如何证明△ABC为等边三角形？
大致思路：先构造出△PAB，使∠PAB=30°，再构造射线BQ，使角PBQ=30°，证明若能在射线BQ上找一点C，使∠ACP=30°，则△ABC为等边三角形。
解：建立平面直角坐标系xAy，A（0，0）
作直线AP：y=√3/3 x，任取点P（a，√3/3 a)
在x轴正半轴上找点B，B（b，0）
则tan∠PBA=(√3/3)a/(b-a)
再做直线BQ，其斜率为k1，
tan∠ABQ=【√3/3+tan∠PBA】/【1-(√3/3)tan∠PBA】=-k1k1=√3b/(3b-4a)
直线BQ：y=k1x-k1b
若能在射线BQ上找一点C，使∠ACP=30°则过A，C，P三点的圆中，AP对的圆周角为30°，则圆心角为60°易知 此圆圆心O（0,2√3/3 a）
要有交点则 要O到BQ距离d≤半径R=2√3/3 a
d=|-2√3/3 a-k1b|/√(1²+k1²)
d²-4/3a²=b²(12a²-12ab+3b²)/(12b²-24ab+16a²)≤0
因为 b²/【3b²+(4a-3b)²】＞0，
所以12a²-12ab+3b²=3(2a-b)²≤0
仅当b=2a时，不等式成立
此时tan∠ABP=√3/3，∠ABP=30°
又因为 BQ切圆O于C，BA切圆O于A
所以 BA=BC，
又∠BAC=60°
所以△ABC是等边三角形
此方法属于紫罗兰本人。
方法2：
设三个角，分别为αβγ
然后，就可以开始用正弦定理计算了
AP/BP=sinβ/sin30°=2sinβ
同理，BP/CP=2sinγ
CP/AP=2sinα
三个式子相乘得到：sinαsinβsinγ=1/8
由于α+β+γ=90°
所以可以把这个式子变形
接下来只需证明：sinαsinβsinγ≤1/8，等号当且仅当α=β=γ=30°时取得
变形。
sinαsinβsinγ
=sinα×1/2[cos(β-γ)-cos(β+γ)]
注意到两件事实
第一，cos(β-γ)≤1，等号当且仅当β=γ时成立
第二，cos(β+γ)=cos(90-α)=sinα
所以，sinαsinβsinγ≤1/2sinα×(1-sinα)
明显的，右端的式子≤1/8
因为sinα×(1-sinα)≤1/4
等号当且仅当sinα=1/2时，即α=30°时成立
回到原式，sinαsinβsinγ=1/8 成立的条件是α=30°且β=γ
即α=β=γ=30°时才成立
此时
⊿ABC为等边三角形
如图三角形abc为等边三角形,d,f分别为bc,ab,上的一点,且cd=bf,以ad边...
(1) ∵ △abc为等边三角形 ∴ BC=CA , ∠FBC=∠DCA=60º又∵ BF=CD ∴ △ACD ≌ △CBF (2) 首先证明当D在线段上任意一点上时，四边形CDEF都为平行四边形。∵ △ABC,△ADE都为等边三角形 ∴ AB=AC ，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60º∴ AB=AC ，AE=AD，∠EAB=∠DAC ∴△E...
已知△abc为等边三角形,点d为bc上的点,以ad为边,作等边三角形ade,连接...
②AB\/\/CE 证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠BAC=60° ∵△BAD≌△CAE（已证）∴∠B=∠ACE=60° ∴∠BAC=∠ACE（等量代换）∴AB\/\/CE（内错角相等，两直线平行）
勾股定理怎么证明
证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A...
在三角形abc中,点df分别为pc abc的中点求证三角形bad全等于三角形dac...
(1) ∵ △abc为等边三角形 ∴ BC=CA ,∠FBC=∠DCA=60º又∵ BF=CD ∴ △ACD ≌ △CBF (2) 首先证明当D在线段上任意一点上时,四边形CDEF都为平行四边形.∵ △ABC,△ADE都为等边三角形 ∴ AB=AC ,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60º∴ AB=AC ,AE=AD,∠EAB=∠DAC ∴△EAB ≌ ...
勾股定理的证明方法
任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。欧几里得证法 (2张)证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。设△ABC为一直角三角形，其直角为...
勾股定理三边关系的证明方法
设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下: 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同...
勾股定理的证明方法 带图!!!
勾股定理的证明方法如下，共5种方法：
(1)操作发现:如图①,D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点B不重合),连接D...
证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）。同理知，DC=CF，∠DCF=60°。∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF。在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，∴△BCD≌△ACF（SAS）。∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）。（2）AF=...
三角形的三个旁切圆的圆心连线形成一个新的三角形,这两个三角形还有何...
容易证明, 旁心三角形的内角分别为90°-∠A\/2, 90°-∠B\/2, 90°-∠C\/2.因此一般不会与原三角形相似, 而且一定是锐角三角形.△ABC是旁心三角形的垂足三角形, 即三条高线与对边交点连成的三角形.由此可以知道△ABC的内心是旁心三角形的垂心, 而△ABC的外接圆就是旁心三角形的九点圆.此外, ...
已知,在△ABC中,AC=BC,AC⊥BC,直线EF交AC于E,交AB于F,交BC的延长线于D...
AD＝BE，BE⊥AD 证明：延长BE交AD于G ∵AC⊥BC ∴∠ACD＝∠ACB＝90 ∴∠DAC+∠ADC＝90 ∵AC＝BC，CE＝CD ∴△ACD≌△BCE （SAS）∴AD＝BE，∠CBE＝∠DAC ∴∠AGB＝∠CBE+∠ADC＝∠DAC+∠ADC＝90 ∴BE⊥AD
牢连普乐： a平方+b平方+c平方=ab+ac+bc 乘2得 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2ac+2bc a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=0 (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0 a=b a=c b=c 所以是等边三角形.
温泉县17651279824： 求证:三角形ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc - ？
牢连普乐： 如果ABC是等边三角形/则a=b=c/所以a方+b方+c方=ab+bc+ac 反过来: a方+b方+c方=ab+bc+ac 2a方+2b方+2c方-2ab-2bc-2ac=0 (a-b)方+(b-c)方+(c-a)方=O 所以a=b=c 所以是充要条件
温泉县17651279824： 求证:△ABC是等边三角形 - ？
牢连普乐： 解:∵△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列 ∴2B=A+C ∵A+B+C=180° ∴3B=180° ∴B = 60° ∵b^2 =a^2 + c^2 -2*a*c*cosB (已知三角形两边和夹角求第三边公式) ∴b^2 =a^2 + c^2 -2*a*c*cos60° =a^2 + c^2 -2*a*c*1/2 =a^2 + c^2 -ac (1) ...
温泉县17651279824： 求证三角形ABC是等边三角形. - ？
牢连普乐： 原式可化为:a+b+c+2(√ab+√bc+√ca)=3(√ab+√bc+√ca)2a+2b+2c-2(√ab+√bc+√ca)=0(√a-√b)²+(√b-√c)²+(√c-√a)²=0==> {√a=√b=√c a=b=c 结论成立
温泉县17651279824： 如图已知ab等于ac角abC等于六十度求证三角形abc是等边三角形. - ？
牢连普乐： 按照你现在的题目,直接可以得到是等边三角形. 解答: AB=AC,角ABC=60度,所以ABC是等边三角形.题目应该是角APC=60度, 解答: 角APC=60度, 所以角ABC=60度 因为AB=AC, 所以ABC是等边三角形.
温泉县17651279824： 证明等边三角形的方法 - ？
牢连普乐： 边对等角等角对等边 就是说 有两个角相等的三角形,这两个角的对边也一定相等 反之亦然 这两个是和等腰三角形密切相关的定理 证法如下: (图自己画 ^^) 已知: 在△ABC中, 角B=角C (A在上,B\C在下) 求证: AB = AC 证明: 作BC边上...
温泉县17651279824： 证明:三角形ABC是等边三角形的充要条件是a平方+b平方+c平方=ab+ac+bc (a,b - ？
牢连普乐： 如果三角形是等边三角形,则有a=b=c成立, a²+b²+c²=3a² ab+bc+ca=3a² ∴a²+b²+c²=ab+bc+ca必要条件: a²+b²+c²=ab+bc+ca,则两边同乘以2得 2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ca,整理得 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0 a-b=0且b-c=0且c-a=0 ∴a=b=c,即三角形是等边三角形
温泉县17651279824： 求证:▲ABC是等边三角形的充要条件是a的平方+b的平方+c的平方=ab+ac+bc.这里▲ABC是的三条边. - ？
牢连普乐： 充分条件: 如果三角形是等边三角形,则有a=b=c成立, a²+b²+c²=3a² ab+bc+ca=3a² ∴a²+b²+c²=ab+bc+ca 必要条件: a²+b²+c²=ab+bc+ca,则两边同乘以2得 2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ca,整理得 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0 a-b=0且b-c=酣厂丰断莶登奉券斧猾0且c-a=0 ∴a=b=c,即三角形是等边三角形
温泉县17651279824： 证明:△ABC是等边三角形的充要条件是:a方+b方+c方=ab+ac+bc - ？
牢连普乐： △ABC是等边三角形那么当然a方+b方+c方=ab+ac+bc 若a方+b方+c方=ab+ac+bc,则利用恒等式(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)知道(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 所以只能是a=b=c.
温泉县17651279824： 如何拿一个三角形证明出是等边三角形 - ？
牢连普乐： 有一个角是60°的等腰三角形 三的角都等于60° 三边都相等 △ABC是等边三角形,那么a方+b方+c方=ab+ac+bc 若a方+b方+c方=ab+ac+bc,则利用恒等式(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)知道(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 所以只能是a=b=c.
