应的函数值,如f=(1)=1+2/1,f=(2)=1... - ?
枝怪盐酸:[答案] f1=1+2/1 f(2)=1+2/2 f(3)=1+2/3.f(100)=1+2/100f(1)*f(2)*f(3)*.*f(100)=(1+2/1)*(1+2/2)*(1+2/3)*(1+2/4).*(1+2/100)合并括号里面得到 f(1)*f(2)*f(3)*.*f(100)=3/1*4/2*5/3*6/4*7/...
钢城区18215756098: 已知函数 - ?
枝怪盐酸: -(m-3)/2m=m3-m=2m^22m^2+m-3=0(2m+3)(m-1)=0m=-3/2或1因为m<0所以m=-3/2
钢城区18215756098: 已知函数 若函数 有3个零点,则实数 的取值范围是_______________. - ?
枝怪盐酸:[答案] 已知函数若函数有3个零点,则实数的取值范围是_______________.
钢城区18215756098: 已知函数 的部分图象如图所示,则函数 的解析式为 A. B. C. D. - ?
枝怪盐酸:[答案] 已知函数 的部分图象如图所示,则函数 的解析式为 A. B. C. D. B 专题:计算题;三角函数的图像与性质.分析:结合函数f(x)的图象由利用特值法f( )=0,可排除某些项即可得到答案.由函数f(x...
钢城区18215756098: 已知函数 .(1)判断函数 的奇偶性;(2)判断函数 在 上的单调性,并给出证明;(3)当 时,函数 的值域是 ,求实数 与 的值; - ?
枝怪盐酸:[答案] 已知函数. (1)判断函数的奇偶性; (2)判断函数在上的单调性,并给出证明; (3)当时,函数的值域是,求实数与的值;(1)为奇函数. (2)当时,在上是减函数.当时,在上是增函数. (3),. 试题分析:(1)由得函数的定义域为, 2分 又 ...