证明鞅的凸函数是一个下鞅

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郭裕19673315343问： 如何证明两个凸函数(一个上凸一个下凸)最多只有两个交点 - ？
湘东区卉林回答：[答案] 用反证法 设两函数有三个交点 则F(x)=f(x)-g(x) 有三个零点 利用两次罗尔定理得到 存在n使得 F＂(n)=0, 而f(x)g(x)一个为凸函数一个为凹函数 => F(x)的二次导函数要么大于0要么小于0 所以矛盾

郭裕19673315343问： 如何证明凸函数在闭区间上有下界 - ？
湘东区卉林回答： 设闭区间是[a,b],取a<c<b,则 当a<x<c时,c=(b-c)x/(b-x)+(c-x)b/(b-x) 因此f(c)≤(b-c)f(x)/(b-x)+(c-x)f(b)/(b-x) 即 f(x) ≥((b-x)f(c)-(c-x)f(b))/(b-c) =(bf(c)-cf(b))/(b-c)+(f(b)-f(c))x/(b-c) ≥(bf(c)-cf(b))/(b-c)+min{(f(b)-f(c))a,(f(b)-f(c))b}/(b-c) 有下界. 同理当c<x<b时f(x)也有下界(利用c在a与x之间分析). 因此f在[a,b]上有下界.

郭裕19673315343问： 对于函数y=f(x),若满足f(x1+x2/2)≤f(x1)+f(x2)/2,则称函数y=f(x)为下凸函数,试判断函数 - ？
湘东区卉林回答： 是下凸函数 证明: f(x1+x2/2)=[(x1+x2)/2]2+a(x1+x2)/2+b f(x1)=x12+ax1+b f(x1)=x22+ax2+b f(x1)+f(x2)/2 =(x12+x22+a(x1+x2))/2 +b f(x1)+f(x2)/2-f(x1+x2/2) =(x12+x22+a(x1+x2))/2 +b -{[(x1+x2)/2]2+a(x1+x2)/2+b} =(x1平方+x2平方)/2-[(x1+x2)/2]平方 ...

郭裕19673315343问： 凸函数是上凸还是下凸的?凸函数一定有二阶导数么?但是,书上关于凸函数的定义中似乎没有提到二阶导数,只是我们证明的时候才用到的 - ？
湘东区卉林回答：[答案] 凸函数是上凸的,就是函数有极大值的.因为凸函数不是一次函数,所以一定有非零的二阶导数. 因为分析函数在各个定义域内的凸凹情况时要用到函数的二阶导数,是客观存在.如同在直线的定义中并没有必要提到一阶导数一样.

郭裕19673315343问： 设函数f(x)在区间上有一阶导数.证明:函数f(x)是下凸函数的充分必要条件是函数的图像曲线上任一点的切线都在图像曲线下方(用定义证明) - ？
湘东区卉林回答：[答案] 设函数f(x)在区间[a,b]上有2阶导数 证明:函数f(x)是下凸函数f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(ξ)(x-x0)²≥f(x0)+f'(x0)(x-x0) ,(f''(ξ)≥0), f(x):曲线的纵坐标,f(x0)+f'(x0)(x-x0):切线的纵坐标)

郭裕19673315343问： f(x)是K上的下凸函数,证明f^2(x)也是下凸函数 - ？
湘东区卉林回答： f ''(x)>0 令F(X)=f^2(x) F'(x)=2f(x)f '(x) F''(x)=2f '(x)f '(x)+2f(x)f ''(x) 因为不知道f(X)的正负,所以不能证明 举例在(-1,1)上f(x)=x^2-1

郭裕19673315343问： 如何证明两个下凸函数的和还是下凸函数 - ？
湘东区卉林回答： 是的.假设g(x)=f1(x)+f2(x)g(x)=f1(x)+f2(x)是两个凸函数的和,因为凸函数的二阶导非负,所以g′′(x)=f′′1(x)+f′′2(x)≥0 g″(x)=f1″(x)+f2″(x)≥0 g(x)g(x)就必须是凸函数.

郭裕19673315343问： 证明 若fx是下凸函数,f'(x0)存在,f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x - x0) - ？
湘东区卉林回答： 凸函数就是f'(x0) 画图

郭裕19673315343问： 证明曲线 y=ln(x^2 - 1) 的图形是处处向下凹的 - ？
湘东区卉林回答： y'=2x/(x²-1) y''=(-2x²-2)/(x²-1)²<0 所以应该是凸函数

郭裕19673315343问： f(x)是K上的下凸函数,证明f^2(x)也是下凸函数 - ？
湘东区卉林回答：[答案] f ''(x)>0 令F(X)=f^2(x) F'(x)=2f(x)f '(x) F''(x)=2f '(x)f '(x)+2f(x)f ''(x) 因为不知道f(X)的正负,所以不能证明 举例在(-1,1)上f(x)=x^2-1

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