p是q的充分不必要条件和q的充分不必要条件是p有没区别
p是q的充分不必要条件,是p范围大还是q范围大?
q范围大
如果有事物情况A,则必然有事物情况B;如果有事物情况B不一定有事物情况A,A就是B的充分而不必要的条件,即充分不必要条件。a是b的充分不必要条件←→b是a的必要不充分条件。
若p是q的充分不必要条件表示p能推出q,q不能推出p,也就是若p则q是真命题,若q则p是假命题。
所以逆否命题,若非q则非p是真命题,若非p则非q是假命题,所以是必要不充分条件。
举例说明:
要说明x>0,只要x=5就够了,所以说满足p的x满足q,理由是充分的 但是x不必等于5,p是q的充分不必要条件。
而要说明x=5,则x必须>0,x>0是必要的,但是x>0不能保证x=5,所以是不充分的,q是p的必要不充分条件。
扩展资料:
充分不必要条件,在充分条件举例中,地面湿了并不一定能推出天下雨了,所以我们就说,“天下雨是地面湿的充分不必要条件”。
必要不充分条件,在必要条件中,前一个推不出后一个,后一个能推出前一个,我们可以说“地面湿了是天下雨的必要非充分条件。”
从语文上去掉定语:即
p是(Q的充分不必要)条件。那么P是条件,Q是结论,既然充分不必要,那么条件能够推出结论,反过来不行,即p单向推出q。
(P的充分不必要)条件是Q。直接了当,条件是Q,结论是P,充分不必要,那么条件推结论,即q单项推出p。
搞清谁是条件谁是结论很重要,这个方法比较灵验
一.判断与命题
1.判断的意义和结构
判断是对思维对象有所断定的思维形式。“断定”就是肯定或否定,不模棱两可。例如,“是无理数”,“△ABC不是直角三角形”,这种判断是判断某一属性是否属于这个或那个事物;又如,“三角形三内角之和等于180°”,这种判断是判断各个思维对象间的关系;再如,“直线c经过直线a与b的交点p”,这种判断是判断各思维对象间的制约关系。
任何判断都应具有两个基本特征:一是一定“要有所断定”。不能作出肯定或否定的思维形式,不能称其为判断。例如,“△ABC是直角三角形吗?”就不是判断。二是有真假之分。如果一个判断符合客观实际,它就是真实的,否则就是虚假的。例如,“三角形三内角之和大于180°”就是一个假判断。
判断一般采用“主词——系词——宾词”的结构。主词(S)是思维的对象,即需要作出判断的事物或现象,宾词(P)是用来表达对象具有或不具有某种属性,系词是用来联接主词和宾词的,通常用“是”或“不是”来表示肯定或否定。
判断按其性质来分有肯定判断和否定判断,按判断中的主词外延是宾词外延的全部或是部分来分,有全称判断和特称判断,如果将两种分类结合起来就可以形成下面四种判断:
(1)全称肯定判断,记作A。其逻辑形式是“所有S都是P”,简记为SAP。
(2)全称否定判断,记作E。其逻辑形式是“所有S都不是P”,简记为SEP。
(3)特称肯定判断,记作I。其逻辑形式是“有些S是P”,简记为SIP。
(4)特称否定判断,记作O。其逻辑形式是“有些S不是P”,简记为SOP。
2.命题及其基本运算
表示判断的陈述语句称为命题,数学中表示判断的陈述语句称为数学命题,也简称为命题。命题中常用的连接词有“非”、“或”、“且”、“蕴含”、“等值”等等。判断有真假之分,命题也有真假之分,而在结构上可分为简单命题与复合命题两种类型。数学中把真实性为人们所公认而又不加以证明的数学命题,称为公理。在数学科学体系中,一般要求公理具有无矛盾性、独立性和完备性,但在中学数学教材体系中,考虑到学生接受能力,往往把一些公理体系之外的真命题也作为公理,即不一定严格要求公理体系的独立性。数学中,根据已知概念和已知的命题,遵照逻辑规律运用逻辑推理方法已证明真实性的命题称为定理。
命题的运算就是通过命题的符号化、形式化,由若干个命题,构建新的命题。命题演算的关键是逻辑联结词的运用。因此,命题运算实际上是命题的逻辑联结。命题的基本运算有:否定、合取、析取、蕴涵、当且仅当等。
对于命题p、q、r,如果p是一个真命题,则记为p=1;如果q是一个假命题,则记为q=1。
(1)否定(非“「”)。命题p与联表3-1
结词“「”构成复合命题“「p”。「pP「p
称为p的否定式,也称为负命题,其10
真值表为表3-1。这里表明,若命题01
p为真,则「p为假;若命题p为假,则「p为真。
(2)合取(与、且“∧”)。两个命题p、q用“∧”联结起来,构成复合命题“p∧q”。p∧q称为p、q的合取式,p、q称为合取项。命题p∧q又称为联言命题,其真值表为表3-2。这里表明,若p、q都真,则p∧q为真;若p、q中至少有一个为假,则p∧q为假。
表3-2表3-3
pqp∧qpqp∨q
111111
100101
000011
000000
(3)析取(或“∨”)。两个命题p、q用“∨”联结起来,构成复合命题“p∨q”。p∨q称为p、q的析取式,p、q称为析取项。命题p∨q又称为选言命题,其真值表为表3-3。这里表明,若p、q中至少一个为真,则p∨q为真;只有p、q都假,才有p∨q为假。
(4)蕴涵(如果(若)…那么(则)…“→”)。给定两个命题p、q用“→”联结起来,构成复合命题“p→q”。p→q称为p、q的蕴涵式,p称为条件(或前件),q称为结论(或后件)。命题p→q又称为假言命题,其真值表为表3-4。这里表明,除去p真q假,则p→q为假外,其余情况p→q都真。
表3-4表3-5
pqp→qpqpq
111111
100100
011`010
001001
(5)当且仅当(“”)。给定两个命题p、q用“”联结起来,构成复合命题“pq”。pq称为p、q的等价式。命题pq又称为充要条件假言命题,其真值表为表3-5。这里表明,若p、q同真或同假时,pq为真,其余皆假。
运用以上介绍的五种逻辑联词以及否定式、合取式、析取式、蕴涵式和等价式的真值表,还可以进行命题的多种复合运算,并确定运算结果所得命题的真值表。在命题的演算过程中,还要遵循一系列的运算律,这些请读者参阅有关逻辑学文献。
二.命题的四种基本形式及其关系
数学命题的四种基本形式如下:
原命题p→q;逆命题q→p;
否命题「p→「q;逆否命题「q→「p。
它们之间的关系可用图解表示如下图:
原命题互逆逆命题
p→qq→p
互互
互为逆否
否否
否命题逆否命题
「p→「q互逆「q→「p
图3-8
以上四种命题的真假,有一定的逻辑联系。互为逆否的两个命题是逻辑等价的,可通过真值表或命题运算律加以验证。例如
表3-6
pqp→q「q「p「q→「p
111001
100100
011011
001111
可见,p→q与「q→「p等价,即p→q与「q→「p同真同假。
为了加深对上面的真值表的理解,我们来看下面三组例子:
例1.(1)若三角形中有两边相等,则其对角相等。(真)
(2)若三角形中有两角相等,则其对边也相等。(真)
(3)若三角形中有两边不等,则其对角也不相等。(真)
(4)若三角形中有两角不等,则其对边也不相等。(真)
例2.(1)若两角为对顶角,则此二角相等。(真)
(2)若两角相等,则此二角为对顶角。(假)
(3)若两角不是对顶角,则此二角不相等。(假)
(4)若两角不相等,则此二角不是对顶角。(真)
例3.(1)若四边形的四边相等,则为正方形。(假)
(2)若四边形为正方形,则四边相等。(真)
(3)若四边形四边不等,则不是正方形。(真)
(4)若四边形不是正方形,则四边不等。(假)
从以上三例可以看出:
1.原命题真,它的逆命题和否命题未必真;原命题假,它的逆命题和否命题未必假。因此,一个定理的逆命题和否命题,必须通过逻辑证明才能判定其是否成立。若成立,则分别称为逆定理和否定理。
2.互为逆否的两个命题,真则同真,假则同假。由此可以得出,要证明一个命题为真,如果直接证明有困难或太繁时,可以转而证其逆否命题为真。
三.命题的制作
因为互为逆否的两个命题逻辑等价,所以实质不同的命题,只有原命题与逆命题两种。一个真命题的逆命题,只有经过论证后才知其真假。如果一个定理的逆命题为真,就得到原定理的逆定理。为了研究一个定理的逆定理,就要研究逆命题的制作方法。
1.当命题的条件和结论都是一个简单命题时,只要将它们互换位置就可以得到原命题唯一的一个逆命题。例如,命题“对顶角相等”,它的逆命题是“相等的角是对顶角”,这个逆命题显然是不正确的。
2.当命题的条件和结论不只是一个简单命题时,将命题条件和结论中的简单命题任意进行交换位置,就可以得到多个逆命题。例如,原定理“圆内垂直平分弦的直线必过圆心且平分该弦所对的弧”,不难得到它的五个逆定理:
圆内过圆心且平分弦的直线必垂直该弦且平分该弦所对的弧;
圆内平分弦和这弦所对弧的直线必过圆心且垂直该弦;
圆内过圆心且垂直弦的直线必平分该弦和该弦所对的弧;
圆内垂直弦且平分该弦所对弧的直线必过圆心且平分该弦;
圆内过圆心且平分弦所对弧的直线必垂直平分该弦。
四.命题的同一原理
互为逆否的两个命题是等价的,互逆或互否的两个命题未必等价。但是,当一个命题的条件和结论都唯一存在,它们所指的概念的外延完全相同,是同一概念时,这个命题和它的逆命题等价,这叫做同一原理。例如,“等腰三角形顶角的平分线是底边上的中线”是真命题,它的条件和结论都是唯一的,条件和结论所指的概念的外延完全相同,是同一条线段,它的逆命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的平分线”也必定为真命题。
同一原理是同一法论证的逻辑根据。对于符合同一原理的两个互逆命题,在判断它们真假时,只要判定其中的一个即可。在制作逆命题时,如果原定理的条件和结论都唯一存在,就可直接写出它的逆命题而断言其成立。例如,对于上面的例子,由同一原理,便可直接得到它的五个逆定理。
五.命题的条件
为了简明地表达命题中条件和结论的逻辑关系,我们把数学命题的条件分为以下几种:
若命题p→q真,则称p是q成立的充分条件;
若命题q→p真,则称p是q成立的必要条件;
若命题p→q与q→p同真,则称p是q成立的充分必要条件,简称充要条件;
若命题p→q与q→p同假,则称p是q成立的既不充分也非必要条件。
在教学中,还必须区分以下两种类型的条件。
若命题p→q真而q→p假,则称p是q成立的充分而非必要条件,
若命题p→q假而q→p真,则称p是q成立的必要而非充分条件。
以上所揭示的命题的条件和结论之间的内在联系,可以用来指导数学证明。要证明一个命题成立,只要证明能使这个命题成立的一个充分条件成立就足够了;要证明一个命题不成立,是要指出的这个命题成立的一个必要条件不具备就可以了。
六.分断式命题
数学上,对于由n个命题pⅰ→qⅰ(i=1,2,…,n)联合起来叙述而成的一个命题K,而这n个命题的条件pⅰ和结论qⅰ(i=1,2,…,n)所含事项,双方都面面俱到(各种可能情况全都说到,没有遗漏)且互不相容(彼此之间互相排斥,没有重复)时,则称命题K为分断式命题。
例如,“在△ABC中,若AB<AC,则∠C<∠B;若AB=AC,则∠C=∠B;若AB>AC,则∠C>∠B。”就是一个分断式命题。
分断式命题与它的逆命题等价。设原命题pi→qi(i=1,2,…,n)为真,从中取出n–1个,比如pi→qi(i=2,…,n)。则由分断式命题的定义,这n–1个命题联立起来,实质上就是「p1→「q1为真。因为互为逆否的命题等价,所以q1→p1为真。同理有qK→pk为真。所以,逆命题qi→pi(i=1,2,…,n)为真。
由此可知,一个分断式命题如果是正确的,它的逆命题(也是分断式命题)也一定正确,而且可以直接当逆定理来用。在中学数学中,还有不少分断式命题。例如,一元二次方程根的判别定理,直线的垂线与斜线的定理,点(或直线)与圆的位置关系定理,两圆的位置关系的定理等等。
要想了解更多,请照参考资料.
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栋冠碘克: p是q的充分条件,p→q,即p成立,q肯定成立.则逆否命题必然成立,┐q→┐p,即q不成立,则p肯定不成立.所以q是p的必要条件如果满意,欢迎采纳,谢谢 如有问题,欢迎追问
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