两层介质的直达波和反射波时距图

一个分界面情况下直达波与反射波的时距曲线总会相交对吗？~

回答你的问题：
1. 在有分界面时，连续性爆炸的直达波（入射波）与反射波会有相交，但单点爆炸产生的直达波与反射波是不会相交的。因为当反射波发生时，产生反射波的直达波也同时消失了。
2. 波的时距曲线，只是一个抽象化的定量描述波传播的距离与时间关系的曲线，当吧直达波和反射波的时距曲线在同一个t-x图上表示时，直达波与反射波的方向相反，即直达波是第一象限，反射波在第二象限，时距曲线应该不会交会的。

斜率不同

我们首先研究由两个地层构成的模型，假设地层的上界面(地面)为水平，两地层之间的界面R₁具有倾角φ，下部地层厚度为无限且两层中的纵波和横波速度都不相同。分析在两层介质中产生的波的时间场和时距图对研究更复杂的介质模型也有很大意义。

1.直达波的时间场和时距图

考察离开震源O以速度v传播的直达波。令直角坐标系的x珚Oy平面与地面G重合，z轴向下为正(图2-4a)。当震源O(x_S，y_S，z_S)与观测点G(x，y，z)之间的距离为r时

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时间场方程为

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如把坐标原点置于震源处，则得到时间场方程

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由该方程可见，直达波等时面是中心在震源O、半径为r=vt的同心球族(图2-4a)。显然，这种情况下射线与半径重合。

图2-4 震源在介质内部及观测面上时的直达波时间场和时距图

当在地面进行观测(z=0)而震源O位于(0，0，d)处时，利用方程(2-12)求取时距曲面方程，得

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其中r'是在地面上测点至震源投影O'的距离。

图2-4a上绘出时间场与平面G截面形成的等时面图，它们是一系列的同心圆，随着远离O'，同心圆之间的距离逐渐减小。图2-4b上以(x，y，t)坐标系用实线绘出其时距图，由方程(2-13)可见，在该坐标系中时距图呈旋转双曲面的形状，双曲面的极小点在O'之上。

如果在平面G的直测线L上进行观测，测线的位置由y=b给定，则由方程(2-13)可得时距曲线方程为

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其中 是震源到测线的距离。该时距曲线是以t轴为对称的双曲线(图2-4c的实线)。双曲线的极小点位于震源在测线的投影点O″处。

时距曲线沿测线变化率的倒数即为视速度，其沿测线的变化曲线(图2-4d)。

当震源位于地面附近(d=0)时，(2-13)式变成

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其时距曲面为圆锥(2-4b的虚线)。而纵时距曲线(b=d=0)由方程

t=±x/v

来描述，它们是从坐标原点出发的两根直线段(图2-4c的虚线)。这种情况下的非纵时距曲线方程为

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它是对称双曲线，与图2-4c中的实线相似。

当从地面附近的震源O有面波或声波传播时，它们的时距图方程与直达波的时距图方程一致，仅仅它们的速度各不相同。

2.平面界面同类反射波的时间场和时距图

到达地层分界面R₁的直达波纵波产生同类反射波和转换反射波，这里仅讨论同类波的时间场。

从震源O作界面R₁的法线与界面相交于A点(图2-5a、b)。置直角坐标系(ξ，η，ζ)的原点于A点，平面ξAη与反射界面R₁重合。显然，反射波的时间场具有以ζ轴为对称的特点。所以，只要研究包含ζ轴的任意平面(例如ζAη平面)的时间场结构就够了。

图2-5 反射波的时间场和时距曲面

分析位于平面ξAη内的任意点M(图2-5a)，波前在该点的到达时间为

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式中:ξ₁是反射点B的坐标;h₀=OA，它是界面上A点至O点的法向深度或回声深度。

为了计算坐标ξ₁，需要用费马原理和确定最小时间t的条件

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从而可得

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因为ξ和ξ₁的符号应一致而与在层中的ζ值无关，所以(2-15)式这里应取负号。把ξ₁值代入方程(2-14)，有

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考虑到具有球对称性，以ξ²+η²代替上式中的ξ²，就得到三维空间中的时间场函数

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从而就很容易地导出等时面族方程

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等时面是中心位于O^*(0，0，h₀)、半径为vt的同心球(图2-5b)，O^*点是震源O对反射界面R₁的镜像并称为虚震源，因为球面反射波好像是由O^*点出发的。

下面，把上述时间场表达式推广到任意坐标系。鉴于M点的坐标ζ等于界面R₁至M点的法线深度h_M，所以有

(O^*M)²=ξ²+(h₀+h_M)²，(OM)²=ξ²+(h₀-h_M)²

从这两个关系式中消去ξ²，得

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其中l=OM是震源至观测点的距离(或称偏移距)，该方程描述与坐标系无关的时间场函数。从该式可见，时间场只由震源、观测点及反射面的相对位置确定。

现在，我们要进一步导出震源和观测点都在平面G上时、从界面R₁反射的波的时距图方程。令震源与坐标原点重合，z轴向下，把虚震源O^*(x'，y'，z')看成震源，求同类反射波到达平面G任意点c(x，y，0)的旅行时间t

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该方程确定了在坐标系(x，y，t)中为旋转双曲面形的反射波时距曲面(图2-5b)。双曲面的旋转轴平行于t轴并通过O'点—虚震源在平面G的垂直投影。时距曲面的等时线是中心在O'点的同心圆。由图2-5b可见，双曲面轴相对坐标原点的水平移位是

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我们再从面到线研究直测线的纵时距曲线，因为x和y轴是任意取向的，可以取x轴与测线重合，令方程(2-16)中y=0，得

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为了说明x'值的意义，要研究包括从虚震源出发经过剖面各点的所有射线的射线平面(图2-6a)，射线平面与反射平面R₁相交，交线DA称为反射线。反射线与测线的夹角φ_x称为视倾角。令O^*点在测线上的投影为O″，由图2-6a可见，O″=x'且有

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图2-6 反射波的时距曲线

如果用α表示测线与倾向线在G面投影的夹角，则从图2-5c有OO″=OO'cosα，根据(2-17)和(2-18)，有

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于是，反射波纵时距曲线方程可写成

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应该注意，φ_x角在界面下倾方向与x轴方向一致时取正号，反之取负号。

反射波纵时距曲线是以经过O″点的垂直轴为对称的双曲线(图2-6a)它的极小点向反射线上倾方向移动x₀值。时距曲线在激发点处的时间t₀和在极小点处的时间t_min分别为

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反射波旅行时间t₀直接与震源处的回声深度h₀有关，它在反射波法数据的处理和解释中得到广泛利用。

图2-6b上绘出反射波时距曲线族与虚震源深度z的关系，随着深度z的增大，在极小点附近时距曲线的曲率减小。

反射波时距曲线方程还能用另外的形式表示，因为在下倾方向距震源为x的任意点G(x)处的法线深度h_G与激发点的法线深度h₀有关系式

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这样，方程(2-20)可改写为

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如果引入位于偏移距x中点M 处的共中心点(简称CMP)深度h_CMP的概念，则利用与(2-21)类似的关系，由方程(2-22)可得

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方程(2-23)描述共中心点的时距曲线，它同样是双曲线形，以过M点的垂直轴为对称(图2-6c)。

当地层水平时，方程(2-20)和(2-23)变为

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它们同样是双曲线，但是其极小点相对于坐标原点没有移位。

方程(2-24)右部在2h₀x条件下可展开为级数;取一级近似，得

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Δt_n称为正常时差。因为对每一个反射层而言，v和t₀为常数，Δt_n只和偏移距x有关，Δt_n表示各观测点由于相对于激发点的距离不同而引起的反射波旅行时间差。对于相同的偏移距x而言，由于不同的反射层其v和t₀值不同，正常时差则与速度平方及反射界面的深度成反比。

同理，把方程(2-23)展开为级数，得

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Δt_φ是倾斜界面的正常时差。如果沿地层倾向分别在炮点两侧相同距离±Δx处取对应的反射走时t₁和t₂，展开为级数后，近似得

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定义 为倾角时差，则从倾角时差可求出界面的真倾角φ:

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当震源在观测线旁侧有一定距离b时，为非纵测线情况，例如令y=b，则从方程(2-16)得 非纵时距图也是对称双曲线，但以激发点至测线的垂足为对称。

如果在测线x上有若干激发点O₁(x₁)，O₂(x₂)，…，O_n(x_n)，则根据(2-22)式，从同一个界面R₁反射的波的时距曲线t₁(x)，t₂(x)，…，t_n(x)之间应满足关系式t_i(x_k)=x_k(x_i)，这个关系反映互换原理。这时如图2-6d所示，形成时距曲线串。

有时地表不允许布置直测线，例如在山区，测线往往只能沿山沟布置成弯曲的形状，这时，震源的坐标为(x_S，y_S)，观测点的坐标为(x_G，y_G)，震源至观测点的距离l= 用φ_l代替方程中(2-20)中的φ_x，得

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如果震源与坐标原点重合，得弯曲测线的反射波时距曲线为 其示意图形见图2-7。

3.弯曲界面反射波的时距曲线

当反射界面弯曲时，反射波时距曲线的形状更复杂。普茨列夫从理论上计算了半径为ρ的圆弧反射界面R₁的时距曲线(其圆心位于激发点O之下)，如图2-8a。用h表示O点之下界面R₁的深度。若满足ρ>>x的条件，反射波时距曲线方程可写为

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图2-7 弯曲测线时距曲线示意图

这也是对称的双曲线方程。在曲率半径较大的条件下，时距曲线的形状较简单，方程中ρ>0与凸界面对应，而ρ<0对应于凹界面。

当曲率半径不太大时，时距曲线形状会畸变，在ρ<0的情况下曲率半径的减小会引起时距曲线形成回线，其理由如下，在图2-8b上，假设反射点M的附近反射等时线的曲率半径ρ₁与反射界面的曲率半径ρ相等，这时，M点附近的全部反射射线投射到同一个观测点G，也就是在该点聚焦。如果满足ρ<ρ₁的条件，则汇聚的反射波射线互相相交，结果破坏了反射点位置和对应观测点位置的正常次序，当反射点从左向右移动时，射线在测线L上的出射点从右向左移动。于是在观测到这种现象的测线段内，时距曲线出现回线，对应的反射波叫做回转波。当ρ>0时不形成回线。

因此，在曲率较大并且变化的情况下，尤其是凹界面，时距曲线形状与双曲线大不相同，如果震源位于抛物形反射界面的焦点，则反射时距曲线呈直线状(图2-8c)。如果震源位于圆形反射界面的中心，反射波时距曲线变成一个点;了解这些极端情况，有助于定性地估计弯曲界面反射时距曲线形状的可能变化。

图2-8 弯曲界面反射波的时距曲线

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