平行直线确定平面证明
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试高等数学考试大纲（2023年9月修订）
一、考试性质
天津市高等院校“高职升本科”招生统一考试是由合格的高职高专毕业生参加的选拔性
考试．高等院校根据考生的成绩，按照已确定的招生计划，择优录取．因此，考试应该具有较高的信度、效度、适当的难度和必要的区分度．
二、考试内容与基本要求
（一）能力要求
高等数学考试是对考生思维能力、运算能力和实践能力的考查．
思维能力表现为对问题进行分析、综合，科学推理，并能准确地表述．数学思维能力表
现为以数学知识为素材，通过归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和空间想象等诸方
面对客观事物的空间形式和数量关系进行思考和判断．
运算能力表现为根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，
寻找与设计合理、简洁的运算途径．运算包括对数字的计算，对式子的组合变形与分解变形，
对几何图形各几何量的计算求解等．
实践能力表现为综合应用所学基本概念、基本理论等数学知识、数学思想和方法解决生
产、生活和相关学科中的简单数学问题．
（二）内容与要求
《高等数学》科目考试要求考生掌握必要的基本概念、基础理论、较熟练的运算能力，
在识记、理解和应用不同层次上达到普通高校（工科专业）专科生高等数学的基本要求，为
进一步学习奠定基础．
对考试内容的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次，且高一
级的层次要求包含低一级的层次要求．
了解(A)：对所列知识内容有初步的认识，会在有关问题中进行识别和直接应用．
理解(B)：对所列知识内容有理性的认识，能够解释、举例或变形、推断，并利用所列
知识解决简单问题．
掌握(C)：对所列知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，并能利用所列知识解决有
关问题．
灵活和综合运用(D)：系统地把握知识的内在联系，并能运用相关知识分析、解决较复
杂的或综合性的问题．
具体内容与要求详见表1—表7．
1
考试内容
考试要求
A
B
C
D
函
数
函数概念的两个要素（定义域和对应规则）
√
分段函数
√
函数的奇偶性，单调性，周期性和有界性
√
反函数，复合函数
√
基本初等函数的性质和图像，初等函数
√
极
限
极限（含左、右极限）的定义
√
极限存在的充要条件
√
极限四则运算法则
√
两个重要极限
√
无穷大、无穷小的概念及相互关系，无穷小的性质
√
无穷小量的比较
√
用等价无穷小求极限
√
连
续
性
函数在一点处连续、间断的概念
√
间断点的类型：包括第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）及第二
类间断点
√
初等函数的连续性
√
闭区间上连续函数的性质（介值定理，零点定理和最大值、最小值定理）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
导数的概念及其几何意义
√
可导性与连续性的关系
√
函数，极限，连续性
表1
一元函数微分学
表2
2
导数
与
微分
平面曲线的切线方程与法线方程
√
导数的基本公式，四则运算法则和复合函数的求导方法
√
微分的概念，微分的四则运算，可微与可导的关系
√
高阶导数的概念
√
显函数一、二阶导数及一阶微分的求法
√
隐函数及由参数方程所确定的函数的求导方法
√
由参数方程所确定的函数的二阶导数
√
中值
定理
与
导数
应用
罗尔定理和拉格朗日中值定理及推论
√
罗必达法则
√
未定型的极限
√
函数的单调性及判定
√
函数的极值及求法
√
函数曲线的凹凸性及判定，拐点的求法
√
函数的最大值、最小值
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
不
定
积
分
原函数的概念、原函数存在定理
√
不定积分的概念及性质
√
不定积分的第一、二类换元法，分部积分法
√
简单有理函数的积分
√
定
积
分
定积分的概念及其几何意义
√
定积分的基本性质
√
变上限函数及导数
√
一元函数积分学
表3
考试内容
考试要求
A
B
C
D
多元
函数
的极
限与
连续
多元函数的概念，二元函数的定义域
√
二元函数的极限与连续性
√
偏导
数与
全微
分
偏导数的概念
√
二元函数一、二阶偏导数的求法
√
求复合函数与隐函数的一阶偏导数（仅限一个方程确定的隐函数）
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
向量
代数
空间直角坐标系，向量的概念，向量的坐标表示法
√
单位向量及方向余弦
√
向量的线性运算，数量积和向量积运算
√
向量平行、垂直的充要条件
√
空间
解析
几何
平面的方程及其求法
√
空间直线的方程及其求法
√
平面、直线的位置关系（平行、垂直）
√
牛顿—莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法
√
定积
分的
应用
平面图形的面积
√
旋转体的体积
√
向量代数与空间解析几何
表4
多元函数微分学
表5
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
常微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念
√
一阶
方程
一阶可分离变量方程
√
一阶线性方程
√
二阶
方程
二阶常系数线性齐次微分方程
√
考试内容
考试要求
A
B
C
D
概念
与
计算
二重积分的概念及性质、几何意义
√
直角坐标系下计算二重积分
√
交换积分次序
√
极坐标系下计算二重积分
√
偏导
数的
应用
二元函数的全微分
√
二元函数的无条件极值
√
空间曲面的切平面方程和法线方程
√
二重积分
表6
常微分方程
表7
考试为闭卷、笔试，试卷满分为150分，考试限定用时为120分钟．
全卷包括I卷和II卷，I卷为选择题，II卷为非选择题．试题分选择题、填空题和解答
题三种题型．选择题是四选一类型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不要求写出
计算过程或推证过程；解答题包括计算题、证明题和应用题等，解答题应写出文字说明、演
算步骤或证明过程．三种题型（选择题、填空题和解答题）题目数分别为6、6、5，整卷共
17道题；选择题和填空题约占总分的48%左右，解答题约占总分的52%左右，试卷包括容
5
易题、中等难度题和较难题，总体难度适当，以中等难度题为主．
四、题型示例
为了便于理解考试内容和要求，特编制下列题型示例，以供参考．所列样题力求体现试
题的各种题型及其难度，它与考试时试题的数目、题序安排、考查内容、难度没有对应关系.
（一）选择题
1．函数f(x)4x2ln(x1)的定义域为
A．[1，2]
B．(1，2]
C．(2，1)
D．[2，1)
答案：B
2．当x0时，与x等价的无穷小量是
A．tanx
B．2sinx
C．e2x1
D．ln(1x)
答案：A
dx0
costdt
3．
A．sinx2
答案：C
（二）填空题
x29
1．极限lim
x3x22x3
3
答案：
2
B．2xsinx2
_____________.
C．cosx2
D．2xcosx2
2．函数f(x)x2ex在x0处的二阶导数的值为_____________.
答案：3
3．函数zln(3xy)的全微分dz_____________.
答案：
3d xdy
3xy
（三）解答题
1．求二元函数f(x，y)x3y33xy5所有的极值点和极值
答案：
fx3x23y0，
解：由方程组2得驻点(0，0)，(1，1).
fy3y3x0
又Afxx6x，Bfxyfyx3，Cfyy6y.
对于驻点(0，0)：A0，B3，C0，由B2AC90知(0，0)不是极值点.
6
对于驻点(1，1)：A6，B3，C6，由B2AC270且A0知(1，1)是极小
值点，极小值f(1，1)4.
因此，函数f(x，y)有极小值点(1，1)，极小值为4.
x2t1，
x3 y1 z1
2．求通过直线l1:y3t2，和直线l2:的平面的方程.
z2t3232
答案：
解：由题意知l1和l2的方向向量s1=s2=(2，3，2)，取直线l1上一点P1(-1，2，-3)，取
直线l2上一点P2(3，-1，1)，
则平面的法向量
ijk
n=s1´P1P2=232=18(1，0，-1)，
4-34
故平面的方程为(x1)(z3)0，整理得xz20.
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空间中任意两条直线的位置关系只有三种情况（不讨论重合的情形）：平行，相交（垂直），异面。书上有关于共面的公理以及一些推论，分别是：1不共线的三点确定一个平面；2直线和直线外一点确定一个平面；3两条相交直线确定一个平面；4两条平行线确定一个平面；要证明空间中两直线共面，可以采用以下思路：...
相交于一个点的三条直线,可以确定几个平面.怎么证明
若这三条直线不在一个平面上 设这三条直线分别是a,b,c 因为每两条可确定一个平面 所以（a,b)(a,c) (b,c)可以确定三个平面
证明一下三条互相垂直的直线确定三个互相垂直的平面
只能用定义证明（太明显正确的命题都得用定义证）：证明：因为三条互相垂直的直线（设为a,b,c）互相相交，又因为两条相交直线确定一个平面，所以这三条直线确定三个平面ABC；AB平面的交线c垂直于C平面上的两条直线，故c垂直于C；即平面A,B上的一条直线c垂直于平面C；所以AB都垂直于C。同理，BC...
求关于直线与平面垂直的判定定理的证明。
已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α 证明：在平面α内作两条相交直线m，n ∵a⊥α ∴a⊥m，n 又∵b∥a 所以b⊥m，m 又∵m，n在平面α内，m，n为两条相交直线 ∴b⊥α 书上有
数学立体几何证明题中 例 直线a与直线c确定一平面A 直线a与直线d确定...
不一定的呵，有可能是A与B交于直线a,也有可能是同一平面或者说重合的情况
证明线面之间的关系的方法
线面的关系有相交(包括垂直),平行,直线在平面内三种情况。1、根据线面关系的定义进行证明;(1)直线与平面有一个公共点,则直线与平面相交。(2)直线与平面没有公共点,则直线与平面平行。(3)直线与平面有两个公共点,则直线在平面内。2、根据定理公理进行证明。(1)如果:a∥α,b∥a,(a,b是直线,α是平面),...
两点确定一条直线,怎么证?
所以直线b既不在平面α内，也不在平面β内。综上所述，直线a和直线b不在同一平面内，又由平行线的定义(在同一平面内，没有公共点的两条直线为平行线)可知，直线a和直线b不平行，与所给条件矛盾。所以平面α和平面β重合 所以两条平行直线确定一个平面，证毕 ...
请简述关于立体几何中两直线是否共面的证明方法,几何法与向量法都可以...
所以先从直线2上取一点与直线1构成一个平面，再证明直线2在面内就好了。几何法：在直线2上另取一点，证明其在面内即可。那么直线2上两点都在此面内，这两点唯一确定的直线2也就确定了，则直线2在面内。向量法：直线1上取两点，直线2上取一点，求该平面的法向量，然后证明法向量与直线2垂直。
空间里的n条线最多可以确定几个平面 证明
任意两条异面直线不能确定平面；任意两条共面直线可以确定一个平面；当有n条直线时，任意两条直线共面（确定一个平面），同时任意三条直线不共面（即任意两直线确定的平面，不会穿过其他剩余的任意直线时），此时确定的平面数最多。确定的平面数量为n条直线中任意两条直线组合的数量，即C n 2=n*（n...
怎么证明点在平面内
点在平面内能直接证明方法就是三个点确定平面后，证明第四点在这个面上即可。如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上的所有点都在这个平面。平面是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面与同它相似的面的任何交线是一条直线。是由显示生活中（例如镜面、平静...
惠阳区仙灵回答： 先证明存在性:根据平行线的定义:在同一平面内没有公共点的两条直线叫做平行线.所以两条平行线一定在同一个平面内. 再证明唯一性:在直线a上任取一点A,因为a平行于b,所以点A不在直线b上.根据平面基本性质的推论,经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.所以经过点A和直线b的平面只有一个.因为经过直线a和直线b的平面,一定经过点A和直线b,故经过直线a和直线b的平面只有一个. 用反证法: 在平行线上任取一点 假设经过两平行线有无数多平面 线外一点和一条直线可以确定一个平面,有且只有一个平面 一命题矛盾 所以过平行线有且只有一个平面得证.
帅拜17854887052问： 两条平行线确定一个平面怎么证明 - ？
惠阳区仙灵回答：[答案] 先证明存在性:根据平行线的定义:在同一平面内没有公共点的两条直线叫做平行线.所以两条平行线一定在同一个平面内.再证明唯一性:在直线a上任取一点A,因为a平行于b,所以点A不在直线b上.根据平面基本性质的推论...
帅拜17854887052问： 怎么样证明两条平行的直线确定唯一的平面? - ？
惠阳区仙灵回答：[答案] 公理3的内容是:经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面.公理3的推论3是:两条平行的直线确定一个平面.所有的推论是由相应的公理证明的.
帅拜17854887052问： 如何证明公理3的推论3(两条平行的直线确定一个平面) - ？
惠阳区仙灵回答：[答案] 两点定一条直线 三点(不直线)定一个平面 两条平行的直线中其中一条直线可以确定2个点 另一条中找随便一个点,这个点在第一条直线外 所以不在一直线上的三个点可确定一个平面
帅拜17854887052问： 怎么证明经过两条平行线的直线有且只有一个平面 - ？
惠阳区仙灵回答： 证明:假设经过两条平行线的平面不只一个 取其中一条直线上两点A、B 另一条直线上一点C 因为ABC三点不共线 所以ABC三点可以确定一个平面 因为经过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面(公理3)与假设矛盾所以经过两条平行线有且只有一个平面 得证
帅拜17854887052问： 怎么证明一组平行线只能确定一个平面如题 - ？
惠阳区仙灵回答：[答案] 因为平行线是两条直线,直线由点组成 又因为两点确定一条直线,＂线动成面＂ 所以一组平行线只能确定一个平面
帅拜17854887052问： 如何证明两条直线在同一平面内? - ？
惠阳区仙灵回答：[答案] 因为两条平行或相交的直线确定一个平面,所以只要证明其相交或平行就行.
帅拜17854887052问： 如何证明“直线与平面平行的判定定理“,不用反证法怎么证明,要从正面证 - ？
惠阳区仙灵回答：[答案] 1)可以用直线与平面平行的判定定理:若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 证明如下: 作法向量所在直线a与垂直直线b构成的平面,与已知平面交于直线c. 则,直线a既垂直于直线b,又垂直于直线c,且直线b和...
帅拜17854887052问： 为什么两条平行线确定一个平面这是一个推论我怎么也证不出来谁能告送我证明过程 - ？
惠阳区仙灵回答：[答案] 因为:平面上的点均在同一平面内. 两条平行线确定一个平面,保证了两条平行线上的点均在由其确定的平面内.
帅拜17854887052问： 怎样证明经过两个平行直线只可以确定一个平面?可以用不“在一个平面的三点确定一个平面”来证明么? - ？
惠阳区仙灵回答：[答案] 可以!
