数量积和向量积的联系

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）

一、考试性质

天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性

考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．

二、考试内容与基本要求

（一）能力要求

高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．

思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表

现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方

面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．

运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，

寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，

对几何图形各几何量的计算求解等．

实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生

产、生活和相关学科中的简单数学问题．

（二）内容与要求

《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，

在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为

进一步学习奠定基础．

对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一

级的层次要求包含低一级的层次要求．

了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．

理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列

知识解决简单问题．

掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有

关问题．

灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复

杂的或综合性的问题．

具体内容与要求详见表1—表7．

1

考试内容

考试要求

A

B

C

D

函

数

函数概念的两个要素（定义域和对应规则）

√

分段函数

√

函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性

√

反函数，复合函数

√

基本初等函数的性质和图像，初等函数

√

极

限

极限（含左、右极限）的定义

√

极限存在的充要条件

√

极限四则运算法则

√

两个重要极限

√

无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质

√

无穷小量的比较

√

用等价无穷小求极限

√

连

续

性

函数在一点处连续、间断的概念

√

间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二

类间断点

√

初等函数的连续性

√

闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

导数的概念及其几何意义

√

可导性与连续性的关系

√

函数，极限，连续性

表1

一元函数微分学

表2

2

导数

与

微分

平面曲线的切线方程与法线方程

√

导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法

√

微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系

√

高阶导数的概念

√

显函数一、二阶导数及一阶微分的求法

√

隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法

√

由参数方程所确定的函数的二阶导数

√

中值

定理

与

导数

应用

罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论

√

罗必达法则

√

未定型的极限

√

函数的单调性及判定

√

函数的极值及求法

√

函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法

√

函数的最大值、最小值

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

不

定

积

分

原函数的概念、原函数存在定理

√

不定积分的概念及性质

√

不定积分的第一、二类换元法，分部积分法

√

简单有理函数的积分

√

定

积

分

定积分的概念及其几何意义

√

定积分的基本性质

√

变上限函数及导数

√

一元函数积分学

表3

考试内容

考试要求

A

B

C

D

多元

函数

的极

限与

连续

多元函数的概念，二元函数的定义域

√

二元函数的极限与连续性

√

偏导

数与

全微

分

偏导数的概念

√

二元函数一、二阶偏导数的求法

√

求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

向量

代数

空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法

√

单位向量及方向余弦

√

向量的线性运算，数量积和向量积运算

√

向量平行、垂直的充要条件

√

空间

解析

几何

平面的方程及其求法

√

空间直线的方程及其求法

√

平面、直线的位置关系（平行、垂直）

√

牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法

√

定积

分的

应用

平面图形的面积

√

旋转体的体积

√

向量代数与空间解析几何

表4

多元函数微分学

表5

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念

√

一阶

方程

一阶可分离变量方程

√

一阶线性方程

√

二阶

方程

二阶常系数线性齐次微分方程

√

考试内容

考试要求

A

B

C

D

概念

与

计算

二重积分的概念及性质、几何意义

√

直角坐标系下计算二重积分

√

交换积分次序

√

极坐标系下计算二重积分

√

偏导

数的

应用

二元函数的全微分

√

二元函数的无条件极值

√

空间曲面的切平面方程和法线方程

√

二重积分

表6

常微分方程

表7

考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．

全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答

题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出

计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演

算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共

17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容

5

易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．

四、题型示例

为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试

题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.

（一）选择题

1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为

A．[1，2]

B．(1，2]

C．(2，1)

D．[2，1)

答案：B

2．当x0时，与x等价的无穷小量是

A．tanx

B．2sinx

C．e2x1

D．ln(1x)

答案：A

dx0

costdt

3．

A．sinx2

答案：C

（二）填空题

x29

1．极限lim

x3x22x3

3

答案：

2

B．2xsinx2

_____________.

C．cosx2

D．2xcosx2

2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.

答案：3

3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.

答案：

3d xdy

3xy

（三）解答题

1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值

答案：

fx3x23y0，

解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).

fy3y3x0

又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.

对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.

6

对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小

值点，极小值f(1，1)4.

因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.

x2t1，

x3 y1 z1

2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.

z2t3232

答案：

解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取

直线l2上一点P2(3，-1，1)，

则平面的法向量

ijk



n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，

4-34

故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.

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数量积和向量积有什么区别?有没有什么关系?
符号 大小 方向 数量积： . 模长之积*cos(夹角） 无 向量积： * 模长之积*sin(夹角） 右手定则 右手定则：a*b 的方向为：右手大拇指指向a，食指指向b,中指与大拇指和食指所在平面相垂直 中指方向为向量积方向 ...

向量的数量积和向量积的区别
3、运算法则不同：数量积的运算法则是A=B*C=b*c*Cosθ，其中θ是两向量间的夹角；而向量积的运算法则是A=B×C=b*c*Sinθ，方向为右手螺旋，即右手握拳，拇指向上伸出，让四指依次垂直穿过式中第一个向量和第二个向量，拇指方向即A向量方向。4、应用领域不同：数量积在平面几何中有广泛应用，...

向量的数量积和向量积的区别
向量的数量积和向量积的区别：数量积是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。向量积是一种在向量空间中向量的二元运算。1、数量积：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们...

数量积和向量积有什么区别? 已知两向量,OA,OB,我要求面积OAB的话,用数 ...
首先说，我不知道你是不是一个大学生，所以但愿我说的你能明白。。。数量积就是点乘，结果是数字，比如向量a与向量b的数量积就是|a|×|b|×cos＜a，b＞；向量积就是叉乘，结果是向量，比如向量a与向量b的向量积的模就是|a|×|b|×sin＜a，b＞，方向用右手法则确定；求面积用的是向量积来...

矢量相乘的积的形式是什么?
2、向量积：向量积也叫叉积，外积，它也是向量与向量的乘积，不过需要注意的是，它的结果是个向量。它的几何意义是所得的向量与被乘向量所在平面垂直，方向由右手定则规定，大小是两个被乘向量张成的平行四边形的面积。所以向量积不满足交换律。设有向量 则其向量积的矩阵表达式可用下列符号表示：...

向量的数量积和向量积的区别
区别几何意义：向量的数量积是两个向量在某一方向上的投影的乘积，而向量积则是两个向量共同围成的平行四边形的面积。运算结果：向量的数量积是一个实数，而向量积是一个新的向量。应用领域：向量的数量积在物理学中有广泛的应用，如计算力的功、力的势能等，而向量积则在计算机图形学、力学等领域有...

向量积是否等于数量积呢?
前两个向量的运算结果是一个数，数和向量之间的运算称为“数乘向量”，而数与向量之间不可能进行数量积运算。三个向量可以进行如下运算：(a·b)c。高等数学中还要学习向量的向量积（又称为外积、叉乘等），那时任意有限多个向量之间都可以进行这种运算；三个向量还能进行向量积与数量积的混合运算。

怎么区分向量积与数量积
首先这个符号表示就不一样，这个向量积是两个向量之间的叉乘运算，然后数量积是向量之间的点乘运算，然后他们的结果不一样，向量积以后的结果是一个向量，数量积的答案是一个数，所以结果也不一样

数量积与向量积的区别
2、应用不同：数量积是平面向量的数量积a乘b是一个非常重要的概念，利用可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等，向量积是在物理学光学和计算机图形学中，又积被用于求物体光照相关问题，求解光照的核心在于求出物体表面法线，而又积运算保证了只要...

数量积和向量积有什么区别? 为何数量积垂直的条件是向量a*向量b=0...
楼上的说法有误。数量积一般叫做向量的内积，a·b表示向量a在向量b方向上的投影的长度与b的长度的乘积，也就是内积运算把两个向量映射成一个实数。而且可以用来表示向量的夹角：cosx=(a·b)\/|a|·|b| a,b垂直时，夹角为90度，所以余弦值为0，数量积也为0.向量积一般叫做向量的外积，和内积...

种池15878964201问： 数量积和向量积有什么区别?有没有什么关系? - ？
景洪市抗宫回答： 符号 大小 方向 数量积: . 模长之积*cos(夹角) 无 向量积: * 模长之积*sin(夹角) 右手定则 右手定则:a*b 的方向为: 右手大拇指指向a,食指指向b,中指与大拇指和食指所在平面相垂直 中指方向为向量积方向

种池15878964201问： 向量的向量积与数量积有什么区别? - ？
景洪市抗宫回答：[答案] 向量的向量积是数量,不再是向量,如a·b=|a|*|b|*cos所得结果是数(标量);而向量的数量积仍是向量,如5a,-7b等,只是向量的模长发生了变化,不影响它原来的方向.以上.

种池15878964201问： 两向量的数量积与向量积的差别到底是什么在高数中,两向量的数量积与向量积是不一样的,它们的乘积结果不一样,数量积为零时表示的是两向量垂直;... - ？
景洪市抗宫回答：[答案] 数量积又叫“点乘”,就是两个向量之间的乘号是“点”,得到的积是个实数,不再是向量了.向量积又叫“叉乘”,就是两个向量之间的乘号是“X”,得到的积是个向量.向量积为零时应该会明确告诉你是数量积还是向量积,如果没说的话,我的理...

种池15878964201问： 向量的数量积与向量的向量积区别 - ？
景洪市抗宫回答： 向量的数量积就是 数值上的积 结果是数量 向量的向量积是是 向量在右手定则分量上的向量和

种池15878964201问： 数量积和向量积的公式 ？
景洪市抗宫回答： 数量积公式:a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量,θ表示向量a,b共起点时的夹角,很明显向量的数量积表示数,不是向量.向量积公式|c|=|a*b|=|a||b|sin.已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积.记作a·b.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2.

种池15878964201问： 向量积和数量积的区别是什么 - ？
景洪市抗宫回答： 向量数量积是两向量的模相乘再乘以两向量夹角的余弦值,而向量的向量积是两模相乘再乘夹角正弦值,此外数量积结果是个标量,向量积结果仍是矢量

种池15878964201问： 向量积和数量积的区别和含义 - ？
景洪市抗宫回答：[答案] 向量积(带方向):也被称为矢量积、叉积(即交叉乘积)、外积,是一种在向量空间中向量的二元运算.与点积不同,它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量.并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直.叉积的长度 |a * b| 可...

种池15878964201问： 向量积与数量积有什么区别? - ？
景洪市抗宫回答：[答案] 向量积的结果是向量,数量积的结果是标量. 向量a*向量b=(absinθ)c°, c°--是垂直与a.b向量的单位向量.方向符合右手法则.|a*b|=absinθ.(θ--- a,b夹角) 向量a.向量b=abcosθ (是标量).

种池15878964201问： 数量积和向量积的区别 - ？
景洪市抗宫回答：[答案] 你好!很高兴为你答疑解惑. 向量积(带方向):也被称为矢量积、叉积(即交叉乘积)、外积,是一种在向量空间中向量的二元运算.与点积不同,它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量.并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直.叉积的长度 ...

种池15878964201问： 数量积和向量积有什么区别? 已知两向量,OA,OB,我要求面积OAB的话,用数量积还是向量积来求?为什么? - ？
景洪市抗宫回答： 首先说,我不知道你是不是一个大学生,所以但愿我说的你能明白...数量积就是点乘,结果是数字,比如向量a与向量b的数量积就是|a|*|b|*cos;向量积就是叉乘,结果是向量,比如向量a与向量b的向量积的模就是|a|*|b|*sin,方向用右手法则确定;求面积用的是向量积来计算,但是如果是三角形的话,还要注意除以2,为什么见下图

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