证明有限整环是除环
如何证明只有有限个理想的整环是域?
如果含单位元环R去掉关于加法的单位元0后，对于乘法形成一个群（一般来说环R对乘法形成半群），那么这个环就称为除环。除环不一定是交换环，比如四元数环。交换的除环就是域。一般环的理想的定义：环的子集，且满足条件：(1)对加法封闭；(2)理想中的元素乘以环中的元素都在这个理想中。
求证是否存在10阶整环?
证明很简单，首先有限整环必定是除环，然后去掉0之后剩下9个元素按乘法构成群，又因为9阶群一定是Abel群，所以10阶的除环一定是域，但是10不是素数的幂，不能作为域的阶数。
除环上行列式的定义及性质
除环就是无零因子的整环吧, 象整数环Z 那么 除环上的行列式其定义应该与一般行列式的定义一致 行列式的基本性质应该都满足 只是A可逆时, 其行列式必为1或-1 限字数!
<R,+,·>是什么类型的环,是整环还是除环,有什么区别吗?这个代数系统表 ...
整环：若环<R,+,·>是交换、含幺和无零因子的，则称R为整环。除环：若环<R,+,·>至少含有2个元素且是含幺和无零因子的，并且∀a∈R（≠0），有a^(-1)∈R则称R为除环。参考资料：百度百科-环（数学术语）
§3.1 环的基本概念
举例说明包括整数环、高斯环、矩阵环、多项式环以及模剩余环等。子环的定义和判定规则也进行了阐述，如整数环是有理数域和实数域的子环。环的一些基本性质，如特殊元素的性质（零元和幺元）、运算性质（如分配律、指数律和求和号性质）以及整环和除环的特定性质，如有限整环必为域，也在这一节中进行...
抽象代数重点解析——环(上)
例如，整数环[公式] 是一个交换幺环，当其中的素数[公式] 时，它可以形成域。一元多项式环和四元数体是其他环的例子，前者是交换幺环，后者是除环但非域。零因子和无零因子环的定义是关于环中元素零因子的存在与否，整环则是无零因子的交换幺环。理想是环中满足特定条件的子集，如左零因子、右零...
为什么带幺元的交换环商掉一个最大理想一定是域?
交换的除环是域，表明交换含幺环在单环情况下是域。一个实例是证明含幺环是域的充分必要条件。进一步地，交换含幺环的极大理想同时也是素理想。有限整环皆为域，因此有限的交换含幺环的素理想成为极大理想。主理想整环中，其非零素理想为极大理想。这类例子可以继续扩展。
“抽象”代数应该考什么?——出自《尔雅通识课·数学大观》
9. 有限域 考试要求: 熟练掌握环、整环、除环、域的概念及相关命题:定理3.1及推论、定理3.2、定理3.3、定理3.4及推论。熟练掌握几个重要环的例子,如例1、例2、例3、例5、例7、例9、例10,掌握环的单位元、零因子的定义及性质,熟练掌握习题5、9、10、11;掌握子环、子域的概念以及判定定理3.5、定理3.6,掌握...
群论7 - 域和体
无零因子环和整环的区别在于零因子是否存在，而整环还要求是交换环且单位元非零。除环是零因子环和元素可逆的交集，如果它交换则为域，非交换则为体。高斯整环和根域是重要的整环和域例子，前者以无平方因子整数为基础，后者则关注特定域的性质。四元数体作为非交换的体，其乘法封闭性是关键特性。而...
交换代数的相关知识有什么?
交换代数是数学的一个分支，主要研究抽象代数结构中的交换环和它们的模。交换代数的主要研究对象是各种类型的环，如整环、除环、域等。这些环可以看作是满足一定性质的集合，例如加法和乘法运算满足结合律、分配律等。交换代数的基本概念包括：1. 环：一个集合加上两种二元运算（通常称为加法和乘法），...
米易县悉欣回答：[答案] 不论群、环、域,阶都是指元素个数. 证明很简单,首先有限整环必定是除环,然后去掉0之后剩下9个元素按乘法构成群,又因为9阶群一定是Abel群,所以10阶的除环一定是域,但是10不是素数的幂,不能作为域的阶数.
胡泽15834105769问： 证明一个至少有两个元素的且没有零因子的有限环,R是一个除环 - ？
米易县悉欣回答： 证:设V为R中非零元构成的集合.由题意知V中至少含有一个元.对于任意a,b属于V,因为R中的乘法构成半群,所以a*b属于R.因为R是无零因子环,a和b都不等于0,所以a*b属于V,即V对乘法运算满足封闭性.显然任何V里的元对乘法满足结合律,所以V对乘法构成半群.又因为R是无零因子环,乘法满足消去律,故V中的乘法也满足消去律.因此,任意一个满足消去律的有限半群构成一个群.于是R中所有非零元构成群,故R是一个除环.
胡泽15834105769问： 关于近世代数中的有限域,GF(2)域请哪位高手能形象的告诉我有限域是什么样的东西,有什么用! - ？
米易县悉欣回答：[答案] 仅含有限多个元素的域.它首先由E.伽罗瓦所发现,因而又称为伽罗瓦域.它和有理数域、实数域比较,有着许多不同的性质. 目录 简介 条件 编辑本段 简介 最简单的有限域是整数环Z 模一个素数p得到的商环Z/(p),由p个元素0,1,…,p-1组成,按模p相加...
胡泽15834105769问： 证明有限的整环是域 - ？
米易县悉欣回答： 设(A,+,•)是一个有限整环, 则对任意a,b,c∈A,且c≠0. 若a≠b,则a•c≠b•c, 因为A具有封闭性,则 A•c=A.对于乘法幺元1, 由A•c=A,则 必有d∈A,使d•c=1, 故d是c的乘法逆元. 因此,有限整环(A,+,•)是一个域.
胡泽15834105769问： 如何验证整数系是一个交换环? - ？
米易县悉欣回答： 整数环是一个整环(无零因子交换幺环),但不是除环(除环每个非零元都有逆).对乘法的单位元1,只有1*1=1和(-1)*(-1)=1,故可逆元只有1和-1.
胡泽15834105769问： 摘除节育环 - ？
米易县悉欣回答： 不可以的,这是计划生育条列的规定,如果身体不适,经医院诊治需要摘环,在单位开证明就可以的 .没有证明是属于非法摘环,所以一定要开证明.朋友,祝早日康复
胡泽15834105769问： ...证明:R1⊕R2不是无零因子环这个问题我后来已经想出来了,就不用麻烦大家了.不过下面一个证明题还需要大家帮忙求解,证明:有限无零因子的非零环... - ？
米易县悉欣回答：[答案] 首先,该环显然有非零元,因为否则它就是零环了.其次,对任意非零元素a,用反证法证明a必有逆元.考虑a和环内每一个元素的乘积:ab_1,ab_2,...,ab_n.(n是环的阶)如果a没有逆元,则这n个积必然没有一个等于1.所以根据抽屉...
胡泽15834105769问： 近世代数问题:A是有限环,B是A的子环,怎么证明B的阶是A的阶的除数 - ？
米易县悉欣回答：[答案] 由群的拉格朗日定理直接可得.
胡泽15834105769问： 设环R=Z(i)={a+bi | a,b是整数},A=(1 - i)是R的理想,证明剩余类环R/A是一个域 - ？
米易县悉欣回答： 试一试 设R/A={rA|r属于R} 要证它是域 需要证它是一个交换除环 先证它是除环 因为R是环 故R/A={rA|r属于R}是商环 显然它有单位元1 且至少有2个元素 因为 A=(1- i)是R的理想 故对任意r属于R ,a属于A有ra,ar属于A 因为R=Z(i)={a+bi | a,b是整数},...
胡泽15834105769问： 如何证明每个有限除环都是可交换的 - ？
米易县悉欣回答： 环,只有乘法,没有除法,所以”除环“是杜撰的.半群,只要求对运算封闭、可结合,不要求可交换.域是有除法的交换环.
